東南大學概率論與數(shù)理統(tǒng)計整套復習課件

概率論1概率論的簡史概率論是一門研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的數(shù)學分支,起源于17世紀中葉；刺激數(shù)學家思考概率論問題確是來自賭博問題。

布萊士·帕斯卡（BlaisePascal1623—1662）法國著名的數(shù)學家、物理學家、哲學家和散文家。主要貢獻是在物理學上，發(fā)現(xiàn)了帕斯卡定律，并以其名字命名壓強單位。費馬(PierredeFermat，1601～1665）法國著名數(shù)學家，被譽為“業(yè)余數(shù)學家之王”。2賭徒分賭金問題兩賭徒A、B下賭金后約定誰先贏滿6局，誰就獲得全部賭金，賭了半天，A贏了5局，B贏了2局，時間很晚了，他們都不想賭了。假設每一盤甲獲勝的概率為p，乙為1-p。

問：賭金應該怎么分？3Pascal和Fermat從不同理由出發(fā)，在1654年給出正確的解法。1657年，荷蘭數(shù)學家惠更斯亦用自己的方法解決這一問題，更寫成了《論賭博中的計算》一書，這就是概率論中最早的論著。三人提出的解法中都首先涉及到數(shù)學期望這一概念，并由此奠定了古典概率論的基礎。4江山代有人才出，各領(lǐng)風騷數(shù)百年使概率論成為數(shù)學分支的另一奠基人是瑞士的數(shù)學家雅各布-伯努利（1654-1705）他的主要貢獻是建立了概率論中的第一個極限定理。我們稱之為“伯努利大數(shù)定理”。這一定理在他死后1713年發(fā)表在他的遺著《猜度論》中。51750年，法國數(shù)學家棣莫弗（1667-1754）出版其著作《分析雜論》，當中包含著名的“棣莫弗-拉普拉斯定理”，這就是概率論中第二個極限定理的原始初形。1812年法國數(shù)學家拉普拉斯（1749-1827）出版的《概率分析理論》中，首先明確地對概率做了古典的定義。6另一個在概率論史上的代表人物是法國數(shù)學家泊松（1781—1840），他推廣了伯努利形式下的大數(shù)定律，研究得出一種新的分布，即泊松分布。概率論即他們之后其中心課題則集中在推廣和改進伯努利大數(shù)定律及中心極限定理。7忽如一夜春風來千樹萬樹梨花開最早對概率論來嚴格化進行嘗試的，是俄國數(shù)學家伯恩斯坦（1880—1968）和奧地利數(shù)學家馮·米西斯（1883—1953）。他們都提出了一些公理來作為概率論的前提，但他們的公理理論都是不完善的。作為測度論的奠基人，博雷爾（Borel）在1905年指出概率論理論如果采用測度論術(shù)語來表述將會方便許多，并首先將測度論方法引入概率論重要問題的研究，特別是1909年他提出并在特殊情形下解決了隨機變量序列，服從強大數(shù)定律的條件問題。8博雷爾的工作激起了數(shù)學家們沿這一嶄新方向的一系列探索，其中尤以原蘇聯(lián)數(shù)學家科爾莫戈羅夫（1903—1987）的研究最為卓著．他給出了概率的公理化定義。概率論不僅是“數(shù)學之樹”的一龐大支條，而且還有若干強壯的根，直接扎在實際應用環(huán)境的大地上．“芳草有情皆礙馬，好云無處不遮樓”。正如英國的邏輯學家和經(jīng)濟學家杰文斯（1835—1882）所說，概率論是“生活真正的領(lǐng)路人，如果沒有對概率的某種估計，我們就寸步難行，無所作為?！?現(xiàn)實中有趣的概率的例子以1年365天計（不考慮閏年因素），你如果肯定在某人群中至少要有兩人生日相同，那么需要多少人？大家不難得到結(jié)果，366人，人數(shù)只要超過365人，必然會有人生日相同。但如果一個班有50人，他們中間有人生日相同的概率是多少？10據(jù)統(tǒng)計，飛機旅行是目前世界上最安全的交通工具，它絕少發(fā)生重大事故，造成多人傷亡的事故率約為三百萬分之一，假如你每一天坐一次飛機，這樣飛上8200年，你才有可能會不幸遇到一次飛行事故，三百萬分之一的事故概率，說明飛機這種交通工具是最安全的，它甚至比走路和騎自行車都要安全。走路時被汽車撞死：危險概率是1／40000；騎自行車時死于車禍：危險概率是1／130000；死于車禍：危險概率是1／5000。11“36選7”玩法的頭獎命中概率為1/8347680，七樂彩中一等獎的概率為203萬分之一，雙色球全中紅球的中獎概率為110萬分之一，而雙色球中一等獎的概率大概是1800萬分之一。有笑話說全世界的數(shù)學家都不會去買彩票，因為他們知道，在買彩票的路上被汽車撞死的概率遠高于中大獎的概率。科學日益發(fā)展，數(shù)學于生活中之應用愈來愈廣，概率統(tǒng)計在我們的生活中幾乎無處不在，學好概率確是較難，可探究過程于我們卻是受益匪淺。12第一章隨機事件及概率

隨機事件隨機事件的概率古典概率模型（等可能概率模型）條件概率隨機事件的獨立性13§1.1隨機事件一、隨機試驗隨機現(xiàn)象：在一定條件下，并不總是出現(xiàn)相同結(jié)果的現(xiàn)象，稱為隨機現(xiàn)象。例：拋一枚硬幣，觀察出現(xiàn)正面或反面的情況。思考：隨機現(xiàn)象是否有規(guī)律？14（3）試驗中一切可能出現(xiàn)的結(jié)果可以預先知道。－－必然性（統(tǒng)計規(guī)律性）隨機試驗必需滿足：（1）在相同條件下，可以進行大量次重復試驗。――可重復性（2）每次試驗中可以出現(xiàn)不同的結(jié)果，而不能預先知道發(fā)生哪種結(jié)果。――偶然性隨機試驗一般用字母E表示。15例1E1：擲一枚硬幣，觀察其正面（H）和反面（T）出現(xiàn)的情況。試驗的條件是擲一枚硬幣，條件實現(xiàn)（一枚硬幣擲出）就完成一次試驗。例2E2：將一枚硬幣擲2次，觀察正、反面出現(xiàn)的情況。試驗的條件就是把硬幣擲2次，條件實現(xiàn)（硬幣擲了2次）就完成一次試驗。16隨機事件：一個隨機試驗E中可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件稱為該試驗的隨機事件（簡稱事件）通常用字母A、B、C等表示。

