中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿分突破（全國通用）：專題01 有理數(shù)（解析版）

專題01有理數(shù)【題型匯總】【知識要點】知識點一有理數(shù)基礎(chǔ)概念有理數(shù)正數(shù)：大于0的數(shù)叫做正數(shù)。根據(jù)需要，有時在正數(shù)前面加上正號“+”，但是正數(shù)前面的正號“+”，一般省略不寫。負(fù)數(shù)：正數(shù)前面加上符號“-”的數(shù)叫負(fù)數(shù)。負(fù)數(shù)前面的負(fù)號“-”不能省略?！疽族e點】1）0既不是正數(shù)，也不是負(fù)數(shù)，也可以說0是正數(shù)和負(fù)數(shù)的分界線。2）-a可能是正數(shù)、負(fù)數(shù)或0。(①當(dāng)a是正數(shù)時，-a是負(fù)數(shù)；②當(dāng)a是負(fù)數(shù)時，-a是正數(shù)；③當(dāng)a=0時，-a=0，0不分正負(fù)。)3）正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。若用正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)就表示與其相反的量，反之亦然。常見的表示相反意義的量（舉例）：上升與下降，增長與減小等?！救绾闻袛嘁唤M詞是否具有相反意義的量】解題的關(guān)鍵是理解“正”和“負(fù)”的相對性，明確什么是一對具有相反意義的量．在一對具有相反意義的量中，先規(guī)定其中一個為正，則另一個就用負(fù)表示．熱考題型一理解正數(shù)與負(fù)數(shù)【解題思路】1）大于0的數(shù)叫做正數(shù)。小于0的數(shù)叫做負(fù)數(shù)。2）正數(shù)和負(fù)數(shù)表示具有相反意義的量。若用正數(shù)表示某種意義的量，則負(fù)數(shù)就表示與其相反的量，反之亦然。典例1．（2022·云南·中考真題）中國是最早采用正負(fù)數(shù)表示相反意義的量，并進(jìn)行負(fù)數(shù)運算的國家．若零上10℃記作+10℃，則零下10℃可記作（

）A．10℃ B．0℃ C．-10℃ D．-20℃【詳解】解：若零上10°C記作+10°C，則零下10°C變式1-1．（2022·四川·巴中市教育科學(xué)研究所中考真題）下列各數(shù)是負(fù)數(shù)的是（

）A．(?1)2 B．|?3| C．?(?5) D．【詳解】解：(?1)2|?3|=3，是正數(shù)，故B選項不符合題意；?(?5)=5，是正數(shù)，故C選項不符合題意；3?8變式1-2．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）“五月天山雪，無花只有寒”，反映出地形對氣溫的影響．大致海拔每升高100米，氣溫約下降0.6°C．有一座海拔為2350米的山，在這座山上海拔為350米的地方測得氣溫是6°C，則此時山頂?shù)臍鉁丶s為_________【詳解】解：山頂?shù)臍鉁丶s為6?2350?350有理數(shù)的分類：【易錯點】1）有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)可以轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)，因此有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)。（例：0.53、1.333333….等）2）無限不循環(huán)小數(shù)不能化成分?jǐn)?shù)，因此無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)。(例如：π)3）對非負(fù)整數(shù)、非正整數(shù)、非負(fù)數(shù)、非正數(shù)分類時遺漏0。4）最小的正整數(shù)_____1_______。最大的負(fù)整數(shù)______-1______。最小的自然數(shù)______0______。熱考題型二理解有理數(shù)【解題思路】理解有理數(shù)的定義，熟練掌握與正確理解有理數(shù)的分類是解題的關(guān)鍵。典例2．（2021·廣西來賓·中考真題）下列各數(shù)是有理數(shù)的是（）A． B． C． D．【詳解】解：四個選項的數(shù)中：，，是無理數(shù)，0是有理數(shù)，故選項D符合題意．故選：D．變式2-1．（2021·山東省諸城市三模）若，那么實數(shù)一定是（）A．負(fù)數(shù) B．正數(shù) C．零 D．非正數(shù)【詳解】解：由x＋|x|＝0得，|x|＝?x，

