2024屆浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題含解析

2024屆浙江省寧波市鄞州區(qū)諾丁漢大學(xué)附中數(shù)學(xué)高一上期末考試模擬試題注意事項1．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回．2．答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0．5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置．3．請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符．4．作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案．作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效．5．如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗．一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．在正六棱柱任意兩個頂點的連線中與棱AB平行的條數(shù)為（）A.2 B.3C.4 D.52．函數(shù)f(x)=|x|+(aR)的圖象不可能是（）A. B.C. D.3．已知函數(shù)，若f（a）=10，則a的值是（）A.-3或5 B.3或-3C.-3 D.3或-3或54．把函數(shù)y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍（縱坐標(biāo)不變），然后向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度，得到的圖象是（）A. B.C. D.5．若，則的可能值為（）A.0 B.0，1C.0，2 D.0，1，26．已知函數(shù)f(x)＝|lnx|－1，g(x)＝－x2＋2x＋3，用min{m，n}表示m，n中的最小值．設(shè)函數(shù)h(x)＝min{f(x)，g(x)}，則函數(shù)h(x)的零點個數(shù)為()A.1 B.2C.3 D.47．已知正方體ABCD-ABCD中,E、F分別為BB、CC的中點,那么異面直線AE與DF所成角的余弦值為A. B.C. D.8．用二分法求方程的近似解時,可以取的一個區(qū)間是A. B.C. D.9．已知，則的最小值是（）A.2 B.C.4 D.10．設(shè)函數(shù)的部分圖象如圖所示，若，且，則（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．下列五個結(jié)論：集合2，3，4，5，，集合，若f：，則對應(yīng)關(guān)系f是從集合A到集合B的映射；函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域也是；存在實數(shù)，使得成立；是函數(shù)的對稱軸方程；曲線和直線的公共點個數(shù)為m，則m不可能為1；其中正確有______寫出所有正確的序號12．已知集合，，且，則實數(shù)的取值范圍是__________13．設(shè)函數(shù)的圖象為，則下列結(jié)論中正確的是__________（寫出所有正確結(jié)論的編號）.①圖象關(guān)于直線對稱；②圖象關(guān)于點對稱；③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；④把函數(shù)的圖象上點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變）可以得到圖象.14．過正方體的頂點作直線，使與棱、、所成的角都相等，這樣的直線可以作_________條.15．若，則________.16．已知奇函數(shù)滿足，，若當(dāng)時，，則______三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)，，.若不等式的解集為（1）求的值及；（2）判斷函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，并利用定義證明你的結(jié)論（3）已知且，若.試證：.18．已知函數(shù).（1）若在上是減函數(shù)，求的取值范圍；（2）設(shè)，，若函數(shù)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍.19．已知函數(shù).（1）判斷函數(shù)在R上的單調(diào)性，并用單調(diào)性的定義證明；（2）判斷函數(shù)的奇偶性，并證明；（3）若恒成立，求實數(shù)k的取值范圍.20．已知，求下列各式的值：（1）；（2）.21．某企業(yè)生產(chǎn)A，B兩種產(chǎn)品，根據(jù)市場調(diào)查與預(yù)測，A產(chǎn)品的利潤與投資成正比，其關(guān)系如圖①；B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比，其關(guān)系如圖②.(注：利潤和投資單位：萬元)(1)分別將A，B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知該企業(yè)已籌集到18萬元資金，并將全部投入A，B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，怎樣分配這18萬元投資，才能使該企業(yè)獲得最大利潤？其最大利潤約為多少萬元？