基本事件：試驗E的每一可能的結(jié)果叫做基本事件，一般用ω表示。樣本空間：基本事件的全體組成的集合稱為該試驗的樣本空間。

二、隨機事件17必然事件：每次試驗中必然發(fā)生的事件稱為必然事件，記為Ω。不可能事件：每次試驗中不可能發(fā)生的事件稱為不可能事件，記為Φ。（1）樣本空間的構(gòu)成是由試驗的條件和觀察的目的所決定。注意18（2）基本事件是事件的一種，一般的事件是由若干個基本事件共同組成的，因而是樣本空間的子集，通常又稱其為復合事件。（3）隨機事件的另一個定義：樣本空間Ω的某個子集。事件A發(fā)生當且僅當試驗中出現(xiàn)A的某個基本事件。19三、事件之間的關(guān)系和運算

定義：若事件A發(fā)生必導致事件B發(fā)生，則稱事件B包含事件A。記為:B

A或A

B。

（1）事件的包含關(guān)系結(jié)論：若事件A

B且A

B，則稱事件A和事件B相等，記為A＝B。即：事件A、B所包含的基本事件是一樣的。

20定義：事件A，B至少有一個發(fā)生，稱為事件A與B的和（或稱為并），記為A∪B（2）事件的和定義：2個事件A，B都發(fā)生，稱為事件A與B的交（或積），記為A∩B（或AB）。

（3）事件的交定義：“事件A發(fā)生而事件B不發(fā)生”也是一個事件，稱為A與B的差。記為A－B。

（4）事件的差

21定義：在一次試驗中，若事件A、B不能同時發(fā)生，即AB＝Ф，則稱事件A、B是互不相容的事件。結(jié)論：從基本事件說，互不相容事件就是沒有公有的基本事件。顯然，在一次試驗中，兩個基本事件不能同時發(fā)生，所以任何兩個基本事件都是互不相容事件。

（5）事件的互不相容性22定義：若A∪B＝Ω

，AB＝Ф，則稱A、B為相互對立的事件（簡稱互逆），事件A的逆事件又可記為。結(jié)論：A、B互逆A、B互不相容；

A、B互不相容A、B互逆。

（6）逆事件(對立事件)23交換律：A∪B＝B∪A，AB＝BA結(jié)合律：(A∪B)∪C＝A∪(B∪C)，(AB)C＝A(BC)分配律：(AB)∪C＝(A∪C)·(B∪C)，(A∪B)C＝(AC)∪(BC)

（7）事件的運算規(guī)律德摩根公式：24例1、在一個口袋里裝有紅、黃、白三種球，每種球都不止一個，一次任取兩個球，觀察它們的顏色。設A＝{兩個同色球}，B＝{至少一個紅色球}，問A∪B由哪些基本事件組成？例2、設A、B、C為三個事件，試將下列事件用A、B、C表示出來。（1）三個事件都發(fā)生；（2）三個事件都不發(fā)生；25（3）三個事件至少有一個發(fā)生；（4）A發(fā)生，B、C不發(fā)生；（5）A、B都發(fā)生，C不發(fā)生；（6）三個事件中至少有兩個發(fā)生；（7）不多于一個事件發(fā)生；（8）不多于兩個事件發(fā)生。

26§1.2隨機事件的概率一、事件的頻率定義：如果在n次重復隨機試驗中，事件A發(fā)生了nA次，那么就稱比值fn(A)為事件A發(fā)生的頻率，其中，nA稱為A在這n次試驗中發(fā)生的頻數(shù)。對任意隨機試驗E，頻率具有性質(zhì)：27（1）對任意事件A，。（2）。（3）對任意有限多個互不相容的事件A1、A2…Am

有。說明由頻率的定義可見，如果事件A發(fā)生的可能性愈大，頻率就愈大；另一方面，頻率還有穩(wěn)定性，即當n很大時，頻率穩(wěn)定在一個固定值附近擺動。28二、概率的定義（1）概率的統(tǒng)計定義定義1：在同一組條件下所作的大量重復試驗中，如果事件A發(fā)生的頻率總是在一個確定的常數(shù)p

附近擺動，并且逐漸穩(wěn)定于p，那末數(shù)p就表示事件A發(fā)生的可能性大小，并稱它為事件A的概率，記作。29（2）概率的公理化定義定義2：設E是隨機試驗，Ω是E的樣本空間，對于E的每一個事件A對應唯一的實數(shù)值，記為，稱為事件A的概率，如果集合函數(shù)

滿足下列條件：（1）非負性：（2）規(guī)范性：30（3）可列可加性：是任意無窮多個互不相容的事件，有

這3條也是概率的三個基本性質(zhì)，此外概率還有一些其他性質(zhì)：313233概率的加法公式可推廣到有限個事件的并的情形。如：這個式子稱為“多除少補原理”.34§1.3等可能概型等可能概型（古典概型）：如果一個隨機試驗E具有如下的特征，則稱為等可能概型。（1）基本事件的全集是由有限個基本事件組成的；（2）每一個基本事件在一次試驗中發(fā)生的可能性是相同的。35定義：在古典概型中，若樣本空間包含的基本事件總個數(shù)為n，其中事件A包含的基本事件個數(shù)為k，則事件A的概率為

古典概型中概率的計算36例1、甲，乙兩人各出8元賭注，采用拋硬幣作為賭博手段。正面向上甲得1分，反面朝上乙得1分，誰先達到預先規(guī)定的分數(shù)就獲得全部的16元賭注。當甲差2分，乙差3分時他們不愿意再賭下去，請問如何公平的分配這16元賭注？例2、盒中有a個黑球，b個白球，從中分不放回和有放回的抽取n個球，求事件A：“剛好取到k個黑球”的概率。

37例3、n個球隨機放到N個盒子中，求下列事件發(fā)生的概率（1）A:某指定的n個盒子中每盒有1球；（2）B:任意的n個盒子每個盒子剛好有1個球；（3）C:第一個盒子剛好有k個球。38例4、(抽簽的公平性)盒中有a個黑球，b個白球，把球隨機地一只只取出（不放回），求事件A：“第k（1≤k≤a＋b）次取到黑球”的概率。