∵負(fù)數(shù)或零的絕對值等于它的相反數(shù)，∴x一定是負(fù)數(shù)或零，即非正數(shù)．故選：D．變式2-2．（2019·湖北咸寧·中考真題）下列關(guān)于的說法正確的是（）A．是正數(shù) B．是負(fù)數(shù) C．是有理數(shù) D．是無理數(shù)【詳解】既不是正數(shù)也不是負(fù)數(shù)，是有理數(shù)．故選C變式2-3．（2019·四川樂山·中考真題）一定是（）A．正數(shù) B．負(fù)數(shù) C． D．以上選項都不正確【詳解】∵a可正、可負(fù)、也可能是0∴選D.【名師點撥】本題考查有理數(shù)的分類，解本題的關(guān)鍵是掌握a不確定正負(fù)性，-a就無法確定.數(shù)軸概念：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線叫做數(shù)軸。數(shù)軸的三要素：原點、正方向、單位長度。畫數(shù)軸步驟：畫直線-取原點-規(guī)定正方向-單位長度。【易錯點】1）數(shù)軸是一條可向兩段無限延伸直線。2）數(shù)軸的三要素缺一不可。3）同一數(shù)軸上的單位長度要統(tǒng)一。4）在數(shù)軸上原點，正方向的選取（通常規(guī)定向右方向），單位長度的大小需根據(jù)實際情況而定。5）任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理數(shù)，所以有理數(shù)與數(shù)軸上的點不是一一對應(yīng)的，實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。利用數(shù)軸比較兩個數(shù)大?。阂罁?jù)：數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù).方法：在數(shù)軸上表示的兩個數(shù)，右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大。熱考題型三用數(shù)軸上的點表示有理數(shù)【解題思路】任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù)。典例3．（2022·內(nèi)蒙古鄂爾多斯·中考真題）如圖，數(shù)軸上點A表示的數(shù)的相反數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣12 C．2 【詳解】解：點A表示的數(shù)為﹣2，﹣2的相反數(shù)為2，故選：C．變式3-1．（2022·廣西玉林·中考真題）若x是非負(fù)整數(shù)，則表示2xx+2?xA．① B．② C．③ D．①或②【詳解】解：2xx+2?x2?4變式3-2．（2022·山東臨沂·中考真題）如圖，A，B位于數(shù)軸上原點兩側(cè)，且OB=2OA．若點B表示的數(shù)是6，則點A表示的數(shù)是（

）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5【詳解】解：由題意可得：點B表示的數(shù)是6，且B在原點的右側(cè)，∴∵OB=2OA，∴OA=3,∵A變式3-3．（2020·江蘇鹽城·中考真題）實數(shù)在數(shù)軸上表示的位置如圖所示，則（）A． B． C． D．【詳解】由圖可得，故選C．變式3-4．（2020·北京·中考真題）實數(shù)在數(shù)軸上的對應(yīng)點的位置如圖所示．若實數(shù)滿足，則的值可以是（）A．2 B．-1 C．-2 D．-3【詳解】由數(shù)軸的定義得：又到原點的距離一定小于2，觀察四個選項，只有選項B符合故選：B．變式3-5．（2020·內(nèi)蒙古·中考真題）點A在數(shù)軸上，點A所對應(yīng)的數(shù)用表示，且點A到原點的距離等于3，則a的值為（）A．或1 B．或2 C． D．1【詳解】解：由題意得：|2a+1|=3當(dāng)2a+1＞0時，有2a+1=3，解得a=1當(dāng)2a+1＜0時，有2a+1=-3，解得a=-2所以a的值為1或-2．故答案為A．【名師點撥】本題考查了絕對值的幾何意義，根據(jù)絕對值的幾何意義列出絕對值方程并求解是解答本題的關(guān)鍵．熱考題型四根據(jù)點在數(shù)軸的位置判斷式子正負(fù)【解題思路】數(shù)軸上的點表示的數(shù)從左到右依次增大；原點左邊的數(shù)是負(fù)數(shù)，原點右邊的數(shù)是正數(shù)。典例4．（2022·寧夏·中考真題）已知實數(shù)a，b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則aaA．?2 B．?1 C．0 D．2【詳解】解：由數(shù)軸上點的位置可得a<0，b>0，∴故選：C．變式4-1．（2022·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，數(shù)軸上的兩點A、B對應(yīng)的實數(shù)分別是a、b，則下列式子中成立的是（）A．1﹣2a＞1﹣2b B．﹣a＜﹣b C．a(chǎn)+b＜0 D．|a|﹣|b|＞0【詳解】解：由題意得：a＜b，∴﹣2a＞﹣2b，∴1﹣2a＞1﹣2b，∴A選項的結(jié)論成立；∵a＜b，∴﹣a＞﹣b，∴B選項的結(jié)論不成立；∵﹣2＜a＜﹣1，2＜b＜3，∴1<a<2，2<b<3∴a<b，∴a+b＞0，∴∴D選項的結(jié)論不成立．故選：A．變式4-2．（2022·內(nèi)蒙古內(nèi)蒙古·中考真題）實數(shù)a在數(shù)軸上的對應(yīng)位置如圖所示，則a2+1+|a?1|的化簡結(jié)果是（A．1 B．2 C．2a D．1﹣2a【詳解】解∶∵根據(jù)數(shù)軸得∶0<a<1，∴a>0，a-1<0，∴原式=|a|+1+1-a=a+1+1-a=2．故選∶B．變式4-3．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·中考真題）如圖，數(shù)軸上的點A和點B分別在原點的左側(cè)和右側(cè)，點A、B對應(yīng)的實數(shù)分別是a、b，下列結(jié)論一定成立的是（

