2024屆陜西省西安市長(zhǎng)安一中數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題含解析

2024屆陜西省西安市長(zhǎng)安一中數(shù)學(xué)高一上期末綜合測(cè)試試題考生請(qǐng)注意：1．答題前請(qǐng)將考場(chǎng)、試室號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標(biāo)記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號(hào)內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．天文學(xué)中為了衡量天體的明暗程度，古希臘天文學(xué)家喜帕恰斯（，又名依巴谷）在公元前二世紀(jì)首先提出了星等這個(gè)概念．星等的數(shù)值越小，天體就越亮；星等的數(shù)值越大，天體就越暗．到了1850年，由于光度計(jì)在天體光度測(cè)量中的應(yīng)用，英國(guó)天文學(xué)家普森（）又提出了衡量天體明暗程度的亮度的概念．天體的明暗程度可以用星等或亮度來描述，兩顆星的星等與亮度滿足（），其中星等為的星的亮度為（，2）．已知“心宿二”的星等是1.00，“天津四”的星等是1.25，“心宿二”的亮度是“天津四”的倍，則的近似值為（當(dāng)較小時(shí)，）（）A1.23 B.1.26C.1.51 D.1.572．已知函數(shù)，函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則取值范圍是A. B.C. D.3．函數(shù)的定義城為（）A B.C. D.4．已知，則函數(shù)（）A. B.C. D.5．函數(shù)在區(qū)間上的最小值是A. B.0C. D.26．函數(shù)f(x)=在[—π，π]的圖像大致為A. B.C. D.7．下列函數(shù)是奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增的是()A. B.C. D.8．若，，，則a，b，c的大小關(guān)系是A. B.C. D.9．函數(shù)的定義域是（）A. B.C.R D.10．如果命題“使得”是假命題，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．的值是__________12．已知函數(shù)f（x）=cos（ωx+φ）（ω＞0，|φ|≤），x=-為f（x）的零點(diǎn)，x=為y=f（x）圖象的對(duì)稱軸，且f（x）在（，）上單調(diào)，則ω的最大值為______13．過點(diǎn)P(4,2)并且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為（化為一般式）________.14．某高校甲、乙、丙、丁4個(gè)專業(yè)分別有150，150，400，300名學(xué)生．為了了解學(xué)生的就業(yè)傾向，用分層隨機(jī)抽樣的方法從這4個(gè)專業(yè)的學(xué)生中抽取40名學(xué)生進(jìn)行調(diào)查，應(yīng)在丁專業(yè)中抽取的學(xué)生人數(shù)為______15．已知?jiǎng)t________16．在矩形ABCD中，AB=2，AD=1．設(shè)①當(dāng)時(shí)，t=___________；②若，則t的最大值是___________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．如圖，在四邊形中，，，，為等邊三角形，是的中點(diǎn).設(shè)，.（1）用，表示，，（2）求與夾角的余弦值.18．定義在上的函數(shù)，如果滿足：對(duì)任意，存在常數(shù)，都有成立，則稱是上的有界函數(shù)，其中稱為函數(shù)的上界，已知函數(shù)（Ⅰ）若是奇函數(shù)，求的值（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)在上的值域，判斷函數(shù)在上是否為有界函數(shù)，并說明理由（Ⅲ）若函數(shù)在上是以為上界的函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍19．若是從四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)（1）求事件“”的概率；（2）求事件“方程有實(shí)數(shù)根”的概率20．某新型企業(yè)為獲得更大利潤(rùn)，須不斷加大投資，若預(yù)計(jì)年利潤(rùn)低于10%時(shí)，則該企業(yè)就考慮轉(zhuǎn)型，下表顯示的是某企業(yè)幾年來利潤(rùn)y（百萬(wàn)元）與年投資成本x（百萬(wàn)元）變化的一組數(shù)據(jù)：年份2015201620172018投資成本35917…年利潤(rùn)1234…給出以下3個(gè)函數(shù)模型：①；②（，且）；③（，且）.（1）選擇一個(gè)恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型來描述x，y之間的關(guān)系，并求出其解析式；（2）試判斷該企業(yè)年利潤(rùn)不低于6百萬(wàn)元時(shí)，該企業(yè)是否要考慮轉(zhuǎn)型.21．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】根據(jù)題意列出方程，結(jié)合對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化以及對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)即可求解.