例5、一盒中含有N－1個黑球，一個白球，每次從盒中隨機地取一只球，并還入一只黑球，這樣繼續(xù)下去，求事件A：“第k次取到黑球”的概率。

39解：顯然，這是一個古典概型的問題，樣本空間的大小為；而要求概率的事件A所包含的基本事件個數(shù)就不容易計算了，但可考慮其逆事件，包含的基本事件數(shù)為：40例6、從1，2，…，9中有放回的取n個數(shù)，求取到的n個數(shù)的乘積能被10整除的概率。41

§1.4條件概率與乘法公式一、條件概率的定義在實際問題中，除了要知道事件A的概率外，有時還要考慮在“已知事件B發(fā)生”的條件下，事件A發(fā)生的概率。一般情況下，兩者的概率是不相等的，為了區(qū)別所見，我們把后者稱為條件概率，記為：42例1、設10件產(chǎn)品中有2件次品，8件正品?，F(xiàn)每次從中任取一件產(chǎn)品，且取后不放回，試求下列事件的概率。（1）前兩次均取到次品（2）第一次、第二次取到次品（3）已知第一次取到次品的條件下第二次也取到次品43定義：A，B兩個事件，P(A)>0，稱為A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率。如：注意：（1）條件概率也是概率，所以，它滿足概率的一切性質(zhì)。44（2）一般的，概率與條件概率之間沒有大小關(guān)系，但是有一種情況例外。（3）在古典概型中，設樣本空間是由n個基本事件組成，若事件B包含m個基本事件(m>0)，AB包含k個基本事件，則45例2：有10個產(chǎn)品，其中4個是次品，從中不放回的抽取2個，已知取出的一個是次品的條件下另外一個也是次品的概率。46二、概率的乘法公式

定理：兩個事件的交的概率等于其中一個事件的概率與另一事件在前一事件發(fā)生下的條件概率的乘積。即：P(AB)=P(B)P(A∣B)＝P(A)P(B∣A)這是兩個事件的交，我們可以推廣到求有限多個事件的交：47例3：把3個球隨機地放到4個盒子中，A表示有球盒子的最小號碼為3，求P(A)。48三、全概率公式和貝葉斯公式

1、劃分：設Ω為隨機試驗E的樣本空間，為E的一組事件，若

（1）（2）則稱為樣本空間的一個有窮劃分（或稱為完備事件組）。

49設Ω為隨機試驗E的樣本空間，為樣本空間的一個劃分。則：

2、全概率公式與貝葉斯公式50例4、設有一箱同類型的產(chǎn)品是由三家工廠所生產(chǎn)的，已知其中有的產(chǎn)品是由第一家工廠生產(chǎn)的，其它二廠各生產(chǎn)；又知第一第二兩廠生產(chǎn)的有2％是次品，第三家工廠生產(chǎn)的有4％是次品，現(xiàn)從箱中任取一件產(chǎn)品，問拿到的是次品的概率為多少？51例5、產(chǎn)品整箱出售，每箱20個。各箱有0，1，2個次品的概率分別為0.7，0.2，0.1。一位顧客欲購買一箱產(chǎn)品，在購買時，營業(yè)員隨機地取一箱，而顧客從中任取4只檢查，若無次品，則買下該箱產(chǎn)品，否則退貨，求（1）顧客買下該箱產(chǎn)品的概率；（2）已知顧客買下一箱產(chǎn)品，則該箱都是正品的概率為多少？52例6、袋中N個球，其中紅球個數(shù)從0～N等可能，每次從中任取1球，觀察其顏色后放回，如此重復了k次。結(jié)果k次都觀察到紅球，問袋中全是紅球的概率。53一、兩個事件的獨立性§1.5事件的獨立性例1、在20個產(chǎn)品中有2個次品，從中接連抽兩個產(chǎn)品，第一個產(chǎn)品抽得后放回，再抽第二個產(chǎn)品，求（1）已知第一次取得次品的情況下，第二次取得次品的概率；（2）第二次取得次品的概率。54解：設事件A＝{第一次抽到次品}，事件B＝{第二次抽到次品}，（1）因是有放回的：P(B|A)＝;（2）因是有放回的：P(B)＝P(B|A)＝所以，P(B|A)＝P(B)。55定義:設事件A、B是某一隨機試驗的任意兩個事件，若滿足，則稱事件A、B互相獨立，記為i.d.。

定理：若事件A與B相互獨立，且56獨立擴張定理：若事件A與B獨立，則、也相互獨立。57二、多個隨機事件的獨立性

定義：設事件，若有則稱相互獨立。58（1）相互獨立，則其中任取k個事件也相互獨立；反之不一定。注意59例2、假若每個人的血清中含有肝炎病毒的概率為0.004，混合100個人的血清，求此血清中含有肝炎病毒的概率。解：設Ai＝{第i個人的血清中含有肝炎病毒}，可以認為它們是相互獨立的。60

設一電路由5個同樣的電子元件組成（如下圖所示），每個元件正常工作的概率（元件的可靠性）為p，元件損壞即斷路。每個元件工作狀況互相獨立，求此電路的可靠性（線路兩端保持連通的概率）。例3、（系統(tǒng)可靠性）61例4、甲、乙、丙3人同時獨立的對飛機進行射擊，3人擊中飛機的概率分別為0.4，0.5，0.7，飛機被1人擊中而被擊落的概率為0.2，被2人擊中而被擊落的概率為0.6，若3人都擊中，飛機必定被擊落。求飛機被擊落的概率。62例5、由以往記錄的數(shù)據(jù)分析，某船只運輸某種物品損壞2％，損壞10％，損壞90％的概率分別為0.8，0.15，0.05。現(xiàn)從中任取3件，發(fā)現(xiàn)3件都是好的，求此次物品運輸被損壞了2％的概率。（假設運輸?shù)奈锲纷銐蚨?，不放回抽取近似地看成有放回抽取?32、設，且，則（）。3、設A、B、C為隨機事件，且，，

