高二數(shù)學(xué)橢圓的離心率5041

高二數(shù)學(xué)橢圓的離心率(1)1.已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，則C的離心率e=_________．2.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d，F(xiàn)到l的距離為d，若d=，則橢圓C的離心率為_________．1223.橢圓為定值，且的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是_________．4.在△ABC中，AB=BC，．若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)5.已知長方形ABCD，AB=4，BC=3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C，則該橢圓的離心率e=_________．C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為_________．6.設(shè)F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．若AB⊥AF2，|AB|：1|AF2|=3：4，則橢圓的離心率為_________．7.已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是_________．8.橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積為ab，則橢圓的離心率為_________．橢圓的離心率（2）A（1，3），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則|PA|+|PB|的最大值為_________．1.已知橢圓內(nèi)有兩點(diǎn)2.橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P滿足|PF|=2|PF2|，則該橢圓離心率的1取值范圍是_________．3.設(shè)A為橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF=θ．（1）|AB|=_________；（2）若θ∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍為_________．22]，則該橢圓離心率e4.從一塊短軸長為2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b，4b的取值范圍是_________．5.已知A，B，P為橢圓+=1（m，n＞0）上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的斜率乘積kPA?kPB=﹣2，則該橢圓的離心率為_________．6.已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于_________．7.已知橢圓的上焦點(diǎn)為F，左、右頂點(diǎn)分別為B，B2，下頂點(diǎn)為A，直線AB2與直線B1F交于1點(diǎn)P，若，則橢圓的離心率為_________．8．如圖，P是橢圓上的一點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的左焦點(diǎn)，且，則點(diǎn)P到該橢圓左準(zhǔn)線的距離為_________．高二數(shù)學(xué)橢圓的離心率參考答案與試題解析一．填空題（共16小題）1．（2013?遼寧）已知橢圓的左焦點(diǎn)為F，C與過原點(diǎn)的直線相交于A，B兩點(diǎn)，連接AF、BF，若|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，則C的離心率e=．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：設(shè)橢圓右焦點(diǎn)為F'，連接AF'、BF'，可得四邊形AFBF'為平行四邊形，得|AF|=|BF'|=6．△ABF中利用余弦定理算出|BF|=8，從而得到|AF|+|BF|=|AB|2，得∠AFB=90°，所以c=|OF|=|AB|=5．根據(jù)橢圓的定義得到222a=|BF|+|BF'|=14，得a=7，最后結(jié)合橢圓的離心率公式即可算出橢圓C的離心率．解答：解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為F'，連接AF'、BF'∵AB與FF'互相平分，∴四邊形AFBF'為平行四邊形，可得|AF|=|BF'|=6∵△ABF中，|AB|=10，|AF|=6，cos∠ABF=，∴由余弦定理|AF|=|AB|+|BF|2﹣2|AB||BF|cos∠ABF，22×可得62=102+|BF|2﹣2×10×|BF|×，解之得|BF|=8由此可得，2a=|BF|+|BF'|=14，得a=7222∵△ABF中，|AF|+|BF|=100=|AB|∴∠AFB=90°，可得|OF|=|AB|=5，即c=5因此，橢圓C的離心率e==故答案為：點(diǎn)評：本題給出橢圓經(jīng)過中心的弦AB與左焦點(diǎn)構(gòu)成三邊分別為6、8、10的直角三角形，求橢圓的離心率．著重考查了橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程、橢圓的簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，于屬中檔題．2．