2023-2024學(xué)年人教B版選擇性必修第一冊(cè) 1-2-4　二面角 學(xué)案

1．2.4二面角新課程標(biāo)準(zhǔn)解讀核心素養(yǎng)1.理解二面角的定義直觀(guān)想象2.能用向量方法解決二面角的計(jì)算問(wèn)題，體會(huì)向量方法在研究幾何問(wèn)題中的作用數(shù)學(xué)運(yùn)算同學(xué)們可能經(jīng)常談?wù)撃衬惩瑢W(xué)是白羊座的，某某同學(xué)是雙子座的，可是你知道十二星座的由來(lái)嗎？我們知道，地球繞太陽(yáng)公轉(zhuǎn)的軌道平面稱(chēng)為“黃道面”，黃道面與地球赤道面交角(二面角的平面角)約為23°26′，它與天球相交的大圓為“黃道”，黃道及其附近的南北寬8°以?xún)?nèi)的區(qū)域?yàn)辄S道帶，黃道帶內(nèi)有十二個(gè)星座，稱(chēng)為“黃道十二宮”，從春分(節(jié)氣)點(diǎn)起，每30°便是一宮，并冠以星座名，如白羊座、金牛座、雙子座等等，這便是星座的由來(lái)……[問(wèn)題]你知道二面角是如何定義的嗎？知識(shí)點(diǎn)一二面角1．定義：從一條直線(xiàn)出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形稱(chēng)為二面角，如圖．2．范圍：我們約定，二面角及其平面角的大小不小于0°，不大于180°，而且，兩個(gè)平面相交時(shí)，它們所成角的大小，指的是它們所形成的四個(gè)二面角中，不小于0°且不大于90°的角的大小，平面角是直角的二面角稱(chēng)為直二面角．找二面角的三種方法定義法在棱上取一點(diǎn)，分別在兩平面內(nèi)過(guò)此點(diǎn)引兩條射線(xiàn)與棱垂直，這兩條射線(xiàn)所成的角就是二面角的平面角垂面法已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線(xiàn)時(shí)，過(guò)兩垂線(xiàn)作平面與兩個(gè)半平面的交線(xiàn)所成的角即為二面角的平面角垂線(xiàn)法過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)異于棱上的A點(diǎn)向另一個(gè)平面作垂線(xiàn)，垂足為B，由點(diǎn)B向二面角的棱作垂線(xiàn)，垂足為O，連接AO，則∠AOB為二面角的平面角或其補(bǔ)角，如圖，∠AOB為二面角α-l-β的平面角知識(shí)點(diǎn)二空間向量與二面角如果n1，n2分別是平面α1，α2的一個(gè)法向量，設(shè)α1與α2所成角的大小為θ，則θ＝〈n1，n2〉或θ＝π－〈n1，n2〉，如圖．特別地sinθ＝sin〈n1，n2〉．若二面角α-l-β的兩個(gè)半平面的法向量分別為n1，n2，那么二面角的平面角與兩法向量夾角〈n1，n2〉一定相等嗎？提示：不一定．可能相等，也可能互補(bǔ)．1．在一個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)都和二面角的棱垂直的兩個(gè)向量分別為(0，－1，3)，(2，2，4)，則這個(gè)二面角的余弦值為()A．eq\f(\r(15),6) B．－eq\f(\r(15),6)C．eq\f(\r(15),3) D．eq\f(\r(15),6)或－eq\f(\r(15),6)解析：D∵eq\f(（0，－1，3）·（2，2，4）,\r(1＋9)·\r(4＋4＋16))＝eq\f(\r(15),6)，∴這個(gè)二面角的余弦值為eq\f(\r(15),6)或－eq\f(\r(15),6).2．正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)P，PA⊥平面ABCD，若PA＝AB，則二面角P-CD-A的大小為_(kāi)_______，平面PAD與平面PBC所成的角為_(kāi)_______．答案：45°45°3．在三棱錐P-ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝90°，則二面角B-PA-C的大小為_(kāi)_______．解析：因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC⊥PA，BA⊥PA，所以∠BAC為二面角B-PA-C的平面角，又∠BAC＝90°，所以二面角B-PA-C的大小為90°.答案：90°題型一幾何法求二面角【例1】如圖，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝AC＝AA1＝2，∠BAC＝90°.求二面角A-A1C-B解設(shè)A1C的中點(diǎn)為M，連接BM，AM，因?yàn)锽A1＝BC，AA1＝AC，所以BM⊥A1C，AM⊥A1所以∠AMB是二面角A-A1C-B的平面角由直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，且AB?