立體幾何的動態(tài)問題-玩轉(zhuǎn)壓軸題原卷版

專題4.3立體幾何的動態(tài)問題感性”元素往往成為學(xué)生思考與求解問題的思維障礙，使考題的破解更具策略性、挑戰(zhàn)性與創(chuàng)新性.一般立體動態(tài)問題原因有動點(diǎn)變化、形成的平面圖形的翻折、幾何體的平移和旋轉(zhuǎn)以及投影與截面問題，由此引發(fā)的常見題型為動點(diǎn)軌跡、角度與距離的計(jì)算、面積與體積的計(jì)算、探索性問題以及有關(guān)幾何量的最值求解等.尋找不變的靜范圍的選擇、填題空，有時(shí)應(yīng)把這類動態(tài)的變化觀察它的變化規(guī)律，找到兩個極端位置，即用特殊法求解范圍.對于在問題或動態(tài)范圍（最值）問題，用定性分析比較難或繁時(shí)，可以引進(jìn)參數(shù)，把動態(tài)問題劃歸為靜.具體地，可通過構(gòu)建方程、函數(shù)或不等式等進(jìn)行定量計(jì)算，以算促證.中，AB，，A，沿對角線BD將△ABD折起到△PBD的位置，使得平面PBD平面BCD，如圖，含端點(diǎn)）的動點(diǎn)，則二面角QBCD的正弦值的若M，N均是線段PD的三等分點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段MN上（包．．12231419,2419,3191132,,ABCD．．219【來源】2021年浙江省新高考測評卷數(shù)學(xué)（第五模擬）【舉一反三】三（理））如圖，在正方體ABCDABCD中，1．（2020·黑龍江牡丹江一中高O是AC中點(diǎn)，點(diǎn)P在線sin所成的角為，則的取值范圍是（）．1111段AC上，若直線OP與平面ABC111133,11321143,,B．C．D．432．（2020·廣東高考模擬）在正方體ABCDABCDADDAE是側(cè)面內(nèi)的動點(diǎn)，且平面11BE//中，11111BDC1BE()，則直線與直線AB所成角的正弦值的最小值是11A．31C．232D．2B．3ABCDEFGR的上底面中心為，點(diǎn)為AH上的動O3.（浙江臺州中學(xué)高三）如圖，已知正方體2020·HPOQRQORPF），為EF的中點(diǎn)，分別記二面角，，點(diǎn)，為FG的三等分點(diǎn)（靠近點(diǎn)PQROPQ的平面角為,,，則（）D．A．B．C．類型二立體幾何中動態(tài)問題中的距離問題【例2】（山西高三）2020·設(shè)點(diǎn)是棱長為的正方體2-MABCDA1B1C1D1的棱AD的中點(diǎn)，點(diǎn)在面PBCCB11若平面分別與平面和平面所成的ABCDBCCB所在的平面內(nèi)，DPM銳二面角相等，則點(diǎn)到點(diǎn)的最PC1111短距離是（）26523SABC中，SASBSC1，且SA、SB、SC兩兩垂直，1．（2020·四川高三（理））已知三棱錐PSABC外接球面上一動點(diǎn)，則P到平面ABC的距離的最大值是（）是三棱錐32343A．B．3C．D．3332．已知四邊形ABCD是邊長為5的菱形，對角線BD8（如圖1），現(xiàn)以AC為折痕將菱形折起，使點(diǎn)B達(dá)到點(diǎn)P的位置棱，PD的中點(diǎn)分別為E，，且四F面體PACD的外接球球心落在四界，如圖2），則線段EF長度的取值范圍為（）.AC面體內(nèi)部（不含邊1414．,4AB1,．22D．14,63,4C．2【來源】3（2020廣西柳州市?？迹﹦t下列結(jié)論錯誤的是（）江西省鷹潭市2021屆高三高考二模數(shù)學(xué)（文）試題如圖，在正方體中，棱長為1，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)（包含線段端點(diǎn)），A．當(dāng)時(shí)，平面B．當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，四棱錐的外接球表面為1111設(shè)PD，PE與底面ABCD所成的0），若11212113C．25D．4【舉一反三】1.（2020·四川高三CCDD內(nèi)（含邊界）的動點(diǎn)，且滿足tanPAD期末）長方體ABCDABCD中，AA2AB2，1，，為該正方體側(cè)面BCP1111122.