（2013?江蘇）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為（a＞b＞0），右焦點(diǎn)為F，右準(zhǔn)線為l，短軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，設(shè)原點(diǎn)到直線BF的距離為d，F(xiàn)到l的距離為d，若d=，則橢圓C的離心率為．122考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．根據(jù)分析：“d=2”結(jié)合橢圓的半焦距，短半軸，長半軸構(gòu)成直角三角形，再由等面積法可得d=，從而得到a1與b的關(guān)系，可求得，從而求出離心率．解答：解：如圖，準(zhǔn)線l：x=，d2=，由面積法得：d=，1若d2=，則，整理得a2﹣ab﹣=0，2兩邊同除以a，得+（）﹣=0，解得．∴e==．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的幾何性質(zhì)，即通過半焦距，短半軸，長半軸構(gòu)成的直角三角形來考查其離心率，還涉及了等面積法．3．（2012?四川）橢圓為定值，且的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于點(diǎn)A、B，△FAB的周長的最大值是12，則該橢圓的離心率是．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：先畫出圖象，結(jié)合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達(dá)式，進(jìn)而求出何時(shí)周長最大，即可求出橢圓的離心率．解答：解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)E．如圖：由橢圓的定義得：△FAB的周長為：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；∴AB﹣AE﹣BE≤0，當(dāng)AB過點(diǎn)E時(shí)取等號；∴△FAB的周長：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周長的最大值是4a=12?a=3；∴e===．故答案：．點(diǎn)評：本題主要考察橢圓的簡單性質(zhì)．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．4．（2010?資陽三模）在△ABC中，AB=BC，．若以A，B為焦點(diǎn)的橢圓經(jīng)過點(diǎn)C，則該橢圓的離心率e=．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)；橢圓的應(yīng)用．專題：計(jì)算題；壓軸題．分析：設(shè)AB=BC=1，則，由此可知，從而求出該橢圓的離心率．解答：解：設(shè)AB=BC=1，則，∴，答案：．．點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)及應(yīng)用，解題時(shí)要注意的正確選取．5．（2007?福建）已知長方形ABCD，AB=4，BC=3，則以A、B為焦點(diǎn)，且過C、D兩點(diǎn)的橢圓的離心率為．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：壓軸題．分析：由已知c=2，=3?b2=3a?a2﹣4=3a?a=4，由此可以求出該橢圓的離心率．解答：解：∵AB=4，BC=3，A、B為焦點(diǎn)，∴c=2，=3，∴b2=3a，∴a2﹣4=3a∴a=4，∴e=．故答案：．點(diǎn)評：本題考查橢圓的性質(zhì)和應(yīng)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．6．（2013?浙江模擬）設(shè)F，F(xiàn)是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)．若121AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，則橢圓的離心率為．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：由AB⊥AF2，|AB|：|AF2|=3：4，利用橢圓的定義可求得|AF1|=2，從而可得a的值，再由勾股定理可求得2c的值．解答：解：∵F，F(xiàn)是橢圓C+=1（a＞b＞0）的左、右焦點(diǎn)，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，AB⊥AF2，121|AB|：|AF2|=3：4，如圖：∴不妨令|AB|=3，|AF2|=4，再令|AF1|=x，由橢圓的定義得：|AF1|+|AF2|=2a，①|(zhì)BF1|+|BF2|=2a②①+②得：x+4+3﹣x+5=4a，∴a=3，x=2．在Rt△F1F2A中，=+，∴4c2=4+16=20，∴c=．∴橢圓的離心率為e=．故答案為：．點(diǎn)評：本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，突出考查橢圓的定義的應(yīng)用，求得a與c的值是關(guān)鍵，考查轉(zhuǎn)化與運(yùn)算的能力，屬于中檔題．7．（2013?鹽城一模）已知F1、F2分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，點(diǎn)P是橢圓上的任意一點(diǎn)，則的取值范圍是．