優(yōu)化模型講義

一、引言二、線性規(guī)劃模型三、整數(shù)線性規(guī)劃模型第一講規(guī)劃理論及模型四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型五、非線性規(guī)劃模型六、多目標規(guī)劃模型七、動態(tài)規(guī)劃模型一、引言我們從2005年“高教社杯”全國大學(xué)生數(shù)模競談起.其中第二個問題是一個如何來分配有限資源，從而達到人們期望目標的優(yōu)化分配數(shù)學(xué)模型.它在運籌學(xué)中處于中心的地位.這類問題一般可以歸結(jié)為數(shù)學(xué)規(guī)劃模型.賽的B題“DVD在線租賃”問題的第二問和第三問規(guī)劃模型的應(yīng)用極其廣泛，其作用已為越來來越急速地滲透于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、商業(yè)活動、軍事行為核科學(xué)研究的各個方面，為社會節(jié)省的財富、創(chuàng)造的價值無法估量.特別是在數(shù)模競賽過程中，規(guī)劃模型是最常見的一類數(shù)學(xué)模型.從92-06年全國大學(xué)生數(shù)模競越多的人所重視.隨著計算機的逐漸普及，它越賽試題的解題方法統(tǒng)計結(jié)果來看，規(guī)劃模型共出現(xiàn)了15次，占到了50%，也就是說每兩道競賽題中就有一道涉及到利用規(guī)劃理論來分析、求解.

二、線性規(guī)劃模型線性規(guī)劃模型是所有規(guī)劃模型中最基本、最例1.（食譜問題）設(shè)有n種食物，各含m種營養(yǎng)素，第j種食物中第i中營養(yǎng)素的含量為aij,n種食物價格分別為c1,c2,…,cn，請確定食譜中n種食物的數(shù)量x1,x2,…,xn，要求在食譜中m種營養(yǎng)素簡單的一種.

2.1線性規(guī)劃模型的標準形式

的含量分別不低于b1,b2,…,bm的情況下，使得總總的費用最低.首先根據(jù)食物數(shù)量及價格可寫出食譜費用為其次食譜中第i種營養(yǎng)素的含量為因此上述問題可表述為：解上述食譜問題就是一個典型的線性規(guī)劃問題，尋求以線性函數(shù)的最大（小）值為目標的數(shù)學(xué)模型.它是指在一組線性的等式或不等式的約束條件下，線性規(guī)劃模型的三種形式

⑴一般形式

目標函數(shù)價值向量價值系數(shù)決策變量右端向量系數(shù)矩陣非負約束自由變量⑵規(guī)范形式⑶標準形式三種形式的LP問題全都是等價的，即一種形式的LP可以簡單的變換為另一種形式的LP，且它們有相同的解.以下我們僅將一般形式化成規(guī)范形式和標準形式.目標函數(shù)的轉(zhuǎn)化

xoz-z約束條件和變量的轉(zhuǎn)化

①．為了把一般形式的LP問題變換為規(guī)范形式，我們必須消除等式約束和符號無限制變量.在一般形式的LP中，一個等式約束可用下述兩個不等式約束去替代

這樣就把一般形式的LP變換為規(guī)范形式.

對于一個無符號限制變量，引進兩個非負變量和，并設(shè)②．為了把一般形式的LP問題變換為標準形式，必須消除其不等式約束和符號無限制變量.對于一個不等式約束代替上述的不等式約束.

對符號無限制變量的處理可按上述方法進行.可引入一個剩余變量

，用對于不等式約束

代替上述的不等式約束

這樣就把一般形式的LP變換為標準形式.可引入一個松弛變量，用針對標準形式的線性規(guī)劃問題，其解的理論分析已經(jīng)很完備，在此基礎(chǔ)上也提出了很好的算單純形方法是線性規(guī)劃問題的最為基礎(chǔ)、也法——單純形方法及其相應(yīng)的變化形式（兩階段2.2線性規(guī)劃模型的求解

法，對偶單純形法等）.是最核心的算法。它是一個迭代算法，先從一個特殊的可行解（極點）出發(fā)，通過判別條件去判斷該可行解是否為最優(yōu)解（或問題無界），若不是最優(yōu)解，則根據(jù)相應(yīng)規(guī)則，迭代到下一個更好的可行解（極點），直到最優(yōu)解（或問題無界）.關(guān)于線性規(guī)劃問題解的理論和單純形法具體的求解過程可參見文獻[1].然后在實際應(yīng)用中，特別是數(shù)學(xué)建模過程中，遇到線性規(guī)劃問題的求解，我們一般都是利用現(xiàn)有的軟件進行求解，此時通常并不要求線性規(guī)劃問題是標準形式.比較常用的求解線性規(guī)劃模型的軟件包有LINGO和LINDO.運輸問題例2.

