基于MATLAB優(yōu)化工具箱的優(yōu)化計(jì)算

基于MATLAB優(yōu)化工具箱

的優(yōu)化計(jì)算MATLAB優(yōu)化工具箱一、常用的優(yōu)化功能函數(shù)求解線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是linprog。求解二次規(guī)劃問題的主要函數(shù)是quadprog。求解無(wú)約束非線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是fminbnd、fminunc和fminsearch。(un-condition)求解約束非線性規(guī)劃問題的主要函數(shù)是fgoalattain和fminimax。二、一般步驟

建立目標(biāo)函數(shù)文件

針對(duì)具體工程問題建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型不等式約束條件表示成g(X)≥0的形式

建立調(diào)用優(yōu)化工具函數(shù)的命令文件文件內(nèi)容：必須的輸入?yún)?shù)、描述標(biāo)函數(shù)表達(dá)式等存儲(chǔ)：以自定義的目標(biāo)函數(shù)文件名存儲(chǔ)在文件夾中建立約束函數(shù)文件文件內(nèi)容：必須的輸入?yún)?shù)、約束函數(shù)表達(dá)式等存儲(chǔ)：以自定義的約束函數(shù)文件名存儲(chǔ)在文件夾中將優(yōu)化設(shè)計(jì)的命令文件復(fù)制到MATLAB命令窗口中進(jìn)行運(yùn)算求解。分析優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型，選擇適用的優(yōu)化工具函數(shù)文件內(nèi)容：初始點(diǎn)，設(shè)計(jì)變量的邊界約束條件，運(yùn)算結(jié)果輸出等內(nèi)容存儲(chǔ)：以自定義的命令文件名存儲(chǔ)于文件夾中。2線性規(guī)劃問題一、線性規(guī)劃數(shù)學(xué)模型1.主要應(yīng)用對(duì)象：（1）在有限的資源條件下完成最多的任務(wù)；（2）如何統(tǒng)籌任務(wù)以使用最少資源。2.數(shù)學(xué)模型形式：

minfTXs.t.AX≤b（線性不等式約束條件）

AeqX=beq（線性等式約束條件）

lb≤X≤ub（邊界約束條件）約束條件決策變量目標(biāo)函數(shù)非負(fù)數(shù)線性3.MATLAB中函數(shù)調(diào)用格式

[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)最優(yōu)解最優(yōu)值目標(biāo)函數(shù)各維變量系數(shù)向量初始點(diǎn)可選項(xiàng)二、例題生產(chǎn)規(guī)劃問題：某廠利用a,b,c三種原料生產(chǎn)A,B,C三種產(chǎn)品，已知生產(chǎn)每種產(chǎn)品在消耗原料方面的各項(xiàng)指標(biāo)和單位產(chǎn)品的利潤(rùn)，以及可利用的數(shù)量，試制定適當(dāng)?shù)纳a(chǎn)規(guī)劃使得該工廠的總利潤(rùn)最大。生產(chǎn)每單位產(chǎn)品所消耗的原料現(xiàn)有原料數(shù)量（千克）ABCa342600b212400c132800單位產(chǎn)品利潤(rùn)（萬(wàn)元）243合計(jì)1800千克→x1→x2→x32x14x23x33x14x22x32x1x1x23x22x32x3≤≤≤++++++++3.確定約束條件：X=[x1,x2,x3]T4.編制線性規(guī)劃計(jì)算的M文件f=[2,4,3]’A=[3,4,2;2,1,2;1,3,2];b=[600;400;800];Aeq=[];beq=[];lb=zeros(3,1);[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb)二、例題解：1.確定決策變量：max2x1+4x2+3x33x1+4x2+2x3≤6002x1+x2+2x3≤400x1+3x2+2x3≤800設(shè)生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品的數(shù)量分別是x1,x2,x3，決策變量：