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：利用橢圓的性質(zhì)：當(dāng)|PF2|=a+c=，時(shí)，即取得最大值，即可得出．解答：解：∵橢圓，∴a=，b=2=c．設(shè)k==，則當(dāng)|PF|=|PF2|時(shí)，k取得最小值0；1當(dāng)|PF2|=a+c=，時(shí)，即時(shí)，k=取得最大值．∴k的取值范圍是．故答案為．點(diǎn)評：熟練掌握橢圓的性質(zhì)：當(dāng)|PF|=a+c=2，時(shí)，則取得最大值是解題的關(guān)鍵．8．（2013?鹽城二模）橢圓（a＞b＞0）的左焦點(diǎn)為F，直線x=m與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，若△FAB的周長最大時(shí)，△FAB的面積為ab，則橢圓的離心率為．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：先畫出圖象，結(jié)合圖象以及橢圓的定義求出△FAB的周長的表達(dá)式，進(jìn)而求出何時(shí)周長最大，即可求出橢圓的離心率．解答：解：設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)E．如圖：：△FAB的周長為：AB+AF+BF=AB+（2a﹣AE）+（2a﹣BE）=4a+AB﹣AE﹣BE；∵AE+BE≥AB；由橢圓的定義得∴AB﹣AE﹣BE≤0，當(dāng)AB過點(diǎn)E時(shí)取∴△FAB的周長：AB+AF+BF=4a+AB﹣AE﹣BE≤4a；∴△FAB的周長的最大值是4a；等號；此時(shí)，△FAB的面積為×2c×=ab，∴a2=2bc，平方得，a4=4（a2﹣c2）c2即4e4﹣4e2+1=0∴e=．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查橢圓的簡單性質(zhì)．在解決涉及到圓錐曲線上的點(diǎn)與焦點(diǎn)之間的關(guān)系的問題中，圓錐曲線的定義往往是解題的突破口．9．（2013?松江區(qū)二模）已知橢圓15．內(nèi)有兩點(diǎn)A（1，3），B（3，0），P為橢圓上一點(diǎn)，則|PA|+|PB|的最大值為考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題；圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程．分析：根據(jù)橢圓的方程，算出它的焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，0）和|PA|+|PB|=|PA|+（2a﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）．再由三角形兩邊之差小于第三邊，得到當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)|PA|+|PB|=10+|AB'|=15達(dá)到最大值，從而得到本題答案．B'（﹣3，0）．因此連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義得P在AB'延長線上時(shí)，解答：解：∵橢圓方程為，∴焦點(diǎn)坐標(biāo)為B（3，0）和連接PB'、AB'，根據(jù)橢圓的定義，得|PA|+|PB|=|PA|+（10﹣|PB'|）=10+（|PA|﹣|PB'|）B'（﹣3，0）|PB|+|PB'|=2a=10，可得|PB|=10﹣|PB'|因此，∵|PA|﹣|PB'|≤|AB'|∴|PA|+|PB|≤10+|AB'|=10+=10+5=15當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)P在AB'延長線上時(shí)，等號成立綜上所述，可得|PA|+|PB|的最大值為15故答案為：15點(diǎn)評：本題給出橢圓內(nèi)部一點(diǎn)A，求橢圓上動(dòng)點(diǎn)P與A點(diǎn)和一個(gè)焦點(diǎn)距離B和的最大值，著重考查了橢圓的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程和簡單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．10．（2012?浙江模擬）橢圓，F(xiàn)1，F(xiàn)2分別是其左、右焦點(diǎn)，若橢圓上存在點(diǎn)P|PF1|=2|PF2|，則橢該圓離心率的取值范圍是[，1）．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：由橢圓的定義可得e（x+）=2?e（﹣x），解得x=，由題意可得﹣a≤≤a，解不等式求得離心率e的取值范圍．解答：解：設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為x，∵|PF|=2|PF2|，則由橢圓的定義可得e（x+）=2?e（﹣x），1∴x=，由題意可得﹣a≤≤a，離心率e的取值范圍是[，1），[，1）∴≤e＜1，則橢該圓的故答案為：點(diǎn)評：本題考查橢圓的定義，以及簡單性質(zhì)的應(yīng)用，由橢圓的定義可得e（x+）=2?e（﹣x），是解題的關(guān)鍵．11．（2012?湘潭模擬）設(shè)A為橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為B，F(xiàn)為橢圓的右焦點(diǎn)，且AF⊥BF，設(shè)∠ABF=θ．（1）|AB|=；（2）若θ∈[，]，則該橢圓離心率的取值范圍為[，]．