設(shè)要從甲地調(diào)出物資2000噸，從乙地調(diào)出物資1100噸，分別供給A地1700噸、B地1100噸、C假定運費與運量成正比.在這種情況下，采用不地200噸、D地100噸.已知每噸運費如表1.1所示.同的調(diào)撥計劃，運費就可能不一樣.現(xiàn)在問：怎樣才能找出一個運費最省的調(diào)撥計劃？1572521甲15375151乙DCBA表1.1銷地運費產(chǎn)地乙甲DCBA解一般的運輸問題可以表述如下：數(shù)學(xué)模型：

若其中各產(chǎn)地的總產(chǎn)量等于各銷地的總銷量，即類似與將一般的線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為其標準否則，稱為不平衡的運輸問題，包括：，則稱該問題為平衡的運輸問題.總產(chǎn)量>總銷量和總產(chǎn)量<總銷量.形式，我們總可以通過引入假想的銷地或產(chǎn)地，將不平衡的運輸問題轉(zhuǎn)化為平衡的運輸問題.從而，我們的重點就是解決平衡運輸問題的求解.顯然，運輸問題是一個標準的線性規(guī)劃問題，因而當(dāng)然可以運用單純形方法求解.但由于平衡的運輸問題的特殊性質(zhì)，它還可以用其它的一些特殊方法求解，其中最常用的就是表上作業(yè)法，該方法將單純形法與平衡的運輸問題的特殊性質(zhì)結(jié)合起來，很方便地實行了運輸問題的求解.關(guān)于運輸問題及其解法的進一步介紹參加文獻[2].對于線性規(guī)劃問題，如果要求其決策變量取整數(shù)值，則稱該問題為整數(shù)線性規(guī)劃問題.平面法和分支定界法是兩種常用的求解整數(shù)線性對于整數(shù)線性規(guī)劃問題的求解，其難度和運三、整數(shù)線性規(guī)劃模型算量遠大于同規(guī)模的線性規(guī)劃問題.Gomory割規(guī)劃問題的方法（見文獻[1]）.此外，同線性規(guī)劃模型一樣，我們也可以運用LINGO和LINDO軟件包來求解整數(shù)線性規(guī)劃模型.以1988年美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽B題為例，說明整數(shù)線性規(guī)劃模型的建立及用LINGO軟件包如何求解整數(shù)線性規(guī)劃模型。例3.有七種規(guī)格的包裝箱要裝到兩節(jié)鐵路平板車上去。包裝箱的寬和高是一樣的，但厚度（t，以cm計）及重量（w，以kg計）是不同的.表1給出了每種包裝箱的厚度、重量以及數(shù)量。每節(jié)平板車有10.2m長的地方可用來裝包裝箱（像面包片那樣），載重為40t.由于當(dāng)?shù)刎涍\的限制，對于C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)有一個特別的限制：這類箱子所占的空間（厚度）不能超過302.7cm.試把包裝箱裝到平板車上，使得浪費的空間最小.種類C1C2C3C4C5C6C7t/cm48.753.061.372.048.752.064.0w/kg200030001000500400020001000n/件8796648為在第節(jié)車上裝載第件包裝箱的解令下面我們建立該問題的整數(shù)線性規(guī)劃模型。1)約束條件兩節(jié)車的裝箱數(shù)不能超過需要裝的件數(shù)，即：每節(jié)車可裝的長度不能超過車能提供的長度：每節(jié)車可裝的重量不超過車能夠承受的重量：對于C5,C6,C7類包裝箱的總數(shù)的特別限制：2)目標函數(shù)浪費的空間最小，即包裝箱的總厚度最大：3)整數(shù)線性規(guī)劃模型由上一步中的求解結(jié)果可以看出，4)模型求解運用LINGO軟件求解得到：5)最優(yōu)解的分析說明的裝車方案，此時裝箱的總長度為1019.7cm，兩節(jié)車共裝箱的總長度為2039.4cm.即為最優(yōu)但是，上述求解結(jié)果只是其中一種最優(yōu)的裝車方案，即此答案并不唯一.0-1整數(shù)規(guī)劃是整數(shù)規(guī)劃的特殊情形，它要求線性規(guī)劃模型中的決策變量xij只能取值為0或1.單隱枚舉法，該方法是一種基于判斷條件（過濾0-1整數(shù)規(guī)劃模型的求解目前并沒有非常好的四、0-1整數(shù)規(guī)劃模型