根據(jù)三種單位產(chǎn)品的利潤(rùn)情況，按照實(shí)現(xiàn)總的利潤(rùn)最大化，建立關(guān)于決策變量的函數(shù)：2.建立目標(biāo)函數(shù)：根據(jù)三種資料數(shù)量限制，建立三個(gè)線性不等式約束條件5.M文件運(yùn)行結(jié)果：Optimizationterminatedsuccessfully.xopt=0.000066.6667166.6667fopt=-766.6667x1,x2,x3≥0[xopt,fopt]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)---9.3二次規(guī)劃問題:

目標(biāo)函數(shù)是二次函數(shù)，約束條件是線性的1.研究意義：（1）最簡(jiǎn)單的非線性規(guī)劃問題；（2）求解方法比較成熟。2.數(shù)學(xué)模型形式：

s.t.AX≤b（線性不等式約束條件）

AeqX=beq（線性等式約束條件）

lb≤X≤ub（邊界約束條件）一、二次規(guī)劃問題數(shù)學(xué)模型約束條件決策變量目標(biāo)函數(shù)二次函數(shù)3.MATLAB中函數(shù)調(diào)用格式

[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)最優(yōu)解最優(yōu)值目標(biāo)函數(shù)的海賽矩陣初始點(diǎn)可選項(xiàng)目標(biāo)函數(shù)的一次項(xiàng)系數(shù)向量

結(jié)果xopt=[2.571,1.143,0.000]fopt=-16.4898二、例題求解約束優(yōu)化問題s.t.解：(1)將目標(biāo)函數(shù)寫成二次函數(shù)的形式，其中：[xopt,fopt]=quadprog(H,C,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options)(2)編寫求解二次規(guī)劃的M文件：H=[4,-2,0;-2,4,0;0,0,2];C=[0,0,1];A=[1,3,2];b=[6];Aeq=[2,-1,1];beq=[4];lb=zeros(3,1);[xopt,fopt]=quadprig(H,C,A,b,Aeq,beq,lb)9.4無(wú)約束非線性規(guī)劃問題無(wú)約束非線性規(guī)劃問題的MATLAB函數(shù)有fminbnd要求目標(biāo)函數(shù)為連續(xù)函數(shù)只求解單變量問題fminunc可求解單變量和多變量問題適用于簡(jiǎn)單優(yōu)化問題可求解復(fù)雜優(yōu)化問題fminsearch1.使用格式：

[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2,options)9.4.1函數(shù)fminbnd設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)迭代搜索區(qū)間目標(biāo)函數(shù)返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解2.例題：求解一維無(wú)約束優(yōu)化問題f(x)=(x3+cosx+xlogx/ex)

在區(qū)間[0,1]中的極小值。解：(1)編制求解優(yōu)化問題的M文件。

%求解一維優(yōu)化問題fun=inline(‘(x^3+cos(x)+x*log(x))/exp(x)’,‘x’);%目標(biāo)函數(shù)

x1=0;x2=1;%搜索區(qū)間

[xopt,fopt]=fminbnd(fun,x1,x2)(2)編制一維函數(shù)圖形的M文件。

ezplot(fun,[0,10])title('(x^3+cosx+xlogx)/e^x')gridon9.4.1函數(shù)fminbnd運(yùn)行結(jié)果：xopt=0.5223fopt=0.39741.使用格式：

[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0,options)9.4.2函數(shù)fminsearch設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)目標(biāo)函數(shù)返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解2.例題：求解二維無(wú)約束優(yōu)化問題

f(x)=(x14+3x12+x22-2x1-2x2-2x12x2+6)的極小值。解：(1)編制求解二維無(wú)約束優(yōu)化問題的M文件。

%求解二維優(yōu)化問題fun='x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6';x0=[0,0];%初始點(diǎn)