平面ABC可得AB⊥AA1，由∠BAC＝90°，可得AB⊥AC，且AC∩AA1＝A，所以AB⊥平面ACC1A1又因?yàn)锳M?平面ACC1A1，所以AB⊥AM在Rt△ABM中，AB＝2，AM＝eq\r(2)，可得tan∠AMB＝eq\f(AB,AM)＝eq\r(2)，所以二面角A-A1C-B的正切值為eq\r(2).|通性通法|求二面角大小的步驟(一作二證三求)如圖，空間四邊形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA＝a，對(duì)角線(xiàn)AC＝a，BD＝eq\r(2)a，求二面角A-BD-C的大小．解：如圖，取BD的中點(diǎn)O，分別連接AO，CO，∵AB＝AD，BC＝CD，∴AO⊥BD，CO⊥BD．∴∠AOC為二面角A-BD-C的平面角．∵AB＝AD＝a，BD＝eq\r(2)a，∴AO＝eq\f(\r(2),2)a.∵BC＝CD＝a，BD＝eq\r(2)a，∴OC＝eq\f(\r(2),2)a.在△AOC中，OC＝eq\f(\r(2),2)a，OA＝eq\f(\r(2),2)a，AC＝a，OA2＋OC2＝AC2.∴∠AOC＝90°.即二面角A-BD-C的大小為90°.題型二向量法求二面角【例2】(2021·天津高考節(jié)選)如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)(1)求證D1F∥平面A1EC1(2)求二面角A-A1C1-E的正弦值解(1)以A為原點(diǎn)，AB，AD，AA1分別為x，y，z軸，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則A(0，0，0)，A1(0，0，2)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，C1(2，2，2)，D1(0，2，2)，因?yàn)镋為棱BC的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱CD的中點(diǎn)，所以E(2，1，0)，F(xiàn)(1，2，0)，所以eq\o(D1F,\s\up6(―→))＝(1，0，－2)，eq\o(A1C1,\s\up6(―→))＝(2，2，0)，eq\o(A1E,\s\up6(―→))＝(2，1，－2)，設(shè)平面A1EC1的一個(gè)法向量為m＝(x1，y1，z1)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(m·\o(A1C1,\s\up6(―→))＝2x1＋2y1＝0，,m·\o(A1E,\s\up6(―→))＝2x1＋y1－2z1＝0，))令x1＝2，則m＝(2，－2，1)，因?yàn)閑q\o(D1F,\s\up6(―→))·m＝2－2＝0，所以eq\o(D1F,\s\up6(―→))⊥m，因?yàn)镈1F?平面A1EC1，所以D1F∥平面A1EC(2)由正方體的特征可得，平面AA1C1的一個(gè)法向量為eq\o(DB,\s\up6(―→))＝(2，－2，0)，則cos〈eq\o(DB,\s\up6(―→))，m〉＝eq\f(\o(DB,\s\up6(―→))·m,|\o(DB,\s\up6(―→))|·|m|)＝eq\f(8,3×2\r(2))＝eq\f(2\r(2),3)，所以二面角A-A1C1-E的正弦值為eq\r(1－cos2〈\o(DB,\s\up6(―→))，m〉)＝eq\f(1,3).|通性通法|向量法求二面角的三個(gè)步驟(1)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，寫(xiě)出相應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求出兩個(gè)半平面的法向量n1，n2；(3)設(shè)兩平面的夾角為θ，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|.[注意](1)若要求的是二面角，則根據(jù)圖形判斷該二面角是鈍角還是銳角，從而用法向量求解；(2)要注意兩平面所成的角與二面角的區(qū)別．1.如圖，點(diǎn)A，B，C分別在空間直角坐標(biāo)系O-xyz的三條坐標(biāo)軸上，eq\o(OC,\s\up6(―→))＝(0，0，2)，eq\o(OA,\s\up6(―→))＝(1，0，0)，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝(0，2，0)，設(shè)二面角C-AB-O的大小為θ，則cosθ＝()A．eq\f(\r(6),3) B．eq\f(\r(6),6)C．eq\f(\r(2),4) D．