）A．a(chǎn)+b<0 B．b?a<0 C．2a>2b D．a(chǎn)+2<b+2【詳解】解：由題意得：a＜0＜b，且a＜b，∴a+b>0b?a>02a<2ba+2<b+2故選：D．相反數(shù)概念：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。（絕對值相等，符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)）【注意事項】1）特別注意，0的相反數(shù)是0。2）相反數(shù)是成對出現(xiàn)的，不能單獨存在，并且這兩個數(shù)除符號不同以外數(shù)字完全相同。意義：任何一個數(shù)都有且只有一個相反數(shù)。（正數(shù)的相反數(shù)一定是負(fù)數(shù)；負(fù)數(shù)的相反數(shù)一定是正數(shù)；0的相反數(shù)仍是0.）幾何意義：互為相反數(shù)的兩個數(shù)在數(shù)軸上對應(yīng)的兩個點到原點的的距離相等且位于原點的兩側(cè)；反之，位于原點兩側(cè)且到原點距離相等的點所表示的兩個數(shù)互為相反數(shù)。表示方法：通常一個數(shù)a的相反數(shù)可以表示為-a?！咀⒁馐马棥?）通常a與-a互為相反數(shù)；2）a表示任意一個數(shù)，可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)，也可以是0；3）一個數(shù)的前面加上“-”號表示這個數(shù)的相反數(shù)。4）解題關(guān)鍵，若兩個數(shù)互為相反數(shù)，則它們的和為0。5）相反數(shù)等于它本身的數(shù)只有0。多重符號化簡：當(dāng)“-”號的個數(shù)為偶數(shù)時，化簡結(jié)果為正；當(dāng)“-”號個數(shù)為奇數(shù)時，化簡結(jié)果為負(fù)。熱考題型五相反數(shù)的判定【解題思路】理解相反數(shù)的概念。典例5．（2022·河南·中考真題）?1A．?2 B．2 C．?12 【詳解】解：因為-12+12＝0，所以-12變式5-1．（2022·湖北宜昌·中考真題）下列說法正確的個數(shù)是（

）①－2022的相反數(shù)是2022；②－2022的絕對值是2022；③12022A．3 B．2 C．1 D．0【詳解】①－2022的相反數(shù)是2022，故此說法正確；②－2022的絕對值是2022，故此說法正確；③12022正確的個數(shù)共3個；故選：A．變式5-2．（2022·內(nèi)蒙古包頭·中考真題）若a，b互為相反數(shù)，c的倒數(shù)是4，則3a+3b?4c的值為（

）A．?8 B．?5 C．?1 D．16【詳解】∵a，b互為相反數(shù)，∴a+b=0，∵c的倒數(shù)是4，∴c=14，∴變式5-3．（2022·湖南湘潭·中考真題）如圖，點A、B表示的實數(shù)互為相反數(shù)，則點B表示的實數(shù)是（

）A．2 B．－2 C．12 D．【詳解】解：因為數(shù)軸上兩點A，B表示的數(shù)互為相反數(shù)，點A表示的數(shù)是-2，所以點B表示的數(shù)是2，故選：A．變式5-4．（2022·湖北荊州·中考真題）實數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖，其中有一對互為相反數(shù)，它們是（