[xopt,fopt]=fminsearch(fun,x0)(2)討論。將目標(biāo)函數(shù)寫成函數(shù)文件的形式：

%目標(biāo)函數(shù)文件search.m

functionf=search(x)f=x(1)^4+3*x(1)^2+x(2)^2-2*x(1)-2*x(2)-2*x(1)^2*x(2)+6;

則命令文件變?yōu)椋?/p>

%命令文件名稱為eg9_4.m

x0=[0,0];%初始點(diǎn)

[xopt,fopt]=fminsearch(@search,x0)9.4.2函數(shù)fminsearch運(yùn)行結(jié)果：xopt=1.00002.0000fopt=4.00001.使用格式：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminunc(@fun,x0,options,P1,P2…)9.4.3函數(shù)fminunc設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)管道截面積：其中設(shè)計(jì)變量：9.4.3函數(shù)fminunc2.例題：已知梯形截面管道的參數(shù)是：底邊長(zhǎng)度c，高度h，面積A=64516mm2，斜邊與底邊夾角為θ。管道內(nèi)液體的流速與管道截面的周長(zhǎng)s的倒數(shù)成比例關(guān)系。試按照使液體流速最大確定該管道的參數(shù)。解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

管道截面周長(zhǎng)

hcθminx1x2f(X)目標(biāo)函數(shù)的文件(sc_wysyh.m)：functionf=sc_wysyh(x)%定義目標(biāo)函數(shù)調(diào)用格式a=64516;hd=pi/180;f=a/x(1)-x(1)/tan(x(2)*hd)+2*x(1)/sin(x(2)*hd);%定義目標(biāo)函數(shù)9.4.3函數(shù)fminunc2.例題：解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

(2)編寫求解無(wú)約束非線性優(yōu)化問題的M文件[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fminbnd(@fun,x0,options,P1,P2…)求最優(yōu)化解時(shí)的命令程序：x0=[25,45];%初始點(diǎn)[x,Fmin]=fminunc(@sc_wysyh,x0);%求優(yōu)語(yǔ)句fprintf(1,'截面高度hx(1)=%3.4fmm\n',x(1))fprintf(1,'斜邊夾角θx(2)=%3.4f度\n',x(2))fprintf(1,'截面周長(zhǎng)sf=%3.4fmm\n',Fmin)計(jì)算結(jié)果截面高度hx(1)=192.9958mm斜邊夾角θx(2)=60.0005度截面周長(zhǎng)sf=668.5656mmxx1=linspace(100,300,25);xx2=linspace(30,120,25);[x1,x2]=meshgrid(xx1,xx2);a=64516;hd=pi/180;f=a./x1-x1./tan(x2*hd)+2*x1./sin(x2*hd);subplot(1,2,1);h=contour(x1,x2,f);clabel(h);axis([100,300,30,120])xlabel('高度h/mm')ylabel('傾斜角\theta/(^{。})')9.4.3函數(shù)fminunc2.例題：解：(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)模型

(2)編寫求解無(wú)約束非線性優(yōu)化問題的M文件

(3)編寫繪制一維函數(shù)圖形的M文件title('目標(biāo)函數(shù)等值線')subplot(1,2,2);meshc(x1,x2,f);axis([100,300,30,120,600,1200])title('目標(biāo)函數(shù)網(wǎng)格曲面圖')控制參數(shù)options序號(hào)功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無(wú)中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無(wú)約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)=2,梯度法7步長(zhǎng)一維搜索0fmin()函數(shù)為無(wú)約束優(yōu)化的步長(zhǎng)一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法123控制參數(shù)options序號(hào)功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長(zhǎng)最小值1e-8Options(16)步長(zhǎng)的下限或變量的最小梯度值17差分步長(zhǎng)最大值0.1Options(17)步長(zhǎng)的上限或變量的最大梯度值18步長(zhǎng)Options(18)步長(zhǎng)參數(shù)，第1次迭代時(shí)置11239.5約束非線性規(guī)劃問題1.數(shù)學(xué)模型形式：