0.125，則A、B、C至少出現(xiàn)一個的概率是

。

1、已知，則（A）0.4；（B）0.5；（C）0.3；（D）0.7。

644、設，，若事件A與B互逆，則

；若事件A與B獨立，則

。

657、有來自三個地區(qū)的考生報名表各10份，15份和25份，其中女生報名表分別為3份，7份，5份?，F(xiàn)任取一個地區(qū)的報名表，再從中取一份，求：（1）該表為女生表的概率；（2）已知該表為男生表，它來自第二個地區(qū)的概率為多少？66第二章隨機變量及其分布隨機變量隨機變量的分布函數(shù)離散型隨機變量連續(xù)型隨機變量隨機變量函數(shù)的分布67從概率的定義我們知道，概率是自變量為集合的特殊的函數(shù)；為了能用變量，函數(shù)及微積分等工具來得出事件發(fā)生的概率、研究隨機現(xiàn)象，引進了概率論中的另一重要概念――隨機變量?！?.1隨機變量68例1、拋一枚硬幣1次，觀察正(H)、反(T)面朝上的情況。例2、從含有2個黑球，3個白球的盒子中任取3個球，觀察取出球的情況。69若令X表示取出的3個球中黑球的個數(shù)例3、觀察某網(wǎng)站在一段時間內(nèi)被點擊次數(shù)。例4、觀察某廠生產(chǎn)燈泡的使用壽命t.70定義：設E是一個隨機試驗，Ω＝是其樣本空間，如果對每一個，有唯一的實數(shù)X(ω)與之對應，則稱X是E的一個隨機變量。（1）由定義可知，隨機試驗E的隨機變量不是唯一的。例2中，我們也可以定義隨機變量Y：“3個球中白球的個數(shù)”，則Y也是隨機試驗E的一個隨機變量。說明71（2）引進隨機變量后，隨機事件可以用隨機變量在實數(shù)軸上某一個集合中取的值來表示。所以，研究隨機事件的概率就轉(zhuǎn)化為研究隨機變量取值的概率。72§2.2隨機變量的分布函數(shù)對于隨機試驗而言，僅僅知道它可能的出現(xiàn)的隨機事件并不重要，重要的是這些事件出現(xiàn)的可能性有多大。相對于隨機變量X來說，就是X取什么值不重要，重要的是X取這些值的概率有多大。73注意（1）分布函數(shù)的定義域為一切實數(shù)；（2）分布函數(shù)在x處的取值所表示的是隨機變量X在上的概率。定義：設X是一個隨機變量，是一個實數(shù)，函數(shù)就稱為隨機變量X的概率分布函數(shù)，簡稱分布函數(shù)。74分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）單調(diào)不減，即若，則有（2）且（3）右連續(xù)，即特別需要說明的是：隨機變量的分布函數(shù)具有上述3條性質(zhì)；反之也成立。75例1、判斷以下函數(shù)是否為分布函數(shù)：76關(guān)于分布函數(shù)還有一些常用公式：（1）（2）（3）（4）77§2.3離散型隨機變量離散型隨機變量：隨機變量的可取值范圍，有的可以排列出來，有的不能排列出來。把可取值能按一定的次序一一列舉出來的隨機變量稱為離散型隨機變量。78定義：如果離散型隨機變量X的一切可能取值為，則稱P(X=xk)＝pk為隨機變量X的概率分布列，簡稱分布列或分布律。分布律又常常表示為表格的形式：Xx1x2

…

xk

…Pp1p2

…

pk

…一、離散型隨機變量的分布列79例1、一射手對某一目標進行射擊，一次擊中的概率為0.8（1）求一次射擊的分布列；（2）

求到擊中目標為止所需的射擊次數(shù)的分布列。解（1）

設{X=0}＝{擊不中目標}，{X=1}＝{擊中目標}，則：80

p1＝P(X=0)＝0.2，p2＝P(X=1)＝0.8所以分布列為：X01

pk

0.20.8（2）

設射擊到擊中目標為止，射擊的次數(shù)是隨機變量Y，則Y∈{1,2,3,…,k,…}。81所以Y的分布律為：pk＝P(Y=k)＝0.2k-1×0.8，k=1,2,…或者Y的分布律用表格表示為

Y12…k…

pk0.80.2×0.8…0.2k-1×0.8…82例2、把3個球任意的放到4個盒子中，令X表示落到第1個盒中球的個數(shù)，求X的分布列。解：83分布律的性質(zhì)：反之，若數(shù)列滿足這兩條性質(zhì)，則一定是某一離散型隨機變量的分布律。（1）（2）84例3、設離散型隨機變量X的分布列為求正數(shù)a的值。解：根據(jù)性質(zhì)所以，85例4、設離散型隨機變量X的分布列其中，為已知，求常數(shù)C。解：86對隨機變量而言，除了要研究其分布列以外，還要研究其分布函數(shù)。根據(jù)上一節(jié)的內(nèi)容可得離散型隨機變量X的分布函數(shù)為

從幾何上來看，這個函數(shù)的圖像應是階梯型87例5、求例2中的隨機變量X的分布函數(shù)。

X的分布列為X0123分布函數(shù)為：88

二、常見的離散型隨機變量

（1）（0-1）分布：設隨機變量X只可能取0和1兩個數(shù)值，它的分布律為其中，則稱X

服從（0-1）分布。89（2）二項分布：若隨機變量X的分布律為

其中，則稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，記為，當時，就是（0-1）分布。90定義：把試驗E在相同的條件下重復進行n次，各次試驗的結(jié)果有限且互不影響，則稱這n次試驗為n次獨立試驗。如果每次試驗只有兩個結(jié)果，則n次獨立試驗又稱為n重伯努利試驗。91定理：設X是n重伯努利試驗中成功（A發(fā)生）的次數(shù)，則X~B(n,p)，其中p=P(A)例6、在正常情況下，某種家禽感染某種疾病的概率為0.3，現(xiàn)發(fā)明一種疫苗，將其給40只健康的家禽注射后發(fā)現(xiàn)有5只家禽受到感染，問應如何評價這種疫苗的作用。92定理：X~B(n,p)，則此時X的取值即為事件A最可能成功的次數(shù)，當k為最可能成功的次數(shù)時，稱P(X=k)為二項分布的中心項。93例7、為了保證設備正常工作，需配備適量的維修工人?，F(xiàn)有同類設備300臺，各臺工作是相互獨立的，發(fā)生故障的概率為0.001，在通常情況下，一臺設備的故障由一個工人來處理。問至少要配備多少工人，才能保證設備發(fā)生故障后但不能及時維修的概率小于0.01？94解：設需要配備N名工人。記同一時刻發(fā)生故障的設備數(shù)為X，則。問題的實質(zhì)是求最小的N，使此時我們用二項分布公式來計算，很難得出結(jié)果，因此必須找另外的方法。95查表得:N+1=3,即N=2。因此，為滿足要求，至少需配備2名工人。定理：96（3）泊松（Poisson）分布：設隨機變量X可能取的一切值為0，1，2，…，而取各個值的概率為，其中是常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為λ的泊松（Poisson）分布，記為X～P（）。97定理：