eq\f(\r(3),4)解析：B因?yàn)閑q\o(OC,\s\up6(―→))＝(0，0，2)，eq\o(OA,\s\up6(―→))＝(1，0，0)，eq\o(OB,\s\up6(―→))＝(0，2，0)，所以eq\o(AB,\s\up6(―→))＝(－1，2，0)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－1，0，2)，設(shè)平面ABC的法向量為n＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\o(AC,\s\up6(―→))·n＝0，,\o(AB,\s\up6(―→))·n＝0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋2z＝0，,－x＋2y＝0，))取n＝(2，1，1)，又因?yàn)槠矫鍭BO的法向量為eq\o(OC,\s\up6(―→))＝(0，0，2)，所以cosθ＝eq\f(\o(OC,\s\up6(―→))·n,|\o(OC,\s\up6(―→))||n|)＝eq\f(2,2×\r(6))＝eq\f(\r(6),6)，故選B．2．在正三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱長(zhǎng)都相等，E為BB1的中點(diǎn)，則二面角E-AC-B的大小為_(kāi)_______解析：設(shè)正三棱柱的棱長(zhǎng)為2，以AC的中點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA，OB所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，AC的垂直平分線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則A(1，0，0)，C(－1，0，0)，B(0，eq\r(3)，0)，E(0，eq\r(3)，1)，eq\o(AC,\s\up6(―→))＝(－2，0，0)，eq\o(AE,\s\up6(―→))＝(－1，eq\r(3)，1)．設(shè)平面AEC的法向量為n1＝(x，y，z)，則eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n1·\o(AC,\s\up6(―→))＝－2x＝0，,n1·\o(AE,\s\up6(―→))＝－x＋\r(3)y＋z＝0，))令z＝eq\r(3)，得n1＝(0，－1，eq\r(3))．平面ABC的一個(gè)法向量為n2＝(0，0，1)，則cos〈n1，n2〉＝eq\f(n1·n2,|n1|·|n2|)＝eq\f(\r(3),2).所以〈n1，n2〉＝eq\f(π,6)，故二面角E-AC-B的大小為eq\f(π,6).答案：eq\f(π,6)立體幾何中的翻折問(wèn)題如圖，把正方形紙片ABCD沿對(duì)角線(xiàn)AC折成直二面角，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，O是原正方形ABCD的中心，求折紙后∠EOF的大小．此問(wèn)題涉及到平面圖形的翻折問(wèn)題，求解平面圖形翻折成立體圖形有以下規(guī)律：確定翻折前后變與不變的關(guān)系畫(huà)好翻折前后的平面圖形與立體圖形，分清翻折前后圖形的位置和數(shù)量關(guān)系的變與不變．一般地，位于“折痕”同側(cè)的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置和數(shù)量關(guān)系不變，而位于“折痕”兩側(cè)的點(diǎn)、線(xiàn)、面之間的位置關(guān)系會(huì)發(fā)生變化；對(duì)于不變的關(guān)系應(yīng)在平面圖形中處理，而對(duì)于變化的關(guān)系則要在立體圖形中解決確定翻折后關(guān)鍵點(diǎn)的位置所謂的關(guān)鍵點(diǎn)，是指翻折過(guò)程中運(yùn)動(dòng)變化的點(diǎn)．因?yàn)檫@些點(diǎn)的位置移動(dòng)，會(huì)帶動(dòng)與其相關(guān)的其他的點(diǎn)、線(xiàn)、面的關(guān)系變化，以及其他點(diǎn)、線(xiàn)、面之間位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系的變化．只有分析清楚關(guān)鍵點(diǎn)的準(zhǔn)確位置，才能以此為參照點(diǎn)，確定其他點(diǎn)、線(xiàn)、面的位置，進(jìn)而進(jìn)行有關(guān)的證明與計(jì)算1．寫(xiě)出上述問(wèn)題的解答．解：如圖，以O(shè)B，OC，OD所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz.設(shè)原正方形的邊長(zhǎng)為1，則Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)))，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),4)，\f(\r(2),4)，0))，cos〈eq\o(OE,\s\up6(―→))，eq\o(OF,\s\up6(―→))〉＝eq\f(\o(OE,\s\up6(―→))·\o(OF,\s\up6(―→)),|\o(OE,\s\up6(―→))||\o(OF,\s\up6(―→))|)＝－eq\f(\f(1,8),\f(1,2)×\f(1,2))＝－eq\f(1,2)，∴∠EOF＝120°.2．