2022-2023學(xué)年江西省九江市德安縣高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年江西省九江市德安縣高二下學(xué)期7月期末數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知全集，集合，則下列關(guān)系正確的是(

)A． B．C． D．【答案】B【分析】首先通過解一元二次不等式求出集合，進(jìn)而判斷選項(xiàng)A是否正確；通過集合間的包含關(guān)系和交運(yùn)算可判斷選項(xiàng)BD；利用補(bǔ)集運(yùn)算可判斷選項(xiàng)C.【詳解】因?yàn)?，解得或，所以或，由元素和集合的關(guān)系可知，，故A錯(cuò)誤；由集合間的包含關(guān)系和交集運(yùn)算可知，B正確，D錯(cuò)誤；由補(bǔ)集運(yùn)算可知，，故C錯(cuò)誤.故選：B.2．若點(diǎn)，在直線l上，則直線l的一個(gè)方向向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由方向向量的概念求解，【詳解】由，l的方向向量與平行，只有選項(xiàng)A滿足題意，故選：A3．已知三條直線，，不能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)的取值集合為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意得到直線與直線和直線分別平行時(shí)或直線過直線和直線的交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形，再分別計(jì)算相應(yīng)的值即可.【詳解】由題知：①當(dāng)直線與直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.②當(dāng)直線與直線平行時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.即.③當(dāng)直線過直線與直線交點(diǎn)時(shí)，三條直線不能構(gòu)成三角形.所以，解得，將代入，解得.所以實(shí)數(shù)的取值集合為.故選：D.4．若是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用等差數(shù)列的求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)可求得結(jié)果.【詳解】由題意可得.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用等差數(shù)列求和公式以及等差中項(xiàng)的性質(zhì)求值，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.5．在等比數(shù)列中，若，則公比（

）A． B． C．2 D．3【答案】C【分析】由題得，化簡即得解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解?故選：C6．已知實(shí)數(shù)，且，則（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】通過構(gòu)造函數(shù)法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)判斷出所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性，由此確定正確答案.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，由，，即，同理，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以，故，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，故．因?yàn)?，故，即，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，，故，從而.故選：D【點(diǎn)睛】本題的求解巧妙的利用了構(gòu)造函數(shù)法，通過構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)性后，可以將要比較大小的三個(gè)數(shù)用函數(shù)的單調(diào)性確定大小關(guān)系.7．近幾年，我國在電動(dòng)汽車領(lǐng)域有了長足的發(fā)展，電動(dòng)汽車的核心技術(shù)是動(dòng)力總成，而動(dòng)力總成的核心技術(shù)是電機(jī)和控制器，我國永磁電機(jī)的技術(shù)已處于國際領(lǐng)先水平.某公司計(jì)劃今年年初用196萬元引進(jìn)一條永磁電機(jī)生產(chǎn)線，第一年需要安裝?人工等費(fèi)用24萬元，從第二年起，包括人工?維修等費(fèi)用每年所需費(fèi)用比上一年增加8萬元，該生產(chǎn)線每年年產(chǎn)值保持在100萬元.則引進(jìn)該生產(chǎn)線后總盈利的最大值為（

）A．204萬元 B．220萬元 C．304萬元 D．320萬元【答案】A【分析】設(shè)引進(jìn)設(shè)備n年后總盈利為萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費(fèi)用，第n年的成本為，構(gòu)成一等差數(shù)列，由等差數(shù)列前公式求得第年總成本，這樣可得總盈利，由二次函數(shù)性質(zhì)可得最大值；【詳解】設(shè)引進(jìn)設(shè)備年后總盈利為萬元，設(shè)除去設(shè)備引進(jìn)費(fèi)用，第年的成本為萬元，則由題意，知為等差數(shù)列，前年成本之和為萬元，故，，所以當(dāng)時(shí)，，即總盈利的最大值為204萬元.故選：A.8．已知函數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】令，則是偶函數(shù)，所以考慮的情況即可，由恒成立，代入時(shí)的解析式并分離參數(shù)，構(gòu)造新的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求得的最大值即可.【詳解】令，，所以是偶函數(shù)，成立，所以考慮的情況即可，當(dāng)時(shí)，，恒成立，即恒成立，分離參數(shù)，即恒成立，令，，則，，，即，解得，，解得，所以在上單調(diào)遞減，，解得，所以在上單調(diào)遞增，所以在處取得極大值即最大值，，又因?yàn)楹愠闪?，所?故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)求最值，考查學(xué)生構(gòu)造函數(shù)和分離參數(shù)的應(yīng)用，同時(shí)還考查學(xué)生分析轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算能力，屬于難題.二、多選題9．直線運(yùn)動(dòng)的物體，從時(shí)刻到時(shí)，物體的位移為，那么關(guān)于的下列說法錯(cuò)誤的是（

