第三章45研彈性力學課件

其中A、B、C、D為無量綱量，只與

有關。各應力分量為x、y的純一次式。應力函數(shù)（x，y）應為x、y的純三次式。設2）檢查

是否滿足相容方程滿足3）根據(jù)（2—23）求出應力分量{

；其中A、B、C、D為無量綱量，只與有關。各應力分量為x、y14）根據(jù)應力邊界條件確定常數(shù)a）左面（x=0）b）右面（x=ytg

）0yy

g

gy

n4）根據(jù)應力邊界條件確定常數(shù)a）左面（x=0）b）右面（x=2由：解得：應力分量（李維解）：由：解得：應力分量（李維解）：3討論：0yy

g

gy

n

x

y

xy1）

x沿水平方向無變化；2）

y沿水平方向按直線變化；3）

xy沿水平方向也按直線變化討論：0yyggynxyxy1）x沿水平方4多項式形式的應力函數(shù)求解直角坐標平面問題只對簡單載荷或連續(xù)分布載荷的情況才適用，如果載荷比較復雜，或者是間斷載荷，一般采用三角級數(shù)法求解。復雜載荷，或者是間斷載荷，通?？梢哉归_為富氏級數(shù)。為此，用逆解法，首先假設應力函數(shù)取如下的形式：

Φ＝f(y)

sinαx

（a）其中α是任意常數(shù)，它的因次是[長度]-1，f(y)是y的任意函數(shù).§3.5梁的級數(shù)解法將式（a)代人相容方程，即得多項式形式的應力函數(shù)求解直角坐標平面問題只對簡單載荷或5刪去因子sinαx,然后求解這個常微分方程，得其中的A、B、C、D都是任意常數(shù)，于是得到應力函數(shù)的一個解然后，再假設應力函數(shù)取如下的形式：

Φ

＝f1(y)cosα'x

同樣可以得出應力函數(shù)的另一個解答，Φ

=cosα'x(A'sinhα'y＋B'coshα'y＋C'ysinhα'y＋D'ycoshα'y)

（d）其中的A'、B'、C'、D'也是任意常數(shù)。刪去因子sinαx,然后求解這個常微分方程，得其中的A、B6

現(xiàn)在，將解答(c)與(d)疊加，得

Φ

=sinαx(Asinhαy＋Bcoshαy＋cysinhαy又因為α取任何值α時，或者當α‘取任何值α’時,表達式(a)都是微分方程(b)的解答，所以這些解答的疊加仍然是該微分方程的解答。于是得三角級數(shù)式的應力函數(shù)+Dycoshαy)+cosα'x(A'sinhα'y＋B'coshα'y＋

C'ysinhα'y+D'ycoshα'y)現(xiàn)在，將解答(c)與(d)疊加，得又因為α取任何值α時，7應力分量表達式:應力分量表達式:8

這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。如果能夠選擇其中的待定常數(shù)αm、Am、Bm、Cm、Dm、α'm、A'm、B'm、C'm、D'm,或再疊加以滿足平衡微分方程和相容方程的其它應力分量表達式，使其滿足某個問題的邊界條件，就得出該問題的解答。這些應力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的。如果能夠9簡支梁受任意橫向荷載本節(jié)中將以簡支梁受任意橫向荷載的問題為例，說明三角級數(shù)式解答的應用。設簡支梁的跨度為l，高度為H，坐標軸如圖所示，上下兩邊的橫向荷載分別為q(x)及q1(x),左右兩端的反力分別為R及R1。在上下兩邊，正應力的邊界條件是（σy）y=0=-q(x)（σy）y=H=-q1(x)（τxy）y=0=0（τxy）y=H=0剪應力的邊界條件是簡支梁受任意橫向荷載在上下兩邊，正應力的邊界條件是10在左右兩端，正應力的邊界條件是（σx）x=0=0

（σx）x=l

=0為了滿足邊界條件，選擇其中的待定常數(shù)

A'm=B'm=C'm=D'm=0,

αm=mπ/l(m=1,2,3...)應力分量表達式簡化為下式：剪應力應當合成為反力，即在左右兩端，正應力的邊界條件是為了滿足邊界條件，選擇11第三章45研彈性力學課件12代入邊界條件（τxy）y=0=0（τxy）y=H=0得到代入邊界條件（τxy）y=0=0得到13代入邊界條件得到（σy）y=0=-q(x)（σy）y=H=-q1(x)代入邊界條件得到（σy）y=0=-q(x)14自此可以得出求解系數(shù)am、Am、Bm、Cm、Dm的方程，說明如下。式（e）和式(f）表示它們左邊的三角級數(shù)恒等于零，因此，級數(shù)的系數(shù)都應當?shù)扔诹?，于是得自此可以得出求解系?shù)am、Am、Bm、Cm、Dm的方15為了從式（g）得出所需的方程，須將該式右邊的q(x)在x=0至x=l的區(qū)間展為和左邊相同的級數(shù),按照傅立葉級數(shù)的展開法則，我們有與式（g)對比，從而得出為了從式（g）得出所需的方程，須將該式右邊的q(x)在x=016同樣可由式（h)得出同樣可由式（h)得出17求出式（k)及式（l)右邊的積分以后，即可由（i)、（j)、（k)，（l)四式求得系數(shù)Am、Bm、Cm、Dm，從而由公式（3一10）求得應力分量。因為如此求得的應力分量已經(jīng)滿足式（*)以外的所有一切條件，包括平衡條件在內，而式（*)中的R及R1又完全決定于平衡條件，所以式（*）自然滿足，不必考慮。在求出應力分量以后，可以由式（*)的求得反力R

及R1，并利用這兩個反力與荷載的平衡作為校核之用。(*)求出式（k)及式（l)右邊的積分以后，即可由（i)、（j)18由本節(jié)中所討論的簡支梁問題已經(jīng)看出，用級數(shù)求解平面問題時，單是為了求出應力表達式中的系數(shù)，計算工作量就已經(jīng)很大了；再加上由于級數(shù)收斂不快，得出應力分量的表達式以后，在計算某些點的應力數(shù)值則時，還要花費很大的計算工作量。但是由于級數(shù)解法規(guī)范，計算機求解方便，仍在許多問題中得到運用。應當著重指出，由于梁的兩端的應力邊界