minf（X）

s.t.AX≤b（線性不等式約束）

AeqX=beq（線性等式約束）

C(X)≤0（非線性不等式約束條件）

Ceq(X)=0（非線性等式約束）

Lb≤X≤Ub（邊界約束條件）約束條件2.使用格式：

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=

fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)設(shè)置優(yōu)化選項(xiàng)參數(shù)初始點(diǎn)調(diào)用目標(biāo)函數(shù)的函數(shù)文件名目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的海色矩陣返回目標(biāo)函數(shù)在最優(yōu)解的梯度優(yōu)化算法信息的一個(gè)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)返回算法的終止標(biāo)志返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值返回目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解附加參數(shù)非線性約束條件的函數(shù)名設(shè)計(jì)變量的下界和上界線性等式約束的常數(shù)向量線性等式約束的系數(shù)矩陣線性不等式約束的常數(shù)向量線性不等式約束的系數(shù)矩陣無(wú)定義時(shí)以空矩陣符號(hào)“[]”代替控制參數(shù)options序號(hào)功能默認(rèn)值及其含義說明1輸出形式0，無(wú)中間結(jié)果輸出Options(1)=1,按照表格輸出結(jié)果Options(1)=-1,隱藏警告信息2解x的精度1e-4Options(2)設(shè)置x解的終止條件3函數(shù)f的精度1e-4Options(3)設(shè)置函數(shù)f的終止條件4約束g的精度1e-6Options(4)設(shè)置約束g的終止條件5選擇主要算法0Options(5)選擇主要優(yōu)化算法6搜索方向算法0fmin()函數(shù)為無(wú)約束優(yōu)化搜索方向提供3種算法：Options(6)=0,擬牛頓法BFGS公式Options(6)=1,擬牛頓法DFP公式Options(6)=2,梯度法7步長(zhǎng)一維搜索0fmin()函數(shù)為無(wú)約束優(yōu)化的步長(zhǎng)一維搜索提供2種算法：Options(7)=0,二次和三次混合插值法Options(7)=1,三次多項(xiàng)式插值法控制參數(shù)options序號(hào)功能默認(rèn)值及其含義說明8函數(shù)值輸出Options(8)輸出最終迭代函數(shù)值9梯度檢驗(yàn)0，不檢驗(yàn)Options(9)比較梯度10函數(shù)計(jì)算次數(shù)Options(10)輸出函數(shù)計(jì)算次數(shù)11梯度計(jì)算次數(shù)Options(11)輸出函數(shù)梯度計(jì)算次數(shù)12約束計(jì)算次數(shù)Options(12)輸出約束計(jì)算次數(shù)13等式約束個(gè)數(shù)0，等式約束為0Options(13)輸入等式約束個(gè)數(shù)14最大迭代次數(shù)100n（n為變量維數(shù)）Options(14)輸入最大迭代次數(shù)15目標(biāo)個(gè)數(shù)0Options(15)輸入目標(biāo)個(gè)數(shù)16差分步長(zhǎng)最小值1e-8Options(16)步長(zhǎng)的下限或變量的最小梯度值17差分步長(zhǎng)最大值0.1Options(17)步長(zhǎng)的上限或變量的最大梯度值18步長(zhǎng)Options(18)步長(zhǎng)參數(shù)，第1次迭代時(shí)置1例9-6

某二級(jí)斜齒圓柱齒輪減速器，高速級(jí)輸入功率P1=6.2kW，轉(zhuǎn)速n1=1450r/min；總傳動(dòng)比i=31.5，齒輪寬度系數(shù)ψa=0.4，齒輪材料和熱處理：大齒輪45號(hào)鋼正火187~207HB，小齒輪45號(hào)鋼調(diào)質(zhì)228~255HB，工作壽命10年以上。要求按照總中心距a∑最小來(lái)確定齒輪傳動(dòng)方案。解:(1)建立優(yōu)化設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)模型①設(shè)計(jì)變量：將涉及總中心距a∑齒輪傳動(dòng)方案的6個(gè)獨(dú)立參數(shù)作為設(shè)計(jì)變量