）A．從時(shí)刻到時(shí)物體的平均速度B．從時(shí)刻到時(shí)位移的平均變化率C．當(dāng)時(shí)刻為時(shí)該物體的速度D．該物體在時(shí)刻的瞬時(shí)速度【答案】ABC【分析】根據(jù)極限的定、瞬時(shí)速度判斷．【詳解】表示到時(shí)，物體的位移的平均變化率，即速度，而表示時(shí)刻時(shí)的瞬時(shí)速度，只有D正確，ABC均錯(cuò)誤，故選：ABC．10．關(guān)于切線，下列結(jié)論正確的是（

）A．過點(diǎn)且與圓相切的直線方程為B．過點(diǎn)且與拋物線相切的直線方程為C．過點(diǎn)且與曲線相切的直線l的方程為D．曲線在點(diǎn)處的切線方程為【答案】ABD【分析】依次求四個(gè)選項(xiàng)中的切線方程，判斷正誤.【詳解】對(duì)于A，點(diǎn)在圓上，設(shè)切線斜率為，則，所以，切線方程為，即，A正確；對(duì)于B，設(shè)切線斜率為（），切線方程為，與聯(lián)立，得，則，解得，所以切線方程為，即，B正確；對(duì)于C，對(duì)求導(dǎo)得，設(shè)切點(diǎn)為，切線斜率，則，解得，切點(diǎn)為，斜率，所以切線方程為，即，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，對(duì)求導(dǎo)得，點(diǎn)處的切線的斜率，切線方程為，即，D正確.故選：ABD.11．四邊形內(nèi)接于圓，，，，下列結(jié)論正確的有（

）A．四邊形為梯形B．四邊形的面積為C．圓的直徑為7D．的三邊長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列.【答案】ABD【分析】直接利用余弦定理，三角形的面積公式，圓的內(nèi)接四邊形性質(zhì)，和等差數(shù)列的證明對(duì)選項(xiàng)逐一判斷即可.【詳解】+連接，由可得，又因?yàn)?，所以顯然不平行即四邊形為梯形，故正確；在中，=49在中由余弦定理可得解得或（舍去）故B正確在中由余弦定理可得圓的直徑不可能是，故C錯(cuò)誤；在中，，，，滿足的三邊長度可以構(gòu)成一個(gè)等差數(shù)列，故D正確.故選：ABD12．已知函數(shù)，其中且，則下列說法正確的有（

