齊次生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的關(guān)系

齊次生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的關(guān)系

1柯布-菲爾德生產(chǎn)函數(shù)生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)是微觀經(jīng)濟學(xué)的兩個重要基本概念。通常,它們均可用來描述廠商采用的生產(chǎn)技術(shù)。從生產(chǎn)函數(shù)的角度,文獻直接從公理化體系來考察生產(chǎn)函數(shù)的屬性,文獻針對特殊的生產(chǎn)行為來構(gòu)造或者揭示相應(yīng)生產(chǎn)函數(shù)的特征,文獻在柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)的條件下研究了企業(yè)的利潤最大化生產(chǎn)決策,文獻應(yīng)用柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)研究了林產(chǎn)品的投入產(chǎn)出問題。從成本函數(shù)的角度,文獻研究了生產(chǎn)的規(guī)模報酬與成本彈性的關(guān)系。一般來講,對于給定的生產(chǎn)技術(shù),廠商的成本最小化或產(chǎn)量最大化行為將會導(dǎo)致生產(chǎn)函數(shù)和成本函數(shù)之間存在一定的對應(yīng)關(guān)系。文獻指出,柯布-道格拉斯生產(chǎn)函數(shù)條件下的成本函數(shù)是產(chǎn)量的冪函數(shù)。進一步,文獻確定了一般齊次生產(chǎn)函數(shù)條件下的成本函數(shù),并證明了該成本函數(shù)是產(chǎn)量的冪函數(shù)?，F(xiàn)在的問題是,(1)既然成本函數(shù)是生產(chǎn)函數(shù)在廠商成本最小化這個變換的結(jié)果,那么在這個變換規(guī)則下,生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的一般關(guān)系應(yīng)當是什么呢?(2)對于廣泛應(yīng)用的齊次技術(shù),齊次生產(chǎn)函數(shù)在成本最下化的規(guī)則下是否變換成單變量齊次成本函數(shù)(下面簡稱齊次成本函數(shù))(3)齊次成本函數(shù)對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)是否為齊次生產(chǎn)函數(shù)?應(yīng)當指出,盡管文獻實際上已經(jīng)解決了第二個問題,但本文將提供一種更簡潔證明。2qc-1、i=1i考慮廠商的生產(chǎn)函數(shù)為Q=f(x1,x2,…,xN),其中,Q為要素投入組合(x1,x2,…,xN)下的產(chǎn)量,xi(i=1,2,…,N)為第i種要素的投入量。設(shè)第i種投入要素的價格為pi,則廠商的生產(chǎn)成本為ΤC=p1x1+p2x2+?+pΝxΝ=Ν∑i=1pixi。對于給定的產(chǎn)量Q,廠商的成本最小化生產(chǎn)行為可以表示為minxi{ΤC}=minxiΝ∑i=1pixi(1)s.t.f(x1?x2???xΝ)=Q最優(yōu)化問題(1)的拉格朗日函數(shù)為L=Ν∑i=1pixi-λ(f(x1?x2???xΝ)-Q)式中,λ為拉格朗日乘子。廠商成本最小化的一階條件為λ?f?xi=pi(i=1?2???Ν)(2)由式(2)可得ΤC=p1x1+p2x2+?pΝxΝ=Ν∑i=1pixi=λΝ∑i=1xi?f?xi由成本函數(shù)的定義可知ΤC=C(Q)=λΝ∑i=1xi?f?xi(3)式中,C(Q)為成本函數(shù)。根據(jù)包絡(luò)命題,拉格朗日乘子λ為產(chǎn)量Q的影子價格,即每單位產(chǎn)量增加導(dǎo)致的總成本增加。因此,λ為廠商最優(yōu)決策下的邊際成本,即λ=dΤCdQ=C′(Q)(4)由式(3)和式(4)可得如下結(jié)論。