2024屆一輪復(fù)習(xí)人教B版 第二章第05講 對數(shù)與對數(shù)函數(shù) 學(xué)案

第05講對數(shù)與對數(shù)函數(shù)目錄考點要求考題統(tǒng)計考情分析（1）理解對數(shù)的概念及運算性質(zhì)，能用換底公式將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù).（2）通過實例，了解對數(shù)函數(shù)的概念，會畫對數(shù)函數(shù)的圖象，理解對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與特殊點.（3）了解指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)(，且)互為反函數(shù)．2022年天津卷第6題，5分2022年浙江卷第7題，5分2022年I卷I卷第7題，5分從近五年的高考情況來看，對數(shù)運算與對數(shù)函數(shù)是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)綜合，考查數(shù)值大小的比較和函數(shù)方程問題.1、對數(shù)式的運算(1)對數(shù)的定義：一般地，如果且，那么數(shù)叫做以為底的對數(shù)，記作，讀作以為底的對數(shù)，其中叫做對數(shù)的底數(shù)，叫做真數(shù)．(2)常見對數(shù)：①一般對數(shù)：以且為底，記為，讀作以為底的對數(shù)；②常用對數(shù)：以為底，記為；③自然對數(shù)：以為底，記為；(3)對數(shù)的性質(zhì)和運算法則：①；；其中且；②(其中且，)；③對數(shù)換底公式：；④；⑤；⑥，；⑦和；⑧；2、對數(shù)函數(shù)的定義及圖像(1)對數(shù)函數(shù)的定義：函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù)．對數(shù)函數(shù)的圖象圖象性質(zhì)定義域：值域：過定點，即時，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時，，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，【解題方法總結(jié)】1、對數(shù)函數(shù)常用技巧在同一坐標(biāo)系內(nèi)，當(dāng)時，隨的增大，對數(shù)函數(shù)的圖象愈靠近軸；當(dāng)時，對數(shù)函數(shù)的圖象隨的增大而遠(yuǎn)離軸．(見下圖)題型一：對數(shù)運算及對數(shù)方程、對數(shù)不等式【例1】（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）______．【答案】【解析】.故答案為：【對點訓(xùn)練1】（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預(yù)測）已知，，則______．【答案】/【解析】由題設(shè)，則且，所以，即，故.故答案為：【對點訓(xùn)練2】（2023·上海徐匯·位育中學(xué)校考模擬預(yù)測）方程的解集為________．【答案】【解析】因為,則，解得，所以方程的解集為.故答案為：【對點訓(xùn)練3】（2023·山東淄博·統(tǒng)考二模）設(shè)，滿足，則__________.【答案】/0.5【解析】令，則，所以，整理得，解得(負(fù)值舍去)，所以.故答案為：.【對點訓(xùn)練4】（2023·天津南開·統(tǒng)考二模）計算的值為______.【答案】8【解析】原式.故答案為：8.【對點訓(xùn)練5】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，，用a，b表示____________【答案】【解析】因為，所以，.故答案為：.【對點訓(xùn)練6】（2023·上?！じ呷Ｂ?lián)考階段練習(xí)）若，且，則__________．【答案】【解析】，且，且，，，，.故答案為：.【對點訓(xùn)練7】（2023·全國·高三專題練習(xí)）=____________；【答案】【解析】原式．故答案為：.【對點訓(xùn)練8】（2023·全國·高三專題練習(xí)）解關(guān)于x的不等式解集為_____．【答案】【解析】不等式，解，即，有，解得，解，即，化為，有，解得，因此，所以不等式解集為.故答案為：【對點訓(xùn)練9】（2023·上海楊浦·高三上海市楊浦高級中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時，，則的解集是__________.【答案】【解析】當(dāng)時，，所以，因為函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，所以當(dāng)時，，所以，要解不等式，只需或或，解得或或，綜上，不等式的解集為.故答案為：.【對點訓(xùn)練10】（2023·上海浦東新·高三華師大二附中?？茧A段練習(xí)）方程的解為_________．【答案】【解析】設(shè)函數(shù)，，由于函數(shù)在上均為增函數(shù)，又，故方程的解為.故答案為：.【解題方法總結(jié)】對數(shù)的有關(guān)運算問題要注意公式的順用、逆用、變形用等.對數(shù)方程或?qū)?shù)不等式問題是要將其化為同底，利用對數(shù)單調(diào)性去掉對數(shù)符號，轉(zhuǎn)化為不含對數(shù)的問題，但這里必須注意對數(shù)的真數(shù)為正.題型二：對數(shù)函數(shù)的圖像【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)（a，b為常數(shù)，其中且）的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【解析】由圖象可得函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，所以，排除A，C；又因為函數(shù)過點,所以，解得．故選：D【對點訓(xùn)練11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的圖象恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】當(dāng)時，即函數(shù)圖象恒過.故選：A【對點訓(xùn)練12】（2023·北京·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由題意，不等式，即，等價于在上的解，令，，則不等式為，在同一坐標(biāo)系下作出兩個函數(shù)的圖象，如圖所示，可得不等式的解集為，故選：B【對點訓(xùn)練13】（2023·北京·高三統(tǒng)考學(xué)業(yè)考試）將函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】將函數(shù)的圖象向上平移1個單位長度，得到函數(shù).故選：B.【對點訓(xùn)練14】（2023·北京海淀·清華附中?？寄M預(yù)測）不等式的解集為__________．【答案】【解析】由，在同一直角坐標(biāo)系內(nèi)畫出函數(shù)的圖象如下圖所示：因為，所以由函數(shù)的圖象可知：當(dāng)時，有，故答案為：【對點訓(xùn)練15】（多選題）（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，，則的值可以為（