，則①當是整數(shù)時，②當不是整數(shù)時，98（4）超幾何分布：若X的分布律為則稱隨機變量X服從超幾何分布，記為99（5）幾何分布：若隨機變量X的分布律為則稱X服從幾何分布，記為。（6）負二項分布：若隨機變量X的分布律為其中0<p<1已知，則稱隨機變量X服從負二項分布，記為。100一、連續(xù)型隨機變量的概念如果隨機變量的取值能充滿實數(shù)軸上的某個區(qū)間，甚至于整個實數(shù)軸。這樣的隨機變量稱為連續(xù)型隨機變量?！?-4連續(xù)型隨機變量101定義：設隨機變量X

的分布函數(shù)為。若存在非負可積函數(shù)，使得對于任一實數(shù)x

有①則稱X

是連續(xù)型隨機變量，其中函數(shù)稱為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度。102概率密度的性質(zhì)：（1）（2）反之，任何一個函數(shù)滿足了（1），（2），則由①定義的也一定是某個連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)。103解：由概率密度函數(shù)的性質(zhì)知例1：設連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)為：

，－∞<x<+∞，求常數(shù)C。104例2、設連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求常數(shù)A及其概率密度函數(shù)。解：由分布函數(shù)的性質(zhì)可知，在處是連續(xù)的，所以在處其左、右極限都應該是1，因此A＝1。（3）若在x處連續(xù)，則105顯然而所以，即概率密度函數(shù)為:106我們還可以看，它們也都滿足概率密度函數(shù)的性質(zhì)，所以，本題的密度函數(shù)也可以取為或。107注意：一般的，同一個連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)可以有許多，但它們除了在有限個點或可數(shù)個點上不相等外，其它點都相等。也即連續(xù)型隨機變量X的概率密度函數(shù)是“幾乎處處”唯一的。108所以對連續(xù)型隨機變量X而言，概率為0的事件未必是不可能事件；概率為1的事件也未必是必然事件。（4）連續(xù)型隨機變量X在一個點上取值的概率恒為0。109二、幾個重要的連續(xù)型隨機變量

1、均勻分布

(Uniformdistribution)記為。設有連續(xù)型隨機變量X，其概率密度為則稱X在區(qū)間上服從均勻分布，110分布函數(shù)：例3、設隨機變量X在區(qū)間[0,1]上服從均勻分布，現(xiàn)對其進行4次獨立觀察，求至少有一次觀察值大于2/3的概率。1112、指數(shù)分布若隨機變量X具有密度：其中，是常數(shù)，則稱X

服從參數(shù)為λ

的指數(shù)分布。記為：X～。（指數(shù)分布又常被稱為壽命分布）分布函數(shù)：112指數(shù)分布有一個特性：無記憶性。我們看下面的例子：例6、某種電器元件的使用壽命X服從參數(shù)為λ＝1/2000的指數(shù)分布（單位：小時）（1）任取一個元件，求能正常使用1000小時以上的概率。（2）求其正常使用1000小時后還能使用1000小時的概率。113解：X的密度為（1）（2）114由本題可見，指數(shù)分布的無記憶性；其實，不僅是指數(shù)分布有這樣的性質(zhì)，幾何分布也同樣具有這樣的性質(zhì)。一般的，有1153.正態(tài)分布

定義：連續(xù)型隨機變量X的密度函數(shù)為：其中μ、σ都是常數(shù)(－∞<μ<+∞，σ>0)，則稱X服從參數(shù)為μ、σ的正態(tài)分布，記為：X～N(μ,σ2)。116正態(tài)曲線具有以下性質(zhì)：（1）曲線位于x軸的上方，以直線x=μ為對稱軸，它向左向右對稱地無限延伸，并且以x軸為漸近線；（2）當x=μ時曲線處于最高點，當x向左右遠離μ時，曲線逐漸降低，整條曲線呈現(xiàn)“中間高、兩邊低”的形狀；117（3）參數(shù)σ決定了正態(tài)曲線的形狀，σ愈大，曲線愈“矮胖”(即分布愈分散)，σ愈小，曲線愈“高瘦”(即分布愈集中于μ的附近)。參數(shù)μ確定曲線的位置，反映了分布的集中點，由于曲線關(guān)于直線x=μ對稱，所以稱μ為正態(tài)分布的分布中心。σ反映了分布的分散程度。注118特殊的：當μ＝0、σ＝1時的分布稱為標準正態(tài)分布，記為N(0,1)，則其密度函數(shù)為：分布函數(shù)為：119正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的聯(lián)系：重要公式：定理：設X～，則服從。120例7、某科統(tǒng)考成績近似服從正態(tài)分布在參加統(tǒng)考的人中，及格者100人，（及格分數(shù)為60分）計算：（1）不及格人數(shù)。（2）估計第10名的成績。解：（1）設考生的成績?yōu)閄，顯然：121若參加考試人數(shù)是n，則有122（2）設第10名的成績?yōu)?/p>

a

分，則123例8、測量某一目標的距離時，測量誤差X(cm)～N(50,1002)，求：（1）測量誤差的絕對值不超過150厘米的概率。（2）在三次測量中至少有一次誤差的絕對值不超過150厘米的概率。124解：（2）在3次測量中，令Y表示誤差不超過150(cm)的次數(shù)，則Y~B(3，0.8185)125α分位點：給定常數(shù)α

，若存在數(shù)滿足，則稱為隨機變量X的上α分位點；當時，稱為隨機變量X的中位數(shù)。yxo126一般的,上α分位點可查表得到例:在其它一些書上,也有將上α分位點稱為臨界點。1272-5隨機變量函數(shù)的分布問題的一般提法：已知隨機變量X的分布，是一連續(xù)函數(shù)，求的分布。1、X