命題1生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)之間的一般關(guān)系為{C(Q)C′(Q)=Ν∑i=1xi?f?xiC′(Q)?f?xi=pi(i=1?2???Ν)(5)命題1給出了生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)之間的一般關(guān)系。根據(jù)這一關(guān)系,給定生產(chǎn)函數(shù)可以求出成本函數(shù)(其解法可以在通常的微觀經(jīng)濟學(xué)教材中找到)。反過來,對于給定成本函數(shù),是否可以應(yīng)用式(5)方便地求出生產(chǎn)函數(shù)?事實上,由式(5)可以得到C(Q)=Ν∑i=1pixi(6)式(6)與總成本的定義一致。由于成本函數(shù)是關(guān)于產(chǎn)量Q的單調(diào)遞增函數(shù),因此它的逆函數(shù)存在。對于Q>0,定義Q=f(x1?x2???xΝ)≡C-1(Ν∑i=1pixi)(7)式中,C-1(·)為成本函數(shù)的逆函數(shù)。下面,證明Q≡C-1(Ν∑i=1pixi)為成本函數(shù)C(Q)對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)。首先,證明Q≡C-1(Ν∑i=1pixi)滿足命題1提供的生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的一般關(guān)系,即C(Q)C′(Q)=Ν∑i=1xi?f?xi將式(7)代入此式的右邊可得Ν∑i=1xi?f?xi=1C′(Q)Ν∑i=1pixi根據(jù)總成本的定義有ΤC=Ν∑i=1pixi,因此Ν∑i=1xi?f?xi=1C′(Q)Ν∑i=1pixi=ΤCC′(Q)=C(Q)C′(Q)這表明,依據(jù)式(7)定義的函數(shù)滿足生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的一般關(guān)系。下面證明Q≡C-1(Ν∑i=1pixi)符合生產(chǎn)函數(shù)的定義,即各種要素投入量的組合與所能產(chǎn)生最大產(chǎn)量之間的對應(yīng)關(guān)系。假設(shè)存在另一函數(shù)Q′=H(x1,x2,…,xN)對于任意給定的要素投入量組合(x1,x2,…,xN)使得Q′=Η(x1?x2???xΝ)＞Q≡C-1(Ν∑i=1pxixi)且其成本函數(shù)為同一C(Q),則有成本函數(shù)隨著Q的增加單調(diào)遞增的性質(zhì)可知C(Q′)>C(Q)(8)另一方面,產(chǎn)生同一要素投入量組合(x2,x2,…,xN)均為ΤC=C(Q)=Ν∑i=1pixi=C(Q′)。這與式(8)矛盾。因此,Q≡C-1(∑i=1Νpixi)為要素投入量的組合(x1,x2,…,xN)能產(chǎn)生最大產(chǎn)量。即,Q≡C-1(∑i=1Νpixi)為成本函數(shù)C(Q)對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)。上述證明過程表明,命題1蘊涵著Q≡C-1(∑i=1Νpixi),并且Q≡C-1(∑i=1Νpixi)為要素價格向量為(p1,p2,…,pN)和要素種類為(x1,x2,…,xN)時的成本函數(shù)C(Q)對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)。命題2:當要素價格向量為(p1,p2,…,pN)時,如果廠商采用的要素種類為(x1,x2,…,xN),則成本函數(shù)C(Q)對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)為Q=f(x1?x2???xΝ)≡C-1(∑i=1Νpixi)。命題1和命題2表明,通過式(5)給定的生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的一般關(guān)系,只要給定要素價格向量和要素種類,廠商可以對給定成本函數(shù)(或者成本預(yù)算)確定生產(chǎn)函數(shù)。