算法，對于變量比較少的情形，我們可以采取簡條件）的窮舉法.我們也可以利用LINGO和LINDO軟件包來求解0-1整數(shù)規(guī)劃模型.背包問題例4.有n個物品，編號為1,2,…,n，第i件物品重ai千克，價值為ci

元，現(xiàn)有一個載重量不超過大，應(yīng)如何裝載這些物品？a千克的背包，為了使裝入背包的物品總價值最用變量xi

表示物品i是否裝包，i=1,2,…,n，并令：解可得到背包問題的規(guī)劃模型為：指派問題例5.有n項任務(wù)，由n個人來完成，每個人只能做一件，第i個人完成第j項任務(wù)要cij小時，如何合理安排時間才能使總用時最??？引入狀態(tài)變量xij

，并令：解則總用時表達式為：可得到指派問題的規(guī)劃模型為：上面介紹的指派問題稱為指派問題的標準形式，還有許多其它的諸如人數(shù)與任務(wù)數(shù)不等、及但一般可以通過一些轉(zhuǎn)化，將其變?yōu)闃藴市问?某人可以完成多個任務(wù)，某人不可以完成任務(wù)，某任務(wù)必須由某人完成等特殊要求的指派問題.對于標準形式的指派問題，我們可以利用匈牙利算法實現(xiàn)求解.它將指派問題中的系數(shù)構(gòu)成一個矩陣，利用矩陣上簡單的行和列變換，結(jié)合解的判定條件，實現(xiàn)求解（見文獻[2]）.DVD在線租賃第二個問題的求解問題二的分析經(jīng)營成本和會員的滿意度是被考慮的兩個相互制約的重要因素.在忽略郵寄成本的前提下，經(jīng)營成本主要體現(xiàn)為DVD的數(shù)量.我們主要考慮在會員向網(wǎng)站提供需求信息，且滿足一定要求的前提下，對給定數(shù)量DVD進行分配決策，使得DVD的數(shù)量盡量小，會員滿意度最大.假設(shè)按照公歷月份進行的租賃業(yè)務(wù)，即會員無論兩次租賃還是一次租賃，必須在當(dāng)月內(nèi)完成DVD的租與還.同時假設(shè)網(wǎng)站對其會員進行一次租賃業(yè)務(wù)時，只能向其提供3張該會員已經(jīng)預(yù)定的DVD，否則不進行租賃.經(jīng)觀察，可以認為在線訂單中每個會員的預(yù)定DVD的表示偏好程度的數(shù)字反映了會員對所預(yù)定不同DVD的滿意程度，且當(dāng)會員租到其預(yù)定排序為1，2，3的三張DVD時，滿意度達到100%.會員沒有預(yù)定的DVD對其滿意度的貢獻為0.利用層次分析法，對此滿意指數(shù)的合理性進行了簡單分析.該問題要求根據(jù)現(xiàn)有的100種DVD的數(shù)量和當(dāng)前需要處理的1000位會員的在線訂單，制定分配策略，使得會員達到最大的滿意度.因而我們認為只需對這些DVD進行一次性分配，使得會員的總體滿意度達到最大.為此考慮建立優(yōu)化模型，進行求解.問題二的模型及求解經(jīng)營成本和會員的滿意度是被考慮的兩個相互制約的重要因素.在忽略郵寄成本的前提下，經(jīng)營成本主要體現(xiàn)為DVD的數(shù)量.我們主要考慮在會員向網(wǎng)站提供需求信息，且滿足一定要求的前提下，對給定數(shù)量DVD進行分配決策，使得DVD的數(shù)量盡量小，會員滿意度最大.由此，可得問題二的0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型如下：根據(jù)所得的0-1整數(shù)線性規(guī)劃模型，利用LINGO軟件進行求解，我們得到了一組最優(yōu)分配方案（見表3）.該組最優(yōu)解其目標函數(shù)會員總體最大滿意度為91.56%，只有6人未成功租賃（如：前30名會員中C0008被分配到DVD），其余994個會員全都得到了3張預(yù)定的DVD.5.非線性規(guī)劃模型