）A． B． C． D．【答案】ABC【解析】分別記函數(shù)，由圖1知，當(dāng)時，不滿足題意；當(dāng)時，如圖2，要使時，不等式恒成立，只需滿足，即，即，解得.故選：ABC【解題方法總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)圖像是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.圖像問題是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型三：對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（單調(diào)性、最值（值域））【例3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若在上為減函數(shù)，則a的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)函數(shù)，因為在上為減函數(shù)，所以在上為減函數(shù)，則解得，又因為在恒成立，所以解得，所以a的取值范圍為，故選:B.【對點訓(xùn)練16】（2023·新疆阿勒泰·統(tǒng)考三模）正數(shù)滿足，則a與大小關(guān)系為______．【答案】/【解析】因為，所以，設(shè)，則，所以，又因為與在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，所以.故答案為：.【對點訓(xùn)練17】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)在上的最大值是2，則a等于_________【答案】2【解析】當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，解得，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，無解，綜上，a等于.故答案為：2.【對點訓(xùn)練18】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)（且）在上的最大值為2，最小值為m，函數(shù)在上是增函數(shù)，則的值是____________．【答案】3【解析】當(dāng)時，函數(shù)是正實數(shù)集上的增函數(shù)，而函數(shù)在上的最大值為，因此有，解得，所以，此時在上是增函數(shù)，符合題意，因此；當(dāng)時，函數(shù)是正實數(shù)集上的減函數(shù)，而函數(shù)在上的最大值為，因此有，，所以，此時在上是減函數(shù)，不符合題意.綜上所述，，，.故答案為：3.【對點訓(xùn)練19】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)有最小值，則的取值范圍是______．【答案】【解析】當(dāng)時，外層函數(shù)為減函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)，，則對任意的實數(shù)恒成立，由于二次函數(shù)有最小值，此時函數(shù)沒有最小值；當(dāng)時，外層函數(shù)為增函數(shù)，對于內(nèi)層函數(shù)，函數(shù)有最小值，若使得函數(shù)有最小值，則，解得.綜上所述，實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【對點訓(xùn)練20】（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）寫出一個同時具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù):_____.①;②當(dāng)時，單調(diào)遞減;③為偶函數(shù).【答案】（不唯一）【解析】性質(zhì)①顯然是和對數(shù)有關(guān)，性質(zhì)②只需令對數(shù)的底即可，性質(zhì)③只需將自變量加絕對值即變成偶函數(shù).故答案為：（不唯一）【對點訓(xùn)練21】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）函數(shù)的單調(diào)遞區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】函數(shù)的定義域為令，又在定義域內(nèi)為減函數(shù)，故只需求函數(shù)在定義域上的單調(diào)遞減區(qū)間，又因為函數(shù)在上單調(diào)遞減，的單調(diào)遞區(qū)間為.故選：B【對點訓(xùn)練22】（2023·陜西寶雞·統(tǒng)考二模）已知函數(shù)，則（