下面的例子說明了由已知的成本求解生產(chǎn)函數(shù)的方法。例1:設(shè)廠商的長期成本函數(shù)為C(Q)=bQ+cQ2(Q>0),b>0,c>0廠商在要素價格向量為(p1,p2,…,pN)時計劃采用N種要素為(x1,x2,…,xN),試確定廠商的生產(chǎn)函數(shù)。解:由于任意成本函數(shù)下廠商的生產(chǎn)函數(shù)為Q=C-1(∑i=1Νpixi),因此當成本函數(shù)為C(Q)=b(Q)+cQ2時,廠商的生產(chǎn)函數(shù)為Q=C-1(∑i=1Νpixi)=-b+b2+4c(∑i=1Νpixi)2c下面驗證,上式確定的生產(chǎn)函數(shù)的長期成本函數(shù)為C(Q)=bQ+cQ2(Q>0)。由廠商的成本最小化行為可得一階條件為λpib2+4c(∑i=1Νpixi)=pi(i=1?2???Ν)式中,λ為產(chǎn)量約束Q=-b+b2+4c(∑i=1Νpixi)2c對應(yīng)的拉格朗日乘子。由上式和產(chǎn)量約束可以解出λ*=b2+4c(∑i=1Νpixi)和C(Q)=bQ+cQ2。綜合上述論證,命題1不僅從理論上給出了生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)的一般關(guān)系,而且在實踐上為企業(yè)提供了一種對給定生產(chǎn)技術(shù)進行成本估算和給定成本預(yù)算下的生產(chǎn)技術(shù)選擇的方法,因此,命題1具有重要的現(xiàn)實意義。3齊次生產(chǎn)函數(shù)齊次生產(chǎn)函數(shù)和齊次成本函數(shù)是理論和實踐中廣泛采納的函數(shù)形式。盡管文獻證明了m齊次生產(chǎn)函數(shù)下的成本函數(shù)是冪次為1m的冪函數(shù),解決了齊次生產(chǎn)函數(shù)下的成本具有的特征是什么這一問題。反過來,齊次成本函數(shù)下的生產(chǎn)函數(shù)應(yīng)當具有什么特征?下面,我們將研究齊次生產(chǎn)函數(shù)與齊次成本函數(shù)之間的關(guān)系。首先,我們給出齊次函數(shù)的定義。定義1如果函數(shù)F(x1,x2,…,xN)滿足:對任意實數(shù)t,F(tx1,tx2,…,txN)=tmF(x1,x2,…,xN),則稱F(·)為m次齊次函數(shù)。為研究齊次生產(chǎn)函數(shù)與齊次成本函數(shù)之間的關(guān)系,我們再給出關(guān)于齊次函數(shù)的兩個重要命題。引理1如果函數(shù)F(x1,x2,…,xN)為m次齊次函數(shù),則?F?xi(t=1?2???Ν)為m-1次齊次函數(shù)。證明:略。引理2函數(shù)F(x1,x2,…,xN)為m次齊次函數(shù)的充分必要條件為∑i=1Νxi?F?xi=mF(9)證明:略。3.1成本函數(shù)c為5m次齊次函數(shù)假設(shè)生產(chǎn)函數(shù)Q=f(x1,x2,…,xN)為m次齊次函數(shù),則由引理1可知∑i=1Νxi?f?xi=mf(10)再由命題1(式(5))可得C(Q)dQdC(Q)=∑i=1Νxi?f?xi(11)根據(jù)生產(chǎn)函數(shù)的定義,聯(lián)立式(10)和(11)有C(Q)dQdC(Q)=∑i=1Νxi?f?xi=mf=mQ即dC(Q)C(Q)=1mdQQ解此微分方程可得lnC(Q)=1mlnQ+A式中,A為待定常數(shù)。令上式中的Q=1,則有A=lnC(1),因此C(Q)=C(1)Q1m(12)根據(jù)式(12),我們有C(t(Q)=C(1)(tQ)1m=t1m[C(1)Q1m]=t1mC(Q)這表明,成本函數(shù)C(·)為1m次齊次函數(shù)。歸納起來,有如下結(jié)論。命題3任意m次齊次生產(chǎn)函數(shù)條件下的成本函數(shù)為1m次齊次函數(shù),即冪次為1m的冪函數(shù)。命題3表明,齊次生產(chǎn)函數(shù)在廠商的成本最小化決策下必然產(chǎn)生齊次成本函數(shù),并且根據(jù)式(12)可以準確地預(yù)測給定的齊次生產(chǎn)函數(shù)導(dǎo)致的成本函數(shù)。