是離散型隨機變量：X

x1

x2…xk…P

p1p2…pk

…128則的分布列為：

g(x1)

g(x2)…g(xk)…Pp1p2…pk

…129例1：設隨機變量X

的分布列為：

X

－2－1013

（1）確定常數(shù)a

的值；（2）求的分布列。130解：根據(jù)分布列的性質(zhì)得：（2）131所以，的分布列為：例2、設隨機變量X～P(λ)，求Y=X2的分布律。1322、X

是連續(xù)型隨機變量：設X

的密度函數(shù)為，則隨機變量的分布函數(shù)為再對y

求導即可得Y

的密度函數(shù)。(套路)例3、設隨機變量X～U(0,1)，求的分布。133X的密度為解：X

是連續(xù)型的，而Y

是離散型的。顯然Y

的可取值為1，2，…N。134所以，Y

的分布列為135136所以，X~N(0,1)時，求Y=X2的分布。137例7、設隨機變量X

的概率密度為求的概率密度。解：由知138139所以，隨機變量Y的密度為：140第三章多維隨機變量及其分布二維隨機變量的聯(lián)合分布邊緣分布條件分布隨機變量的獨立性n維隨機向量簡介隨機向量函數(shù)的分布1413.1.1二維隨機變量及其分布定義3.1：設Ω＝｛ω

｝是隨機試驗E

的樣本空間，X和Y是定義在Ω上的隨機變量，由它們構(gòu)成的二維向量（X，Y）稱為E

的一個二維隨機變量?！?.1多維隨機變量及其分布142定義3.2：設（X，Y）是二維隨機變量，對一切(x,y)，稱二元函數(shù)為（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，或稱為（X,Y）的分布函數(shù)。聯(lián)合分布函數(shù)的性質(zhì)：（1）143（2）對x、y

分別是單調(diào)不減的。（4）對任意的點（3）關(guān)于x

右連續(xù)，關(guān)于y

右連續(xù)。即144性質(zhì)（4）正是一維隨機變量與二維隨機變量的不同之處。也就是說，一個函數(shù)僅滿足了前三條性質(zhì)，仍未必是二維隨機變量的分布函數(shù)。就是不滿足性質(zhì)（4）。例如：145如果，二維隨機變量（X，Y）的一切可取值為有限多對，或可列多對，則稱（X，Y）為二維離散型隨機變量。定義3.3：設二維離散型隨機變量（X，Y）所有可能取得值為（xi

，yj），i，j＝1，2，…，則稱：3.1.2、二維離散型隨機變量146為（X，Y）的聯(lián)合分布律，或稱為（X，Y）的分布律。（X，Y）的分布律也可以用如下的表格表示：YX147例1（二維0－1分布）設一個袋中有2個黑球，3個白球，從中任取2個球，X

表示第一次取出的白球個數(shù)，Y

表示第二次取出的白球個數(shù)，分別求出（1）有放回抽取，（2）不放回抽取時,（X，Y）的聯(lián)合分布律。148解：直接用表格表示為：（1）YX（2）YX149例2、拋一枚硬幣3次，令X表示頭兩次出現(xiàn)正面的次數(shù)，Y表示3次總共出現(xiàn)正面的次數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。150例3、把5個球任意的放到3個盒子中，令X表示落在第一個盒子中球的個數(shù)，Y落在第二個盒子中球的個數(shù)，求(X,Y)的聯(lián)合分布律。解：（X,Y）=（i,j）（其中i,j=0,1,…,5；i+j≤5）151分布律的性質(zhì)：（1）（2）1523.1.3二維連續(xù)型隨機變量定義3.4：設是二維隨機變量（X，Y）的分布函數(shù)，若存在著非負可積函數(shù)，使對一切的有153則稱（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，函數(shù)稱為二維連續(xù)型隨機變量的聯(lián)合概率密度函數(shù)。密度函數(shù)有如下性質(zhì)：（1）（2）154（4）設G是xy

平面上的一個區(qū)域,向量落在G內(nèi)的概率為：其中（1），（2）為聯(lián)合密度函數(shù)的基本性質(zhì)。（3）若在點處連續(xù)，則有：155例4、設隨機變量（X，Y）的概率密度為求：P(X≤Y)156例5（二維正態(tài)分布）：設對給定的常數(shù)定義函數(shù)：可以證明是一個概率密度函數(shù)。157例6（二維均勻分布）設G是xy平面上的區(qū)域，S是G的面積，定義二元函數(shù)：顯然該函數(shù)滿足密度函數(shù)的性質(zhì)（1），（2），故其是二維連續(xù)型隨機向量的聯(lián)合密度函數(shù)，并稱(X,Y)服從二維均勻分布。158§3.2邊緣分布一、邊緣分布函數(shù)定義：設是（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)，稱分別為（X,Y）關(guān)于X，Y的邊緣分布函數(shù)。定理：159二、邊緣分布律定理：設（X,Y）是二維離散型隨機向量，其聯(lián)合分布律為：160例1：在3-1例1中，分別求出（X，Y）關(guān)于

X

和Y的邊緣分布。有放回抽取時：（1）YXp·jpi·161（2）不放回抽取時：YXp·jpi·162求X,Y的邊緣分布律。163例3、向一目標進行獨立射擊，每次擊中目標的概率為p，令X

表示首次擊中目標所需的射擊次數(shù)，Y

表示第二次擊中目標所需的射擊次數(shù)，求（X，Y）的聯(lián)合分布律和邊緣分布律。顯然，（X，Y）可能取的一切值為164設每次擊中目標記為事件A，由于射擊是獨立的，所以第

i

個第j

個（令）我們再求其邊緣分布律：165166三、邊緣概率密度函數(shù)由3.2.1定理知：而由分布函數(shù)的定義知：167例2：在[0,1]區(qū)間上任意取兩點，令X

和Y

分別表示這兩點的坐標（設X≥Y），求（X，Y）的聯(lián)合概率密度及（X，Y）關(guān)于X和Y

的邊緣概率密度。

所以：168解：由題意可知，其面積為S，則另一方面，X、Y

是任取得兩點，所以（X，Y）在

G

上服從二維均勻分布，故其聯(lián)合概率密度為Go11yx169那么，邊緣密度為：170171定義3.6：設X、Y

是兩個隨機變量，若有，對任意的，稱為在X＝x

下，Y

的條件分布函數(shù)，記為：，同樣可以定義：（3.16）一、條件分布函數(shù)§3.3條件分布172但當X是連續(xù)型隨機變量時，由于式3.16無意義，因此，在一般情況下，設（X，Y）的聯(lián)合分布函數(shù)為，若下列極限存在，則稱此極限為在X＝x下，Y