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解題分析】作出幾何體的直觀圖觀察即可.【題目詳解】解：連接CF，C1F1，與棱AB平行的有，共有5條，故選：D.2、C【解題分析】對分類討論，將函數(shù)寫成分段形式，利用對勾函數(shù)的單調(diào)性，逐一進行判斷圖象即可.【題目詳解】，①當(dāng)時，，圖象如A選項；②當(dāng)時，時，，在遞減，在遞增；時，，由，單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞減，故圖象為B；③當(dāng)時，時，，可得，，在遞增，即在遞增，圖象為D；故選：C.3、A【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式，分兩種情況討論分別求得或.【題目詳解】若,則舍去）,若，則,綜上可得，或,故選A.【題目點撥】本題主要考查分段函數(shù)的解析式、分段函數(shù)求自變量，屬于中檔題.對于分段函數(shù)解析式的考查是命題的動向之一，這類問題的特點是綜合性強，對抽象思維能力要求高，因此解決這類題一定要層次清楚，思路清晰.4、A【解題分析】由題意,的圖象上所有點的橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍(縱坐標(biāo)不變),即解析式為,向左平移一個單位為,向下平移一個單位為,利用特殊點變?yōu)?選A.點睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個變換總是對字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).5、C【解題分析】根據(jù)，分，，討論求解.【題目詳解】因為，當(dāng)時，集合為，不成立；當(dāng)時，集合為，成立；當(dāng)時，則（舍去）或，當(dāng)時，集合為故選：C6、C【解題分析】畫圖可知四個零點分別為－1和3，和e，但注意到f(x)的定義域為x>0，故選C.7、C【解題分析】連接DF,因為DF與AE平行,所以∠DFD即為異面直線AE與DF所成角的平面角,設(shè)正方體的棱長為2,則FD=FD=,由余弦定理得cos∠DFD==.8、A【解題分析】分析：根據(jù)零點存在定理進行判斷詳解：令，因為，，所以可以取的一個區(qū)間是，選A.點睛：零點存在定理的主要內(nèi)容為區(qū)間端點函數(shù)值異號，是判斷零點存在的主要依據(jù).9、C【解題分析】根據(jù)對數(shù)運算和指數(shù)運算可得,,再由以及基本不等式可得.【題目詳解】因為,所以,所以,所以,所以,當(dāng)且僅當(dāng)即時,等號成立.故選:C.【題目點撥】本題考查了指數(shù)和對數(shù)運算,基本不等式求最值,屬于中檔題.10、C【解題分析】根據(jù)圖像求出，由得到，代入即可求解.【題目詳解】根據(jù)函數(shù)的部分圖象，可得：A=1;因為，，結(jié)合五點法作圖可得，，如果，且，結(jié)合，可得，，，故選：C二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】由，，結(jié)合映射的定義可判斷；由由，解不等式可判斷；由輔助角公式和正弦函數(shù)的值域，可判斷；由正弦函數(shù)的對稱軸，可判斷；由的圖象可判斷交點個數(shù)，可判斷【題目詳解】由于，，B中無元素對應(yīng)，故錯誤；函數(shù)的定義域為，由，可得，則函數(shù)的定義域也是，故正確；由于的最大值為，，故不正確；由為最小值，是函數(shù)的對稱軸方程，故正確；曲線和直線的公共點個數(shù)為m，如圖所示，m可能為0，2，3，4，則m不可能為1，故正確，故答案為【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的定義域、值域和對稱性、圖象交點個數(shù)，考查運算能力和推理能力，屬于基礎(chǔ)題12、【解題分析】，是的子集，故.【題目點撥】本題主要考查集合的研究對象和交集的概念，考查指數(shù)不等式的求解方法，考查二次函數(shù)的值域等知識.對于一個集合，首先要確定其研究對象是什么元素，是定義域還是值域，是點還是其它的元素.二次函數(shù)的值域主要由開口方向和對稱軸來確定.在解指數(shù)或?qū)?shù)不等式時，要注意底數(shù)對單調(diào)性的影響.13、①③【解題分析】圖象關(guān)于直線對稱；所以①對；圖象關(guān)于點對稱；所以②錯；，所以函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；所以③對；因為把函數(shù)的圖象上點的橫坐標(biāo)縮短為原來的一半（縱坐標(biāo)不變）可以得到，所以④錯；填①③.14、【解題分析】將小正方體擴展成4個小正方體，根據(jù)直線夾角的定義即可判斷出符合條件的條數(shù)【題目詳解】解：設(shè)ABCD﹣A1B1C1D1邊長為1第一條：AC1是滿足條件的直線；第二條：延長C1D1到C1且D1C2＝1，AC2是滿足條件的直線；第三條：延長C1B1到C3且B1C3＝1，AC3是滿足條件的直線；第四條：延長C1A1到C4且C4A1，AC4是滿足條件的直線故答案為4【題目點撥】本題考查滿足條件的直線條數(shù)的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查空間想象能力，考查分類與整合思想，是基礎(chǔ)題15、【解題分析】由，根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式進行轉(zhuǎn)化求解即可．