應(yīng)當指出,文獻也給出與命題2相同的結(jié)論,但是二者得到該結(jié)論的方法不同。文獻應(yīng)用多項式恒等關(guān)系導(dǎo)出該結(jié)論,其過程較為繁瑣;而本文通過生產(chǎn)函數(shù)與成本函數(shù)之間的一般關(guān)系(命題1)和齊次函數(shù)的性質(zhì)推出命題3,其過程較為簡潔。下面,用一個例子驗證命題3。例2:假設(shè)某企業(yè)用資本K和勞動L兩種要素生產(chǎn)某產(chǎn)品,資本和勞動的價格分別為pK和pL。設(shè)該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為柯布——道格拉斯生產(chǎn)函數(shù),即Q≡g(K,L)=BLαKβ(B,α,β>0)(13)則對任意實數(shù)t,有g(shù)(tK,tL)=B(tLα)(tKβ)=tα+βBLαKβ=tα+βg(K,L)這表明,該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為α+β次齊次函數(shù)。進一步,由式(12)和式(13)可知,該企業(yè)的成本函數(shù)為C(Q)=C(1)Q1α+β上式與文獻根據(jù)企業(yè)成本最小化決策得到的結(jié)果一致。對任意的實數(shù)k,有C(tQ)=C(1)(kQ)1α+β=k1α+β[C(1)Q1α+β]=k1α+βC(Q)這表明,該企業(yè)的成本函數(shù)為1α+β次齊次函數(shù)。3.2qc-1i=1pivi的生產(chǎn)函數(shù)下面考察齊次成本函數(shù)條件下的生產(chǎn)函數(shù)的特征。假設(shè)廠商的總成本為TC=C(Q),并且,對任意實數(shù)t有C(tQ)=tkC(Q)(14)即成本函數(shù)為k次齊次函數(shù)。注意到tkC(Q)=tk∑i=1Νpixi,從而由式(14)可知C(tQ)=tkC(Q)=tk∑i=1Νpixi,因此tQ=C-1(tk∑i=1Νpixi)(15)令h=tk,則式(15)可改寫為h1kQ=C-1(h∑i=1Νpixi)=C-1(∑i=1Νpi(hxi))由Q≡C-1(∑i=1Νpixi)可知h1kC-1(∑i=1Νpixi)=C-1(∑i=1Νpi(hxi))這表明,C-1(·)為1k次齊次函數(shù),即齊次成本函數(shù)條件下的生產(chǎn)函數(shù)為齊次函數(shù)。歸納起來,有如下結(jié)論。命題4如果成本函數(shù)為關(guān)于產(chǎn)量Q的k次齊次函數(shù),則生產(chǎn)函數(shù)關(guān)于要素投入組合(x1,x2,…,xN)為1k次齊次函數(shù)。命題4表明,齊次成本函數(shù)必然產(chǎn)生對應(yīng)于齊次的生產(chǎn)函數(shù),這實際上回答文獻未能回答的一個反問題,即齊次成本函數(shù)對應(yīng)的生產(chǎn)函數(shù)應(yīng)當具有什么特征?并且,只要企業(yè)知道成本函數(shù)(比如成本計劃)就可以根據(jù)命題4給出的生產(chǎn)函數(shù)組織最優(yōu)的生產(chǎn),即選擇相應(yīng)的齊次生產(chǎn)函數(shù)。下面,用一個例子驗證命題4。例3:假設(shè)某企業(yè)用資本K和勞動L兩種要素生產(chǎn)某產(chǎn)品,資本和勞動的價格分別為pK和pL。設(shè)該企業(yè)的成本函數(shù)C(Q)=cQ2(c>0,Q>0),則對任意實數(shù)t,有C(tQ)=c(tQ)2=t2(cQ)2=t2C(Q)這表明,該企業(yè)的成本函數(shù)為2次齊次函數(shù)。再由命題2可知,該企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為Q≡f(Κ?L)=C-1(pLL+pΚΚ)=pLL+pΚΚ(Q＞0)從而,對任意實數(shù)k,有f(dΚ?dL)=dpLL+dpΚΚ+d12pLL+pΚΚ=d12