）A．的對(duì)稱中心為B．恰有兩個(gè)零點(diǎn)C．若方程有三個(gè)不等的實(shí)根，則D．若方程的三個(gè)不等實(shí)根分別為，則【答案】ABD【分析】根據(jù)題意得到，可判定A正確；求得，得出函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合極值，可判定B正確；轉(zhuǎn)化為和的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分和時(shí)，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)，得到，進(jìn)而可判定D正確.【詳解】對(duì)于A中，由，可得，所以對(duì)稱中心為，所以A正確；對(duì)于B中，因?yàn)榍?，即，所以，由，令時(shí)，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；所以為極小值點(diǎn)，為極大值點(diǎn)，且，當(dāng)時(shí)；當(dāng)時(shí)，兩種情況下均只有兩個(gè)零點(diǎn)，所以B正確；對(duì)于C中，要使得方程有三個(gè)不等的實(shí)根，即和圖象有三個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，可得，則滿足，當(dāng)時(shí)，可得，則滿足，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D中，由的三個(gè)零點(diǎn)分別為，可設(shè)，即，可得因此，所以D正確.故選：ABD【點(diǎn)睛】方法技巧：對(duì)于利用導(dǎo)數(shù)研究不等式的恒成立與有解問題的求解策略：1、通常要構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，求出最值，從而求出參數(shù)的取值范圍；2、利用可分離變量，構(gòu)造新函數(shù)，直接把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題．3、根據(jù)恒成立或有解求解參數(shù)的取值時(shí)，一般涉及分離參數(shù)法，但壓軸試題中很少碰到分離參數(shù)后構(gòu)造的新函數(shù)能直接求出最值點(diǎn)的情況，進(jìn)行求解，若參變分離不易求解問題，就要考慮利用分類討論法和放縮法，注意恒成立與存在性問題的區(qū)別．三、填空題13．在直線上有不同的兩點(diǎn)，，則的長度為（用k和表示）．【答案】【分析】利用兩點(diǎn)間距離公式推導(dǎo)出結(jié)果.【詳解】.故答案為：14．小王逛書店，他買甲書和買乙書相互獨(dú)立，若小王買甲書不買乙書的概率為，甲和乙兩本書都買的概率為，則小王買乙書的概率為.【答案】/0.75【分析】根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法公式列出方程組即可.【詳解】設(shè)購買甲書的概率為，購買乙書的概率為，則由題意可得解得.故答案為:.15．在區(qū)間上的最大值為.【答案】【解析】先求導(dǎo)，得到函數(shù)的單調(diào)性，從而得到函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上的最大值.【詳解】解：，令得，，令得，或，∴在和上單調(diào)遞增；令得，，∴在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴函數(shù)在上的最大值為.故答案為：.16．已知數(shù)列滿足，下列說法正確的是．①；②都是整數(shù)；③成等差數(shù)列；④．【答案】②③【分析】根據(jù)，直接求得，由遞推公式得，令，則有，從而的出數(shù)列的通項(xiàng)，從而可判斷②③④的對(duì)錯(cuò).【詳解】解：，故①錯(cuò)誤；因?yàn)椋磩t，兩式相減得：，所以，令，則有，又，，所以，所以，又因均為整數(shù)，所以都是整數(shù)，故②正確；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，則為偶數(shù)，為奇數(shù)，，即，即，所以成等差數(shù)列，故③正確；因?yàn)椋援?dāng)為奇數(shù)時(shí)，，所以當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，，故④錯(cuò)誤.故答案為：②③.四、解答題17．在無窮數(shù)列中，，，．(1)若是等差數(shù)列，求的前n項(xiàng)和；(2)若，求的通項(xiàng)公式．【答案】(1)(2)【分析】（1）由已知條件求出公差，從而可求出，（2）由已知可得，解方程組求出，從而可求出【詳解】（1）設(shè)公差為d，則，故．（2）設(shè)，由，，，得，解得故的通項(xiàng)公式為．18．某企業(yè)擁有甲、乙兩條零件生產(chǎn)線，為了解零件質(zhì)量情況，采用隨機(jī)抽樣方法從兩條生產(chǎn)線共抽取200個(gè)零件，測(cè)量其尺寸（單位：）得到如下統(tǒng)計(jì)表，其中尺寸位于的零件為一等品，位于和的零件為二等品，否則零件為三等品．生產(chǎn)線甲49232824102乙716152817152(1)完成列聯(lián)表，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)?zāi)芊裾J(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線有關(guān)聯(lián)？