如圖①，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB⊥BC，CD＝2AB＝2BC＝4，過(guò)A點(diǎn)作AE⊥CD，垂足為E，現(xiàn)將△ADE沿AE折疊，使得DE⊥EC．取AD的中點(diǎn)F，連接BF，CF，EF，如圖②.(1)求證：BC⊥平面DEC；(2)求二面角C-BF-E的余弦值．解：(1)證明：∵DE⊥EC，DE⊥AE，AE∩EC＝E，∴DE⊥平面ABCE，又∵BC?平面ABCE，∴DE⊥BC，又∵BC⊥EC，DE∩EC＝E，∴BC⊥平面DEC．(2)如圖，以點(diǎn)E為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以EA，EC，ED所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間坐標(biāo)系Exyz，∴E(0，0，0)，C(0，2，0)，B(2，2，0)，D(0，0，2)，A(2，0，0)，F(xiàn)(1，0，1)，設(shè)平面EFB的法向量n1＝(x1，y1，z1)，由eq\o(EF,\s\up6(―→))＝(1，0，1)，eq\o(EB,\s\up6(―→))＝(2，2，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x1＋z1＝0，,2x1＋2y1＝0，))∴取x1＝1，得平面EFB的一個(gè)法向量n1＝(1，－1，－1)，設(shè)平面BCF的一個(gè)法向量為n2＝(x2，y2，z2)，由eq\o(CF,\s\up6(―→))＝(1，－2，1)，eq\o(CB,\s\up6(―→))＝(2，0，0)，∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＝0，,x2－2y2＋z2＝0，))取y2＝1，得平面BCF的一個(gè)法向量n2＝(0，1，2)，設(shè)二面角C-BF-E的大小為α，由圖可知，α為銳角，則cosα＝eq\f(|n1·n2|,|n1|·|n2|)＝eq\f(|－1－2|,\r(5)×\r(3))＝eq\f(\r(15),5).故二面角C-BF-E的余弦值為eq\f(\r(15),5).1．三棱錐A-BCD中，平面ABD與平面BCD的法向量分別為n1，n2，若〈n1，n2〉＝eq\f(π,3)，則二面角A-BD-C的大小為()A．eq\f(π,3) B．eq\f(2π,3)C．eq\f(π,3)或eq\f(2π,3) D．eq\f(π,6)或eq\f(π,3)解析：C當(dāng)二面角A-BD-C為銳角時(shí)，它等于〈n1，n2〉＝eq\f(π,3).當(dāng)二面角A-BD-C為鈍角時(shí)，它等于π－〈n1，n2〉＝π－eq\f(π,3)＝eq\f(2π,3).2.如圖，AB是圓的直徑，PA⊥AC，PA⊥BC，C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)，且PA＝AC，則二面角P-BC-A的平面角為()A．∠PAC B．∠CPAC．∠PCA D．∠CAB解析：C∵C是圓上一點(diǎn)(不同于A，B)，AB是圓的直徑，∴AC⊥BC，PA⊥BC，AC∩PA＝A，即BC⊥面PAC，而PC?面PAC，∴BC⊥PC，又面ABC∩面PBC＝BC，PC∩AC＝C，∴由二面角的定義∠PCA為二面角P-BC-A的平面角．故選C．3.在正四面體A-BCD中，二面角A-CD-B的平面角的余弦值為()A．eq\f(1,2) B．eq\f(1,3)C．eq\f(\r(3),3) D．eq\f(\r(2),3)解析：B由A-BCD為正四面體知：記E為CD中點(diǎn)，連接AE，BE，則AE⊥CD，BE⊥CD而AE∩BE＝E，∴CD⊥面ABE，即有∠AEB為二面角A-CD-B的平面角，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為1，即AE＝BE＝eq\f(\r(3),2)，AB＝1，∴在△ABE中，作AH⊥BE于H，則cos∠AEB＝eq\f(HE,AE)，而AB2－BH2＝AE2－HE2且BH＝BE－HE，可得HE＝eq\f(\r(3),6)，∴cos∠AEB＝eq\f(1,3).故選B．4．(多選)在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB＝AD＝2，AA1＝3，以D為原點(diǎn)，eq\o(DC,\s\up6(―→))，eq\o(DA,\s\up6(―→))，eq\o(DD1,\s\up6(―→))的方向分別為x軸，y軸，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則下列說(shuō)法正確的是()A．B1的坐標(biāo)為(2，2，3)B．eq\o(BC1,\s\up6(―→))＝(－2，