詳解】，，則，故答案為：．16、【解題分析】由，可得是以周期為周期函數(shù)，由奇函數(shù)的性質(zhì)以及已知區(qū)間上的解析式可求值，從而計算求解.【題目詳解】因為，即是以周期為的周期函數(shù).為奇函數(shù)且當(dāng)時，，，當(dāng)時，所以故答案為：三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明見解析（3）見解析【解題分析】（1）根據(jù)二次不等式的解集可以得到二次函數(shù)的零點，回代即可求出參數(shù)的值（2）定義法證明單調(diào)性，假設(shè)，若，則單調(diào)遞增，若，則單調(diào)遞減（3）單調(diào)性的逆應(yīng)用，可以通過證明函數(shù)值的大小，反推變量的大小，難度較大【小問1詳解】，即，因不等式解集為，所以，解得：，所以【小問2詳解】函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，證明如下：假設(shè)，則，因為，所以，所以，即當(dāng)時，，所以函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增【小問3詳解】由（2）可得：函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)遞增，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，因為，且，，所以，，證明，即證明，即證明，因為，所以即證明，代入解析式得：，即，令，因為在區(qū)間上的單調(diào)遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減的性質(zhì)可知，在區(qū)間上的單調(diào)遞減，所以單調(diào)遞增，即，所以在區(qū)間上恒成立，即，得證：【題目點撥】小問1求解析式，較易；小問2考察定義法證明單調(diào)性，按照常規(guī)方法求解即可；小問3難度較大，解題過程中應(yīng)用到以下知識點：（1）可以通過證明函數(shù)值的大小，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，反推出變量的大小，即若，且單減，則；解題過程（2）單調(diào)性的性質(zhì)，復(fù)合函數(shù)同增異減以及增函數(shù)減去減函數(shù)為增函數(shù)18、(1)(2)【解題分析】(1)由題意結(jié)合函數(shù)單調(diào)性的定義得到關(guān)于a的表達式，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)確定的取值范圍即可；(2)利用換元法將原問題轉(zhuǎn)化為二次方程根的分布問題，然后求解實數(shù)的取值范圍即可.【題目詳解】（1）由題設(shè)，若在上是減函數(shù)，則任取，，且，都有，即成立.∵.又在上是增函數(shù)，且，∴由，得，即，且.∴只須，解.由，，且，知，∴，即，∴.所以在上是減函數(shù)，實數(shù)的取值范圍是.（2）由題知方程有且只有一個實數(shù)根，令，則關(guān)于的方程有且只有一個正根.若，則，不符合題意，舍去；若，則方程兩根異號或有兩個相等的正根.方程兩根異號等價于解得；方程有兩個相等的正根等價于解得；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.【題目點撥】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性，二次方程根的分布等知識，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.19、（1）在R上的單調(diào)遞增，證明見解析；（2）是奇函數(shù)，證明見解析；（3）.【解題分析】（1）利用單調(diào)性的定義證明，任取，設(shè)，然后判斷與0的大小，即可確定單調(diào)性.（2），直接利用函數(shù)奇偶性的定義判斷；（3）利用函數(shù)是奇函數(shù)，將題設(shè)不等式轉(zhuǎn)化為，再利用是上的單調(diào)增函數(shù)求解.【小問1詳解】函數(shù)是增函數(shù)，任取，不妨設(shè)，，∵，∴，又，∴，即，∴函數(shù)是上的增函數(shù).【小問2詳解】函數(shù)為奇函數(shù)，證明如下：由解析式可得：，且定義域為關(guān)于原點對稱，，∴函數(shù)是定義域內(nèi)的奇函數(shù).【小問3詳解】由等價于，∵是上的單調(diào)增函數(shù)，∴，即恒成立，∴，解得.20、（1）；（2）.【解題分析】（1）求出的值，利用誘導(dǎo)公式結(jié)合弦化切可求得結(jié)果；（2）在代數(shù)式上除以，再結(jié)合弦化切可求得結(jié)果.【小問1詳解】解：因為，則，原式【小問2詳解】解：原式.21、（1）；（2）當(dāng)A，B兩種產(chǎn)品分別投入2萬元、16萬元時，可使該企業(yè)獲得最大利潤，約為8.5萬元.