生產(chǎn)線產(chǎn)品等級(jí)合計(jì)一等品非一等品甲乙合計(jì)(2)將樣本頻率視為概率，從甲、乙兩條生產(chǎn)線中分別隨機(jī)抽取2個(gè)零件，每次抽取零件互不影響，以表示這4個(gè)零件中一等品的數(shù)量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；參考公式和數(shù)據(jù)：，【答案】(1)填表見解析；認(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線之間有關(guān)聯(lián)(2)分布列見解析；期望為.【分析】（1）根據(jù)卡方獨(dú)立性檢驗(yàn)可判斷（2）根據(jù)甲、乙兩天生產(chǎn)線的一等品概率，根據(jù)時(shí)間獨(dú)立性，求分布列即可.【詳解】（1）生產(chǎn)線產(chǎn)品等級(jí)合計(jì)一等品非一等品甲7525100乙6040100合計(jì)13565200生產(chǎn)線與產(chǎn)品等級(jí)之間無關(guān)聯(lián)根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們推斷不成立，即認(rèn)為零件為一等品與生產(chǎn)線之間有關(guān)聯(lián)．（2）由已知任取一個(gè)甲生產(chǎn)線零件為一等品的概率為，任取一個(gè)乙生產(chǎn)線零件為一等品的概率為．的所有可能取值為0，1，2，3，4．，，，，，所以的分布列為01234P．19．如圖，在四棱錐中，平面ABCD，底面ABCD為菱形，，.點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱PA，PB，且.(1)求證：；(2)若直線PD與平面CEF所成的角的正弦值為.（i）求點(diǎn)P與到平面CEF的距離；（ii）試確定點(diǎn)E的位置.【答案】(1)證明見解析；(2)(i)；(ii)E為PA的中點(diǎn).【分析】(1)根據(jù)與即可得出；(2)根據(jù)題意可證得、、兩兩垂直，以、、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)()，求出各點(diǎn)和線段的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，利用空間向量的數(shù)量積表示線面角的正弦值，求出a的值，確定點(diǎn)E的位置，結(jié)合等體積法即可求得點(diǎn)到面的距離.【詳解】（1）由題意知，因?yàn)?，所以；?）因?yàn)闉榱庑危?，連接AC，則為正三角形，取AC的中點(diǎn)H，連接AH，則，所以，由平面，平面，所以，，以、、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，由，得，則，有，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，令，則，所以，設(shè)直線PD與平面的夾角為，則，化簡，得，由，得，此時(shí)，即E為PA的中點(diǎn)；有，取AB的中點(diǎn)O，則OF=OE=EF=1，，有平面PAB，所以，而，在中有，所以，所以，由，設(shè)點(diǎn)P到平面的距離為h，則，即，得.(i)點(diǎn)P到平面的距離為；(ii)點(diǎn)E為AP的中點(diǎn).20．已知數(shù)列滿足，且（）.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【分析】（1）對(duì)題中所給式子取倒數(shù)得：，可知數(shù)列是等差數(shù)列，最后得出的通項(xiàng)公式；（2）當(dāng)時(shí)，利用放縮法可得，然后利用裂項(xiàng)相消法可求得的前n項(xiàng)和，進(jìn)而可得，又可得出，從而，最后可證明結(jié)論.【詳解】（1）對(duì)式子取倒數(shù)得：，所以數(shù)列是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列，所以，即；（2）（），故，另一方面：，從而，即，綜上得：.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，考查利用數(shù)列性質(zhì)證明不等式，考查邏輯思維能力和推理能力，屬于?？碱}.21．已知橢圓的左?右焦點(diǎn)分別為，，為橢圓上一點(diǎn)的周長為，最大時(shí)的余弦值為.（1）求橢圓的方程；（2）若和為軸同側(cè)的兩點(diǎn)，且，求四邊形面積的最大值及此時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）面積的最大值，方程為.【分析】（1）的周長為，當(dāng)為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，最大，則，即可求出的方程；（2）設(shè)直線的方程代入橢圓的方程，求出兩根關(guān)系，寫出四邊形的面積的表達(dá)式，結(jié)合均值不等式求得最值及直線方程．【詳解】（1）設(shè)橢圓的焦距為.由橢圓的定義可知.①由橢圓的幾何性質(zhì)可知，當(dāng)為短軸的頂點(diǎn)時(shí)，最大，為，則有.聯(lián)立①②可得，，所以，故橢圓的方程為.（2）因?yàn)?，所?延長，交橢圓于點(diǎn).設(shè)，.由（1）可知，可設(shè)直線的方程為.聯(lián)立消去可得，所以，.由對(duì)稱性可知.設(shè)與間的距離為，則四邊形的面積.令，則.因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，此時(shí)，解得，因此直線的方程為．【點(diǎn)睛】解決直線與橢圓的綜合問題時(shí)，要注意：(1)注意觀察應(yīng)用題設(shè)中的每一個(gè)條件，明確確定直線、橢圓的條件；(2)強(qiáng)化有關(guān)直線與橢圓聯(lián)立得出一元二次方程后的運(yùn)算能