的條件分布函數(shù)。173二、離散型隨機變量的條件分布律設（X，Y）的聯(lián)合分布律為其邊緣分布律為pi·

和p·j

，稱為在條件下隨機變量X的條件分布律。174并稱為在條件下隨機變量Y

的條件分布律。求條件分布律P(Y=j|X=1)175例2、向一目標進行獨立射擊，每次擊中目標的概率為p，令X

表示首次擊中目標所需的射擊次數(shù)，Y

表示第二次擊中目標所需的射擊次數(shù)，求（X，Y）的條件分布律。解：由前面的解題過程可知，聯(lián)合分布律為：176（令）其邊緣分布律：177由條件分布律的定義得：178三、連續(xù)型隨機變量的條件密度設（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，其聯(lián)合分布密度為，邊緣概率密度分別為、，則在條件Y＝y(tǒng)

下的隨機變量X

的分布函數(shù)為：179同理可得：而：180由上可知：例2、設二維隨機變量（X，Y）在區(qū)域上服從均勻分布，求條件概率密度。181解：因為（X，Y）服從均勻分布，且圓面積為π。所以，聯(lián)合概率密度為：邊緣分布為：182所以，當時，條件分布為：183184例3、設（X，Y）的聯(lián)合密度為求：185解：即從而186所以187定義3.7：設及分別是二維隨機變量（X，Y）的聯(lián)合分布和邊緣分布函數(shù)，若對一切的，有則稱隨機變量X

和Y

是相互獨立的。§3.4隨機變量的獨立性188例1、一電子儀器由兩部分構(gòu)成，以X

和Y

分別表示兩部件的壽命（單位：千小時），已知X

和Y

的聯(lián)合分布函數(shù)為（1）問X

和Y

是否獨立；（2）求兩部件的壽命都超過100小時的概率。189由知，X

與Y

相互獨立。（2）解（1）190191相互獨立的兩個充要條件：定理3.4：設（X，Y）是二維離散型隨機變量，則：192而且（1）求X

和Y

的聯(lián)合分布律；（2）問X

和Y是否獨立？例2、已知隨機變量X

和Y

的分布律為：193定理3.5：設（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，則：194§3.5

n維隨機變量簡介一、

n維聯(lián)合分布定義1

設(X1,…,Xn)為n維隨機變量，對任意n個實數(shù)x1,x2,…,xn，稱n元函數(shù)為n維隨機變量(X1,…,Xn)的聯(lián)合分布函數(shù)。195定義2

如果(X1,…,Xn)只取有限或可列無窮多組向量值，則稱(X1,…,Xn)為n維離散型隨機變量，稱為(X1,…,Xn)的聯(lián)合分布律。196定義3

如果存在非負可積函數(shù)f(x1,…,xn),使得(X1,…,Xn)的分布函數(shù)對一切實數(shù)x1,…,xn成立,則稱(X1,…,Xn)為n維連續(xù)型變量。稱f(x1,…,xn)為(X1,…,Xn)的聯(lián)合概率密度。197（3）對n維連續(xù)型變量(X1,…,Xn)，落在n維空間某區(qū)域G內(nèi)的概率為198二、k維邊緣分布及條件分布定義4

稱(X1,…,Xn)中任意k個分量所構(gòu)成的k維隨機變量的分布為(X1,…,Xn)的k維邊緣分布。例如，稱(X1,X2,X3)的分布函數(shù)為(X1,…,Xn)關(guān)于(X1,X2,X3)的三維邊緣分布函數(shù).199三、獨立性定義5

設(X1,…,Xn)的分布函數(shù)為F(x1,…,

xn),一維邊緣分布函數(shù)為FXi(xi)(i=1,2,…n),若對所有實數(shù)x1,…,xn,有則稱X1,…,Xn相互獨立。200201§3.6隨機變量函數(shù)的分布問題：已知Z=g(X,Y)以及

(X,Y)的聯(lián)合分布，如何求出Z的分布？1、(X,Y)為二維離散型隨機變量例1設二維隨機變量(X,Y)的分布律為下表0103/103/1013/101/10XY202例2、已知隨機變量獨立同分布并且試求:(1)Z1=X+Y;(2)Z2=XY;(3)Z3=max(X,Y)的分布律。2032042052062、二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的分布思路：設二維連續(xù)型隨機變量的函數(shù)為Z=g(X,Y),顯然Z是一維隨機變量，其分布函數(shù)為如果設(X,Y)的聯(lián)合概率密度為f(x,y),則207例5、設(X,Y)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為求的概率密度。利用Z的分布函數(shù)與Z概率密度之間的關(guān)系，可以最終求出Z=g(X,Y)的概率密度。208設是的分布函數(shù)，記區(qū)域：根據(jù)連續(xù)型隨機變量在平面上的一個區(qū)域內(nèi)取值得概率等于其聯(lián)合概率密度在這個區(qū)域上的二重積分。有xyoG209G*uyz（此時的積分區(qū)域就是右圖的G*）交換積分次序有210兩邊對z求導得顯然，由對稱性也可寫成由于X、Y相互獨立，其概率密度分別為，所以有卷積公式211例6、設X、Y

是兩個相互獨立同服從標準正態(tài)分布的隨機變量，求的概率密度函數(shù)。解：X、Y

的密度為212由卷積公式得：由的密度可見，更一般的結(jié)論，見教材P100。213例7、設隨機變量X,Y獨立同分布于U(0,1),求Z=X+Y的密度函數(shù)。214215216例9、設X、Y

是兩個相互獨立同服從分布的隨機變量，求的概率密度函數(shù)。例10、設隨機變量X,Y獨立同分布于U(0,1),求Z=XY的密度函數(shù)。217例11、設X1,X2,…,Xn

相互獨立,分布函數(shù)分別為F1(x),F2(x),…,Fn(x),求M=max(X1,X2,…,Xn)，N=min(X1,X2,…,Xn)的分布。特別地,