前面介紹了線性規(guī)劃問題，即目標函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的規(guī)劃問題，但在實際工作中，還常常會遇到另一類更一般的規(guī)劃問題，即目標函數(shù)和約束條件中至少有一個是非線性函數(shù)的規(guī)劃問題，即非線性規(guī)劃問題.

事實上，客觀世界中的問題許多是非線性的，給予線性大多是近似的，是在作了科學(xué)的假設(shè)和簡化后得到的.為了利用線性的知識，許多非線性問題常進行線性化處理.但在實際問題中，有一些是不能進行線性化處理的，否則將嚴重影響模型對實際問題近似的可依賴型.

由于非線性規(guī)劃問題在計算上常是困難的，理論上的討論也不能像線性規(guī)劃那樣給出簡潔的結(jié)果形式和全面透徹的結(jié)論.這點又限制了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，所以，在數(shù)學(xué)建模時，要進行認真的分析，對實際問題進行合理的假設(shè)、簡化，首先考慮用線性規(guī)劃模型，若線性近似誤差較大時，則考慮用非線性規(guī)劃.非線性規(guī)劃問題的標準形式為：非線性規(guī)劃模型按約束條件可分為以下三類：⑴無約束非線性規(guī)劃模型：⑵等式約束非線性規(guī)劃模型：⑶不等式約束非線性規(guī)劃模型：1)無約束的非線性規(guī)劃問題.針對上述三類非線性規(guī)劃模型，其常用求解的基本思路可歸納如下：

在下降迭代算法中，搜索方向起著關(guān)鍵的作用，而當(dāng)搜索方向確定后，步長又是決定算法好壞的重要因素.非線性規(guī)劃只含一個變量，即一維非線性規(guī)劃可以用一維搜索方法求得最優(yōu)解，一維搜索方法主要有進退法和黃金分割法.二維的非線性規(guī)劃也可以像解線性規(guī)劃那樣用圖形求解.對于二維非線性規(guī)劃，使用搜索方法是要用到梯度的概念，最常用的搜索方法就是最速下降法.2)只有等式約束的非線性規(guī)劃問題通?？捎孟?、拉格朗日乘子法或反函數(shù)法，將其化為無約束問題求解.3)

具有不等式約束的非線性規(guī)劃問題解起來很復(fù)雜，求解這一類問題，通常將不等式化為等式約束，再將約束問題化為無約束問題，用線性逼近的方法將非線性規(guī)劃問題化為線性規(guī)劃問題.下面介紹一個簡單的非線性規(guī)劃問題的例子，其中的一些約束條件是等式，這類非線性規(guī)劃問題可用拉格朗日方法求解.

例7．（石油最優(yōu)儲存方法）有一石油運輸公司，為了減少開支，希望作了節(jié)省石油的存儲空間.但要求存儲的石油能滿足客戶的要求.為簡化問題，假設(shè)只經(jīng)營兩種油，各種符號表示的意義如表4所示.其中供給率指石油公司供給客戶的速度.表4各種符號表示意義表第i種油的存儲量第i種油的價格第i種油的供給率第i種油的每單位的存儲費用第i種油的每單位的存儲空間總存儲公式由歷史數(shù)據(jù)得到的經(jīng)驗公式為:且提供數(shù)據(jù)如表5所示：表5數(shù)據(jù)表已知總存儲空間代入數(shù)據(jù)后得到的模型為：模型求解：拉格朗日函數(shù)的形式為：