則四棱錐PABCD體積的取值范tanPBC11圍是（）22332343240,,0,,A．B．C．D．3315中，，AD，點(diǎn)E在線段AB（端點(diǎn)除外）上，現(xiàn)將AB2．如圖，長方形ABCD1ADE沿DE2π的大小為，若折起為ADE．設(shè)ADE，二面角ADEC，則四棱錐ABCDE體2積的最大值為（）1．．．．251151ABCD43128學(xué)校高三）如圖，AD在單位正方體ABCDABCD中，點(diǎn)P在線段上運(yùn)動，111113．（2020·重慶市松樹橋中給出以下四個命題：①②③④異面直線AP與BC間的距離為定值；11111二面角PBCD的大小為定值．1其中真命題有(A．1個)B．2個C．3個D．4個C，D，且ADAB，BC10，AB6，APDCPB，則點(diǎn)在平面內(nèi)的軌跡是（）PA.圓的一部分【舉一反三】B.橢圓的一部分C.一條直線D.兩條直線ABCDABCDBD11．已知正方體的棱長為，，為體對角線的三等分點(diǎn)，動點(diǎn)P在三角形ACB23MN11111263，則點(diǎn)P的軌跡長度為（）內(nèi)，且三角形PMN的面積S△PMN46．46DAπBC．3939AADD2、（2020貴陽高考模擬）在正方體ABCDABCD中，已知點(diǎn)P為平面中的一個動點(diǎn)，且點(diǎn)P111111滿足：直線PC與平面AADD所成的角的大小等于平面PBC與平面AADD所成銳二面角的大小，則點(diǎn)11111P的軌跡為（）A．直線B．橢圓C．圓D．拋物線3LL．幾何中常用表示的測度，當(dāng)L為曲線、平面圖形和空間幾何體時(shí)，分別對應(yīng)其長度、面積和體積．在ABC中，3，ABBC4，AC5，為ABC內(nèi)部一動點(diǎn)（含邊界），在空間中，到點(diǎn)的距離PP1為的點(diǎn)的軌跡為，則等于（）LL1222．20．22D612．126ABC．333【來源】安徽省合肥市2021屆高三下學(xué)期第三次教學(xué)質(zhì)量檢測理科數(shù)學(xué)試題三．強(qiáng)化訓(xùn)練1的正方體ABCDABCD中，M是線段上的動點(diǎn)，則AB11．（2020·內(nèi)蒙古高三期末）如圖，棱長為1111下列結(jié)論正確的是（）．45①異面直線AD與所成的角為CB1②DCDM11MDCC的體積為定值12．1C．③④ABCD﹣E、F分別在棱AA和AB上，且1111112的正方體ABCDABCD中，理））棱長為N為的中點(diǎn)，在底面CCP11111DP與平面ABCD所成角為，NP與平面ABCD所成角為，若，則的1128A．24．已知三棱錐D．13PCAB動點(diǎn)滿足PAPE，，E為BD的中點(diǎn)，均為，空間中的P2的所有棱長11．3．11．D3．ABC1682【來源】浙江省五校2021屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題5.（2020鄭州一中高三期末）在三棱錐中，平面是線段上一動點(diǎn)，線段長度最小值為，則三棱錐的外接球的，M表面積是（）A．B．C．D．6．（2020九江高三一模）在長方體中，，，分別是棱的中點(diǎn)，是底面內(nèi)一動點(diǎn)，若直線與平面沒有公共點(diǎn)，則三角形面積的最小值為（）7．（2020·浙江高三期末）在三棱錐PABC中，PAPBPC2,ABACBC3，點(diǎn)Q為ABCπQ動點(diǎn)，若PQ與PA所成角為定值，，則動點(diǎn)的4D．拋物線(異于點(diǎn)B)是棱上一點(diǎn),則滿足學(xué)高三月考）在正方體ABCDA'B'C'D'中,若點(diǎn)8．（2020·上海格致中PBP與AC所成的角為的點(diǎn)的個數(shù)為（45）PA．0B．3C．4D．69.（2020上海交通大學(xué)附屬中學(xué)高三）如圖，已知三棱錐，平面，是棱上的動點(diǎn)，記與平面所成的角為，與直線所成的角為，則與的大小關(guān)系為（）A．C．B．D．不能確定2學(xué)高三（理））在三棱錐PABC中，PA平面，BAC，，ABCAP310．（2020·湖南長郡中3Q，是邊BC上的一動點(diǎn)，且直線與平面所成角的最大值為，則三棱錐PQABCPABC的AB233外接球的表面積為（）A．45B．57C．63D．843中，底面是以為直角的等腰三角形，且，BD1MBMCM的最小值為（）111A．