當X1,X2,…,Xn

i.i.d.時,分布函數(shù)為F(x),

則

FM(z)=(F(z))n

,FN(z)=1-(1-F(z))n.218離散型隨機變量沒有密度函數(shù)，但是對于上式的分布函數(shù)公式仍然成立。219第四章數(shù)字特征數(shù)學期望方差協(xié)方差和相關(guān)系數(shù)矩與協(xié)方差矩陣220§4.1數(shù)學期望

一、概念例1、盒子中有6個球（如圖），112333從中任取一球再放回，重復了三次，問三次抽到號碼的平均值。221定義4.1：如果離散型隨機變量X的分布列是，若級數(shù)收斂，則稱隨機變量X的數(shù)學期望存在，且稱級數(shù)的和為X的數(shù)學期望，并記為EX，有時也稱EX為X的均值。222對連續(xù)型隨機變量X的數(shù)學期望類似的可定義如下：定義4.2：如果連續(xù)型隨機變量X具有密度函數(shù)f(x)，積分收斂，則稱X的數(shù)學期望存在，否則稱X的數(shù)學期望不存在。若X的數(shù)學期望存在，稱積分值為X的數(shù)學期望，也記為EX。223注1、若，仍稱X的數(shù)學期望不存在。2、離散型取有限個值，連續(xù)型密度函數(shù)只在有限區(qū)間上積分，則X的期望一定存在。3、離散型只取非負值，連續(xù)型只在x>0時f(x)>0，則只需直接計算期望。224二、常見隨機變量的數(shù)學期望（1）（0-1）分布p1-pP10X225（2）二項分布b(n,p)226（3）泊松分布P(λ)227（4）幾何分布G(p)228（5）均勻分布U(a

,b)229（6）指數(shù)分布230（7）正態(tài)分布N(μ,σ2)231三、隨機變量函數(shù)的數(shù)學期望

定理4.1：設Y是隨機變量X的函數(shù)，即（g

是連續(xù)函數(shù)），（1）若X是離散型隨機變量，其分布律為而級數(shù)絕對收斂，則有232（2）若X

是連續(xù)型隨機變量，其密度函數(shù)為，若積分絕對收斂，則有233定理4.2：設Z是二維隨機變量（X，Y）的函數(shù)，即Z＝g（X，Y），則（1）若（X，Y）是二維離散型隨機變量，有（2）若（X，Y）是二維連續(xù)型隨機變量，有234例1：設

X～B（n，p），求EX(X－1)。解：因X～B（n，p），則X的分布律為令

Y＝g(X)＝X(X－1)235236例2、已知X～N(0,1)，求E(X4)例3、（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：求：EY237例4：設隨機變量（X，Y）服從二維正態(tài)分布，其密度為求

的數(shù)學期望。解：238例5：設X、Y相互獨立同服從標準正態(tài)分布N（0，1），求E（max｛X,Y｝）。解：由題設，(X，Y)的聯(lián)合密度為xyox<yy<x239240（1）

EC＝C，(C為常數(shù))（2）

E(CX)＝CEX，(C為常數(shù))（3）

E(X+Y)＝EX＋EY

E(aX+b)＝aEX＋b，

E()＝（4）若X、Y是相互獨立的隨機變量，則E(X·Y)＝EX·EY。四、數(shù)學期望的性質(zhì)241例6、設X的分布律為：例7、把r各球放到n個盒子中，令X表示有球盒子的個數(shù)，求EX.求EX242§4.2隨機變量的方差

一、方差的定義

對隨機變量的特征進行考察，除了數(shù)學期望外，還要考察X的可取值與EX的偏離情況，由于X－EX可正可負，因此用[X－EX]2

來考慮。

243定義4.3：設X是一個隨機變量，若(X－EX)2

的數(shù)學期望存在，則稱E(X－EX)2為X的方差，記為DX或Var(X)，即DX＝E(X－EX)2

離散型隨機變量：連續(xù)型隨機變量：244方差的計算公式：二、幾種常見的隨機變量的方差（1）（0－1）分布p1-pP10X245（2）二項分布：（3）泊松分布：（4）均勻分布：246（5）指數(shù)分布：247（6）正態(tài)分布：248三、方差的性質(zhì)

（1）D(C)＝0，(C為常數(shù))

（2）D(CX)＝C2DX，(C為常數(shù))

（3）若X、Y是相互獨立的隨機變量，則

D(X+Y)＝DX＋DY（4）DX＝0249例1、已知X～N(1,22)，Y～N(2,22)，且X、Y相互獨立，求：X-2Y+3的數(shù)學期望和方差。

250定理：切比雪夫不等式251§4.3協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)一、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的概念

我們在證明方差的性質(zhì)時看到，當兩個隨機變量X和Y相互獨立時，有但當X和Y不相互獨立時，它們之間的關(guān)系呢？252稱

為

X、Y

的相關(guān)系數(shù)。定義4.4：設X、Y

是兩個隨機變量，稱為隨機變量X、Y

的協(xié)方差，記為即：253相關(guān)系數(shù)的特征：是一個無量綱的量。它描述的是

X、Y

之間的線性相關(guān)程度。特殊的，當時，稱X,Y不相關(guān)。結(jié)論：X、Y相互獨立，則其一定不相關(guān)；但若X，Y不相關(guān)，卻未必相互獨立。254二、協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)1、協(xié)方差的性質(zhì):2552、相關(guān)系數(shù)的性質(zhì):（1）||≤1;（2）||=1的充要條件為

X與

Y以概率1線性相關(guān)。即存在常數(shù)

a、b，a≠0，使256例1、已知隨機變量X,Y相互獨立，且求

3X-Y與

X+Y的相關(guān)系數(shù)。例2、已知（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為：證明：X，Y不相關(guān)，X，Y不獨立。257例3、設隨機變量X的概率密度為

求X與|X|的協(xié)方差，并問X與|X|是否相關(guān)？258§4.4矩、協(xié)方差矩陣一、矩定義4.5：設X、Y是隨機變量，

稱為X的k階原點矩

稱為X的k階中心矩稱為X與Y的k+l階混合中心矩259二、協(xié)方差矩陣設n維隨機變量

X＝，記

。稱

為X的期望向量，記

為

Xi

與Xj

的協(xié)方差，則稱n階矩陣Σ為隨機變量X的協(xié)方差矩陣。260協(xié)方差矩陣的性質(zhì)：（1）（2），即