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：（1）設(shè)A（x，y），B（﹣x，﹣y），F(xiàn)（c，0），由AF⊥BF，可得=0，從而可得x2+y2=c2=a2﹣b2，|AB|=2|AO|，代入可求（2）設(shè)左焦點(diǎn)為F′，根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a，根據(jù)B和A關(guān)于原點(diǎn)對稱可知|BF|=|AF′|，推知|AF|+|BF|=2a，又根據(jù)O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)可知|AB|=2c，在Rt△ABF中用α和c分別表示出|AF|和|BF|代入|AF|+|BF|=2a中即可表示出即離心率e，進(jìn)而根據(jù)α的范圍確定e的范圍．解答：解：（1）設(shè)A（x，y），B（﹣x，﹣y），F(xiàn)（c，0），∵AF⊥BF，∴=c2﹣x2﹣y2=0∴x2+y2=c2=a2﹣b2∴|AB|=2|AO|=（2）∵B和A關(guān)于原點(diǎn)對稱∴B也在橢圓上設(shè)左焦點(diǎn)為F′根據(jù)橢圓定義：|AF|+|AF′|=2a又∵|BF|=|AF′|∴|AF|+|BF|=2a…①O是Rt△ABF的斜邊中點(diǎn)，∴|AB|=2c又|AF|=2csinα|BF|=2ccosα…②…③②③代入①2csinα+2ccosα=2a∴e==∵a∈[π，π]∴π≤α+π≤π∴≤sin（α+π）≤1∴故答案為：2；點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的性質(zhì)的應(yīng)用，向量的基本運(yùn)算性質(zhì)及三角函數(shù)的性質(zhì)的綜合應(yīng)用，解題時(shí)要特別利用好橢圓的定義．12．（2011?江蘇模擬）從一塊短軸長為e的取值范圍是2b的橢圓形玻璃鏡中劃出一塊面積最大的矩形，其面積的取值范圍是[3b，4b2]，2則該橢圓離心率[，]．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：先設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，進(jìn)而可表示出圓的內(nèi)接矩形長和寬，≤≤2≤≤2進(jìn)而表示出該矩形的面積，由3b2ab4b，求得3b2a4b，平方后，利用b=代入求得a和c的不等式關(guān)系，進(jìn)而求得的范圍，即離心率e的范圍．解答：解：設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為+=1，在第一象限內(nèi)取點(diǎn)（x，y），設(shè)x=acosθ，y=bsinθ，（0＜θ＜）則橢圓的內(nèi)接矩形長為2acosθ，寬為2bsinθ，內(nèi)接矩形面積為2acosθ?2bsinθ=2absin2θ≤2ab，2≤≤2由已知得：3b2ab4b，3b≤2a≤4b，2≤2≤平方得：9b4a16b2，9（a2﹣c2）≤4a2≤16（a2﹣c2），5a2≤9c2且12a2≥16c2，∴≤≤即e∈[，]故答案為：[，]點(diǎn)評：本題主要考查了橢圓的簡單性質(zhì)，橢圓的應(yīng)用和橢圓的參數(shù)方程的應(yīng)用．考查了學(xué)生綜合分析問題和基本的運(yùn)算能力．13．已知A，B，P為橢圓+=1（m，n＞0）上不同的三點(diǎn)，且A，B連線經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，若直線PA，PB的率斜乘積kPA?kPB=﹣2，則該橢圓的離心率為．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)根據(jù)雙曲線的對稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)出得直線PA和直線PB的率斜之積，進(jìn)而求得m和n的關(guān)系，進(jìn)而根據(jù)雙曲線的離心率解：根據(jù)雙曲線的對稱性可知A，B關(guān)于原點(diǎn)對稱，設(shè)A（x1，y1），B（﹣x，﹣y），P（x，y），與方程．分析：A，B和P的坐標(biāo)，把A，B點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線方程可求公式即可得出答案．解答：11則﹣=1，有kPA?kPB=﹣=﹣2，∴=2．∴e===．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查了雙曲線的簡單性質(zhì)．涉及了雙曲線的對稱性質(zhì)，考查了學(xué)生對雙曲線基礎(chǔ)知識(shí)的全面掌握．14．（2012?江蘇一模）已知橢圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若△PQM為正三角形，則橢圓的離心率等于．考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)．專題：計(jì)算題．分析：先求出FQ的長，直角三角形FMQ中，由邊角關(guān)系得tan30°=，建立關(guān)于離心率的方程，解方程求出離心率的值．解答：解：由已知得FQ=，MF=，因?yàn)闄E圓的方程為，過橢圓的右焦點(diǎn)且與x軸垂直的直線與橢圓交于P、Q兩點(diǎn)，橢圓的右準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)M，若△PQM為正三角形，所以tan30°=====e