X=[mn1,mn2,z1,z3,i1,β]T=[x1,x2,x3,x4,x5,x6]T②目標(biāo)函數(shù)：減速器總中心距a∑最小為目標(biāo)函數(shù)二、例題

③約束條件:含性能約束和邊界約束高速級(jí)齒輪接觸強(qiáng)度條件低速級(jí)齒輪接觸強(qiáng)度條件高速級(jí)大齒輪彎曲強(qiáng)度條件低速級(jí)大齒輪彎曲強(qiáng)度條件大齒輪與軸不干涉低速級(jí)齒輪副模數(shù)的下限和上限高速級(jí)小齒輪齒數(shù)的下限和上限高速級(jí)小齒輪齒數(shù)的下限和上限低速級(jí)小齒輪齒數(shù)的下限和上限高速級(jí)傳動(dòng)比的下限和上限齒輪副螺旋角的下限和上限性能約束邊界約束二、例題(2)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)%兩級(jí)斜齒輪減速器總中心距目標(biāo)函數(shù)functionf=jsqyh_f(x);hd=pi/180;a1=x(1)*x(3)*(1+x(5));a2=x(2)*x(4)*(1+31.5/x(5));cb=2*cos(x(6)*hd);f=(a1+a2)/cb;%兩級(jí)斜齒輪減速器優(yōu)化設(shè)計(jì)的非線性不等式約束函數(shù)function[g,ceq]=jsqyh_g(x);hd=pi/180;g(1)=cos(x(6)*hd)^3-3.079e-6*x(1)^3*x(3)^3*x(5);g(2)=x(5)^2*cos(x(6)*hd)^3-1.701e-4*x(2)^3*x(4)^3;g(3)=cos(x(6)*hd)^2-9.939e-5*(1+x(5))*x(1)^3*x(3)^2;g(4)=x(5)^2.*cos(x(6)*hd)^2-1.076e-4*(31.5+x(5))*x(2)^3*x(4)^2;g(5)=x(5)*(2*(x(1)+50)*cos(x(6)*hd)+x(1)*x(2)*x(3))-x(2)*x(4)*(31.5+x(5));ceq=[];[]文件名為：Jsqyh_g.m文件名為：Jsqyh_f.m二、例題(2)編制優(yōu)化設(shè)計(jì)的M文件

[x,fval,exitflag,output,grad,hessian]=fmincon(@fun,x0,A,b,Aeq,beq,Lb,Ub,’Nlc’,options,P1,P2…)x0=[2;4;18;20;6.4;10];%設(shè)計(jì)變量的初始值lb=[2;3.5;14;16;5.8;8];%設(shè)計(jì)變量的下限ub=[5;6;22;22;7;15];%設(shè)計(jì)變量的上限[x,fn]=fmincon(@jsqyh_f,x0,[],[],[],[],lb,ub,@jsqyh_g);disp'************兩級(jí)斜齒輪傳動(dòng)中心距優(yōu)化設(shè)計(jì)最優(yōu)解*************'fprintf(1,'高速級(jí)齒輪副模數(shù)Mn1=%3.4fmm\n',x(1))fprintf(1,'低速級(jí)齒輪副模數(shù)Mn2=%3.4fmm\n',x(2))fprintf(1,'高速級(jí)小齒輪齒數(shù)z1=%3.4fmm\n',x(3))fprintf(1,'低速級(jí)小齒輪齒數(shù)z2=%3.4fmm\n',x(4))fprintf(1,'高速級(jí)齒輪副傳動(dòng)比i1=%3.4fmm\n',x(5))fprintf(1,'齒輪副螺旋角beta=%3.4fmm\n',x(6))fprintf(1,'減速器總中心距a12