）A．在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增 B．在單調(diào)遞減C．的圖像關(guān)于直線對稱 D．有最小值，但無最大值【答案】C【解析】由題意可得函數(shù)的定義域為，則，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且在上單調(diào)遞增，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，A，B錯誤；由于，故的圖像關(guān)于直線對稱，C正確；因為在時取得最大值，且在上單調(diào)遞增，故有最大值，但無最小值，D錯誤，故選：C【對點訓(xùn)練23】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若函數(shù)在上單調(diào)，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若在上單調(diào)遞增，則，解得，若在上單調(diào)遞減，則，解得．綜上得.故選：D【解題方法總結(jié)】研究和討論題中所涉及的函數(shù)性質(zhì)是解決有關(guān)函數(shù)問題最重要的思路和方法.性質(zhì)問題是數(shù)和形結(jié)合的護體解釋.它為研究函數(shù)問題提供了思維方向.題型四：對數(shù)函數(shù)中的恒成立問題【例4】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，若存在，任意，使得，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】若在上的最大值，在上的最大值，由題設(shè)，只需即可.在上，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，由對勾函數(shù)的性質(zhì)：在上遞增，故.在上，單調(diào)遞增，則，所以，可得.故答案為：.【對點訓(xùn)練24】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為，不等式恒成立，所以對恒成立.記，，只需.因為在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以.故答案為：【對點訓(xùn)練25】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對任意的，，有恒成立，則實數(shù)的取值范圍是___________.【答案】【解析】函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在，上單調(diào)遞增，∴，，對任意的，，有恒成立，∴，即，解得，∴實數(shù)的取值范圍是．故答案為：.【對點訓(xùn)練26】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，若對，使得，則實數(shù)的取值范圍為___________.【答案】【解析】因為對，使得，所以，因為的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞增，所以，又因為在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，即，故答案為：.【對點訓(xùn)練27】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù).(1)若，求a的值；(2)若對任意的，恒成立，求的取值范圍.【解析】（1）因為，所以，所以，所以，解得.（2）由，得，即，即或.當(dāng)時，，則或，因為，則不成立，由可得，得；當(dāng)時，，則或，因為，則不成立，所以，解得.綜上，的取值范圍是.【對點訓(xùn)練28】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知，.（1）當(dāng)時，求函數(shù)的值域；（2）對任意，其中常數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【解析】（1）因為，，令，∵，∴，所以當(dāng)，即時取最大值，當(dāng)或，即或時取最小值，∴函數(shù)的值域為.（2）由得，令，∵，∴，∴對一切的恒成立，①當(dāng)時，若時，；當(dāng)時，恒成立，即，函數(shù)在單調(diào)遞減，于是時取最小值-2，此時，于是；②當(dāng)時，此時時，恒成立，即，∵，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，即的最小值為-3，；③當(dāng)時，此時時，恒成立，即，函數(shù)在單調(diào)遞增，于是時取最小值，此時，于是.綜上可得：當(dāng)時，當(dāng)時，當(dāng)時，【解題方法總結(jié)】（1）利用數(shù)形結(jié)合思想，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的圖像求解；（2）分離自變量與參變量，利用等價轉(zhuǎn)化思想，轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題.（3）涉及不等式恒成立問題，將給定不等式等價轉(zhuǎn)化，借助同構(gòu)思想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)單調(diào)性、最值是解決問題的關(guān)鍵.題型五：對數(shù)函數(shù)的綜合問題【例5】（多選題）（2023·湖北·黃岡中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知，，，，則以下結(jié)論正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】對于A，由題意知，a，b是函數(shù)分別與函數(shù)，圖象交點的橫坐標(biāo)，由的圖象關(guān)于對稱，則其向上，向右都平移一個單位后的解析式為，所以的圖象也關(guān)于對稱，又，兩個函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，故兩交點，關(guān)于直線對稱，所以，，故A正確；對于B，結(jié)合選項A得，則，即，即成立，故B正確；對于C，結(jié)合選項A得，令，則，所以在上單調(diào)遞減，則，故C錯誤；對于D，結(jié)合選項B得(，即不等式取不到等號)，故D正確．故選：ABD．【對點訓(xùn)練29】（2023·海南?？凇そy(tǒng)考模擬預(yù)測）已知正實數(shù)，滿足：，則的最小值為______.【答案】【解析】由可得：,所以，，設(shè)，，所以在上單調(diào)遞增，所以，則，所以，所以，所以，令，令，解得：；令，解得：；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.故的最小值為.故答案為：.【對點訓(xùn)練30】（多選題）（2023·廣東惠州·統(tǒng)考一模）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】因為，所以，則，選項A，，故正確；選項B，因為，且，所以，故B正確；選項C，因為，故C錯誤；選項D，因為，故D正確，故選：ABD．【對點訓(xùn)練31】（2023·河南·高三信陽高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，分別是方程和的根，若，實數(shù)a，，則的最小值為（

）A．1 B． C． D．2【答案】D【解析】；.函數(shù)與函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，由解得，設(shè)，則，即，，令，則，則，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故選：D【對點訓(xùn)練32】（2023·全國·高三專題練習(xí)）若滿足，滿足，則等于（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】D【解析】由題意，故有故和是直線和曲線、曲線交點的橫坐標(biāo).根據(jù)函數(shù)和函數(shù)互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線對稱，故曲線和曲線的圖象交點關(guān)于直線對稱.即點（x1，5﹣x1）和點（x2，5﹣x2）構(gòu)成的線段的中點在直線y=x上，即，求得x1+x2=5，故選：D.【對點訓(xùn)練33】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知是方程的根，是方程的根，則的值為（

）A．2 B．3 C．6 D．10【答案】A【解析】方程可變形為方程，