【題目詳解】設(shè)“心宿二”的星等為，“天津四”的星等為，“心宿二”和“天津四”的亮度分別為，，，，，所以，所以，所以，所以與最接近的是1.26，故選：B.2、D【解題分析】根據(jù)題意做出函數(shù)在定義域內(nèi)的圖像，將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化成函數(shù)與函數(shù)圖像交點(diǎn)問題，結(jié)合圖形即可求解.【題目詳解】解：根據(jù)題意畫出函數(shù)的圖象，如圖所示：函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于函數(shù)與函數(shù)有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)直線位于直線與直線之間時(shí)，符合題意，由圖象可知：，，所以，故選：D.【題目點(diǎn)撥】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的情況求參數(shù)有三種常用方法：（1）直接法：直接根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建關(guān)于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結(jié)合求解.3、C【解題分析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)以及根式的性質(zhì)列不等式組，即可求解.【題目詳解】由題意可得解得，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：C4、A【解題分析】根據(jù)，令，則，代入求解.【題目詳解】因?yàn)橐阎?，令，則，則，所以，‘故選：A5、A【解題分析】函數(shù)，可得的對(duì)稱軸為，利用單調(diào)性可得結(jié)果【題目詳解】函數(shù)，其對(duì)稱軸為，在區(qū)間內(nèi)部，因?yàn)閽佄锞€的圖象開口向上，所以當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上取得最小值，其最小值為，故選A【題目點(diǎn)撥】本題考查二次函數(shù)的最值，注意分析的對(duì)稱軸，屬于基礎(chǔ)題．若函數(shù)為一元二次函數(shù)，常采用配方法求函數(shù)求值域，其關(guān)鍵在于正確化成完全平方式，并且一定要先確定其定義域.6、D【解題分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，得是奇函數(shù)，排除A，再注意到選項(xiàng)的區(qū)別，利用特殊值得正確答案【題目詳解】由，得是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．又．故選D【題目點(diǎn)撥】本題考查函數(shù)的性質(zhì)與圖象，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．采取性質(zhì)法或賦值法，利用數(shù)形結(jié)合思想解題7、D【解題分析】利用冪函數(shù)的單調(diào)性和奇函數(shù)的定義即可求解.【題目詳解】當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)為減函數(shù)，故在上單調(diào)遞減，、和在上單調(diào)遞增，從而A錯(cuò)誤；由奇函數(shù)定義可知，和不是奇函數(shù)，為奇函數(shù)，從而BC錯(cuò)誤，D正確.故選：D.8、C【解題分析】由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得，即可得到答案.【題目詳解】由題意，根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，可得，根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，可得；故選C【題目點(diǎn)撥】本題主要考查了指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中合理運(yùn)用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合理得到的取值范圍是解答的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題.9、A【解題分析】顯然這個(gè)問題需要求交集.【題目詳解】對(duì)于：，；對(duì)于：，；故答案為：A.10、B【解題分析】特稱命題是假命題，則該命題的否定為全稱命題且是真命題，然后根據(jù)即可求解.【題目詳解】依題意，命題“使得”是假命題，則該命題的否定為“”，且是真命題；所以，.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】分析：利用對(duì)數(shù)運(yùn)算的性質(zhì)和運(yùn)算法則，即可求解結(jié)果.詳解：由.點(diǎn)睛：本題主要考查了對(duì)數(shù)的運(yùn)算，其中熟記對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則和對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力.12、【解題分析】先根據(jù)是的零點(diǎn)，是圖像的對(duì)稱軸可轉(zhuǎn)化為周期的關(guān)系，從而求得的取值范圍，又根據(jù)所求值為最大值，所以從大到小對(duì)賦值驗(yàn)證找到適合的最大值即可【題目詳解】由題意可得，即，解得，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)，所以，即，因?yàn)橐蟮淖畲笾?