33B．6C．35D66．【來源】江西省贛州市2021屆高三二模數(shù)學(xué)（理）試題43PAPB3212．在棱長為的正四面體ABCD中，點(diǎn)為ABC所在P平面內(nèi)一動點(diǎn)，且滿足，則PD的最大值為（）210．339．33．2D．ABC【來源】河南省鶴壁市2021屆高三一模數(shù)學(xué)（文）試題過的平面ABCDABCDBC1A1113．在棱長為的正方體中，是線段P上的點(diǎn)，與直線PD垂直，當(dāng)1111截正方體ABCDABCD所得的時(shí)，平面截面面積的最小值是（）1111在線段BC上運(yùn)動P15．46．1．ABCD2．2【來源】北京市朝陽區(qū)2021屆高三一模數(shù)學(xué)試題π所成的角為，為π，則點(diǎn)的PAB上的動點(diǎn)滿足614．如圖，斜線段AB與平面αα斜足．平面BPP4軌跡為（）A．圓B．橢圓C．雙曲線的一部分15．已知正方體ABCDABCDD．拋物線的一部分，上的動點(diǎn)，點(diǎn)ACT在平面AB1的棱N長為，點(diǎn)M，分別為線段內(nèi)，則MTNT的最小值是（）BCCBABDA，點(diǎn)是AB上靠近的三等分點(diǎn)，點(diǎn)是AC上靠近EC的三等分點(diǎn)，沿直線DE將ADE翻折成ADE，所成二面角ADEB的平面角為，則（）A．ADBAECC．ADBAECADBAECB．ADB．AECDABCDABCDBD().中，為線段上動點(diǎn)包括端點(diǎn)則以下結(jié)論正確的為P11117．如圖，棱長為2的長方體111（）PABDABABD中，點(diǎn)到面的距離為定值．三棱錐1P213截得的多邊形的面積為3ABD．過點(diǎn)平行于面的平面被正方體ABCDABCDP1111136,33CPAABD1．直線與面所成角的正弦值的范圍為13PABD的外接球體積為．當(dāng)點(diǎn)和重合時(shí)，三棱錐12DBP1【來源】廣東省普寧市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題．如圖，在棱長為的正方體中，點(diǎn)是平面內(nèi)一個動點(diǎn)，且滿足33P11111DPPB5213，則直線BP與直線AD所成角的取值范圍為（）(參考數(shù)據(jù)：11143sin53,sin37)55．37,90．53,143D．37,127ABC【來源】江西省景德鎮(zhèn)一中2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題ADBC,BC1,AD1．且ABBDACCD2，則19．如圖，在三棱錐DABC中，四面體ABCD的體積的最大值為（）1．42．1235ABCD．24．6【來源】浙江省衢州市五校聯(lián)盟2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題ABCD．如圖，三棱錐的底面在平面內(nèi)，所有棱若三棱錐BCD均相等，E是棱的中點(diǎn)，AC20ABCD繞棱CD旋轉(zhuǎn)，設(shè)直線與平面所成的角為，則cos的取值范圍為（）BED333．0,．0,ABC666【來源】浙江省寧波市慈溪市2020-2021學(xué)年高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題21．（2020·浙江高三期末）在正四面體PABC中，點(diǎn)M是棱PC的中點(diǎn)，點(diǎn)N是線段AB上一動點(diǎn)，132時(shí)，則的取值范圍是__________．，設(shè)異面直線NM與AC所成角為，當(dāng)cosAB且AN322．（2020·江蘇高三（理））如圖所示的正方體是一個三階魔方(由27個全等的棱長為1的小正方體構(gòu)成），正方形ABCD是上底面正中間一個正方形，正方形ABCD是下底面最大的正方形，已知點(diǎn)P是線段AC1111上的動點(diǎn)，點(diǎn)是線段上的動點(diǎn)，則線段長度的最小值為_______．QBDPQ123.如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)為，AB的中點(diǎn)，M點(diǎn)是正方形內(nèi)的動點(diǎn)，若平面