即:對求各個變量的偏導(dǎo)數(shù)，并令它們等于零，得:解這個線性方程組得：從而可得最小值是.6、多目標規(guī)劃模型

在許多實際問題中，衡量一個方案的好壞標準往往不止一個，例如設(shè)計一個導(dǎo)彈，既要射程最遠，又要燃料最省，還要精度最高.這一類問題統(tǒng)稱為多目標最優(yōu)化問題或多目標規(guī)劃問題.我們先來看一個生產(chǎn)計劃的例子.我們希望購買DVD的總數(shù)量最小，即:由此，可以得到問題三的雙目標整數(shù)線性規(guī)劃模型如下：表6當(dāng)時最小購買量的值DVD編號D01D02D03D04D05D06D07D08D09D10最少購買量14211724121719212214DVD編號D11D12D13D14D15D16D17D18D19D20最少購買量18181717172418161823DVD編號D21D22D23D24D25D26D27D28D29D30最少購買量20182214181715121624DVD編號D31D32D33D34D35D36D37D38D39D40最少購買量19222019222213171717DVD編號D41D42D43D44D45D46D47D48D49D50最少購買量32201621221620152020續(xù)上表DVD編號D51D52D53D54D55D56D57D58D59D60最少購買量24171917191819172021DVD編號D61D62D63D64D65D66D67D68D69D70最少購買量16191920171917212019DVD編號D71D72D73D74D75D76D77D78D79D80最少購買量21221520151412171917DVD編號D81D82D83D84D85D86D87D88D89D90最少購買量18101412211322151317DVD編號D91D92D93D94D95D96D97D98D99D100最少購買量24171514251522201122

我們利用規(guī)劃模型求得每種DVD的購買量后，需要對其進行可行性校驗，測試此結(jié)果是否可以滿足一個月內(nèi)比例為95%的會員得到他想看的DVD，且具有盡可能大的總體滿意度.校驗方法：

（一）根據(jù)訂單和求得的DVD購買數(shù)量，利用問題二的規(guī)劃模型進行第一次分配，對分配情況：租賃的會員，DVD的分配情況，剩余的各種DVD數(shù)量作記錄；同時將已租賃的會員在滿意指數(shù)矩陣的指數(shù)全變?yōu)?，即不考慮對其進行第二次分配.

（二）隨機從第一次得到DVD的會員中抽取60%，將這部分人所還回的DVD與第一次分配余下的DVD合在一起，作為第二次分配時各種DVD的現(xiàn)有量.然后，利用問題二的0-1線性規(guī)劃模型對第一次未分配到DVD的會員進行第二次分配；

（三）統(tǒng)計出經(jīng)過兩次分配后，得到DVD的會員的比例，若大于95%，則此次分配成功.利用這種算法進行多次隨機模擬，若大多數(shù)情況下可以使得到DVD的會員大于95%，則認為模型三是合理的.校驗結(jié)果：

因為每次檢驗需時約1小時，我們只對問題三求得的結(jié)果進行了7次模擬，其中6次符合要求（觀看比例大于95%）.下面給出7次模擬得到的觀看比例（表7）：表77次模擬結(jié)果每次的觀看比例列表驗證次數(shù)1234567觀看比例95.8％96.6％93.4％95.3％95.9％96.1％95.7％5.非線性規(guī)劃模型

前面介紹了線性規(guī)劃問題，即目標函數(shù)和約束條件都是線性函數(shù)的規(guī)劃問題，但在實際工作中，還常常會遇到另一類更一般的規(guī)劃問題，即目標函數(shù)和約束條件中至少有一個是非線性函數(shù)的規(guī)劃問題，即非線性規(guī)劃問題.

事實上，客觀世界中的問題許多是非線性的，給予線性大多是近似的，是在作了科學(xué)的假設(shè)和簡化后得到的.為了利用線性的知識，許多非線性問題常進行線性化處理.但在實際問題中，有一些是不能進行線性化處理的，否則將嚴重影響模型對實際問題近似的可依賴型.

由于非線性規(guī)劃問題在計算上常是困難的，理論上的討論也不能像線性規(guī)劃那樣給出簡潔的結(jié)果形式和全面透徹的結(jié)論.這點又限制了非線性規(guī)劃的應(yīng)用，所以，在數(shù)學(xué)建模時，要進行認真的分析，對實際問題進行合理的假設(shè)、簡化，首先考慮用線性規(guī)劃模型，若線性近似誤差較大時，則考慮用非線性規(guī)劃.非線性規(guī)劃問題的標準形式為：非線性規(guī)劃模型按約束條件可分為以下三類：⑴無約