，令，因?yàn)槭堑膶?duì)稱軸，所以，又，解得，所以此時(shí)，在上單調(diào)遞減，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在不單調(diào)，同理，令，，在上單調(diào)遞減，因?yàn)?，所以在單調(diào)遞減，滿足題意，所以的最大值為5.【題目點(diǎn)撥】本題綜合考查三角函數(shù)圖像性質(zhì)的運(yùn)用，在這里需注意：兩對(duì)稱軸之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸心之間的距離為半個(gè)周期；相鄰對(duì)稱軸和對(duì)稱中心之間的距離為個(gè)周期13、或【解題分析】根據(jù)直線在兩坐標(biāo)軸上截距相等，則截距可能為也可能不為，再結(jié)合直線方程求法，即可對(duì)本題求解【題目詳解】由題意，設(shè)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距均為，當(dāng)時(shí)，設(shè)直線方程為：，因?yàn)橹本€過點(diǎn)，所以，即，所以直線方程為：,即：，當(dāng)時(shí)，直線過點(diǎn)，且又過點(diǎn)，所以直線的方程為，即：，綜上，直線的方程為：或.故答案為：或【題目點(diǎn)撥】本題考查直線方程的求解，考查能力辨析能力，應(yīng)特別注意，截距相等，要分截距均為和均不為兩種情況分別討論.14、12【解題分析】利用分層抽樣的性質(zhì)直接求解詳解】由題意應(yīng)從丁專業(yè)抽取的學(xué)生人數(shù)為：故答案為：1215、【解題分析】分段函數(shù)的求值，在不同的區(qū)間應(yīng)使用不同的表達(dá)式.【題目詳解】，故答案為：.16、①.0②.【解題分析】利用坐標(biāo)法可得，結(jié)合條件及完全平方數(shù)的最值即得.【題目詳解】由題可建立平面直角坐標(biāo)系，則，∴，∴，∴當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，要使t最大，可取，即時(shí)，t取得最大值是.故答案為：0；.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1），；（2）.【解題分析】（1）利用向量的線性運(yùn)算即平面向量基本定理確定，與，的關(guān)系；（2）解法一：利用向量數(shù)量積運(yùn)算公式求得向量夾角余弦值；解法二：建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)表示確定向量夾角余弦值.【題目詳解】解法一：（1）由圖可知.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以.（2）因?yàn)椋瑸榈冗吶切?，所以，，所以，所以?設(shè)與的夾角為，則，所以在與夾角的余弦值為.解法二：（1）同解法一.（2）以A為原點(diǎn)，AD所在直線為x軸，過A且與AD垂直的直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，.因?yàn)镋是CD的中點(diǎn)，所以，所以，，所以，.設(shè)與的夾角為，則，所以與夾角的余弦值為.【題目點(diǎn)撥】求兩個(gè)向量的數(shù)量積有三種方法：利用定義；利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算；利用數(shù)量積的幾何意義．具體應(yīng)用時(shí)可根據(jù)已知條件的特征來選擇，同時(shí)要注意數(shù)量積運(yùn)算律的應(yīng)用18、（1）（2）是（3）或【解題分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)定義得，解得的值（2）先分離得再根據(jù)單調(diào)性求值域，最后根據(jù)值域判定是否成立（3）轉(zhuǎn)化為不等式恒成立，再分離變量得最值，最后根據(jù)最值求實(shí)數(shù)的取值范圍試題解析：解：（）由是奇函數(shù)，則，得，即，∴，（）當(dāng)時(shí)，∵，∴，∴，滿足∴在上為有界函數(shù)（）若函數(shù)在上是以為上界的有界函數(shù)，則有在上恒成立∴，即，∴，化簡(jiǎn)得：，即，上面不等式組對(duì)一切都成立，故，∴或19、（1）（2）【解題分析】（1）利用列舉法求解，先列出取兩數(shù)的所有情況，再找出滿足的情況，然后根據(jù)古典概型的概率公式求解即可，（2）由題意可得，再根據(jù)對(duì)立事件的概率公式求解【小問1詳解】設(shè)事件表示“”因?yàn)槭菑乃膫€(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，是從三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)所以樣本點(diǎn)一共有12個(gè)：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2），其中第一個(gè)數(shù)表示的取值，第二個(gè)數(shù)表示的取值符合古典概型模型，事件包含其中3個(gè)樣本點(diǎn)，故事件發(fā)生的概率為【小問2詳解】若方程有實(shí)數(shù)根，則需，即記事件“方程有實(shí)數(shù)根”為事件，由（1）知，故20、（1）可用③來描述x，y之間的關(guān)系，（2）該企業(yè)要考慮轉(zhuǎn)型.【解題分析】（1）由年利潤(rùn)是隨著投資成本的遞增而遞增，可知①不符合，把，分