）A．a(chǎn)與d B．b與d C．c與d D．a(chǎn)與c【詳解】解：∵c,d絕對值概念：一般數(shù)軸上表示a的數(shù)與原點之間的距離叫做數(shù)a的絕對值，記作|a|，讀作“a的絕對值”。幾何意義：一個數(shù)的絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的的距離，離原點的距離越遠(yuǎn)，絕對值越大；離原點的距離越近，絕對值越小。代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它本身；負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。絕對值的表示方法：【擴展】1）非負(fù)數(shù)的絕對值等于他本身，即a≥0?|a|=a。2）非正數(shù)的絕對值等于它本身的相反數(shù)，即a≤0?|a|=-a。3)一個數(shù)的絕對值不可能為負(fù)數(shù)。4)一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)。性質(zhì)（解題思路）：1）任何一個數(shù)的絕對值總是正數(shù)或零（非負(fù)性），即：|a|≥0。2）0的絕對值是0，即：a=0?|a|=0。（擴展：絕對值最小的數(shù)是0）3）互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等，即：a+b=0或a=-b?|a|=|b|。4）絕對值相等的兩個數(shù)相等或互為相反數(shù)，即：|a|=|b|?a=b或a=-b。5）絕對值等于同一個整數(shù)的數(shù)有兩個，它們互為相反數(shù)，即：|x|=a?x=±a。6）若幾個數(shù)的絕對值的和為0，則這幾個數(shù)分別為0，即：|a|+|b|+|c|+...+|m|=0?a=b=c=...=m=0。7）若aa=1，則a>0,若aa利用絕對值比較兩個有理數(shù)的方法：1）兩個負(fù)數(shù)比較，絕對值大的反而小。2）兩個正數(shù)比較，絕對值大數(shù)越大。對含有字母的絕對值化簡求值（重點難點）：步驟：1）首先判斷這個數(shù)是正數(shù)、負(fù)數(shù)還是0.2）再根據(jù)絕對值的意義判斷去掉絕對值的符號。例1：化簡|x-4|第一步：取0點：令x-4=0，得x=4；第二步：取范圍：x≤4和x?4或x?4和x≥4；第三步：在各范圍內(nèi)化簡：②當(dāng)x≤4時，x-4≤0，∴|x-4|=-(x-4)=-x+4③當(dāng)x?4時，x-4?0，∴|x-4|=x-4.例2：求|x﹣1|+|x+2|的最小值解：由|x﹣1|+|x+2|的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)x的點到表示數(shù)1和﹣2兩點的距離的和，∵要使和最小，則表示數(shù)x的這點必在﹣2和1之間（包括這兩個端點）取值?！鄚x﹣1|+|x+2|的最小值是3熱考題型六求一個數(shù)的絕對值【解題思路】一個正數(shù)的絕對值是它本身；一個負(fù)數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。典例6．（2022·廣東·中考真題）|?2A．2 B．?12 C．1【詳解】根據(jù)數(shù)軸上某個點與原點的距離叫做這個點表示的數(shù)的絕對值的定義，在數(shù)軸上，點﹣2到原點的距離是2，所以|?2變式6-1．（2022·遼寧錦州·中考真題）﹣2022的絕對值是（）A．12022 B．?12022 【詳解】解：?2022的絕對值是2022，故選：C．變式6-2．（2022·四川南充·中考真題）下列計算結(jié)果為5的是（

）A．?(+5) B．+(?5) C．?(?5) D．?|?5|【詳解】解：A、-（+5）=-5，不符合題意；B、+（-5）=-5，不符合題意；C、-(-5)=5，符合題意；D、??5故選：C．變式6-3．（2022·浙江衢州·中考真題）計算結(jié)果等于2的是（

）A．?2 B．?2 C．2?1 【詳解】解：A、?2=2B、?2C、2?1D、?20故選：A．變式6-4．（2022·江蘇泰州·中考真題）若x=?3，則x的值為__________.【詳解】解：由題意可知：當(dāng)x=?3時，x=?3熱考題型七絕對值非負(fù)性的應(yīng)用【解題思路】一般地，幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個非負(fù)數(shù)都為零。典例7．（2022·四川瀘州·中考真題）若(a?2)【詳解】∵(a?2)2+|b+3|=0，∴a∴a=2，b=?3，∴ab變式7-1．（2022·廣西賀州·中考真題）若實數(shù)m，n滿足∣m?n?5∣+【詳解】解：由題意知，m，n滿足∣m∴m-n-5=0，2m+n?4=0，∴m=3，n=-2，∴3m故答案為：7．變式7-2．（2022·貴州黔東南·中考真題）若2x+y?52+x+2y+4【詳解】∵2x+∴2x+y?5=0x變式7-3．（2021·廣東·中考真題）若，則（）A． B． C． D．9【詳解】∵，，且∴，即，且∴，∴故選：B．【名師點撥】本題考查了絕對值和算術(shù)平方根的非負(fù)性，一般地，幾個非負(fù)數(shù)的和為零，則這幾個非負(fù)數(shù)都為零．變式7-3．（2021·黑龍江大慶·中考真題）下列說法正確的是（）A． B．若取最小值，則C．若，則 D．若，則【答案】D【詳解】解：A．當(dāng)時，，故該項錯誤；B．∵，∴當(dāng)時取最小值，故該項錯誤；C．∵，∴，，∴，故該項錯誤；D．∵且，∴，∴，故該項正確；故選：D．【名師點撥】本題考查絕對值，掌握絕對值的定義和絕對值的非負(fù)性是解題的關(guān)鍵．熱考題型八比較有理數(shù)大小【解題思路】熟知有理數(shù)的比較大小的法則是解答的關(guān)鍵。典例8．（2022·湖南郴州·中考真題）有理數(shù)?2，?12，0，32A．?2 B．?12 C．0 【詳解】?2=2，?12∵0＜12＜變式8-1．（2022·江蘇蘇州·中考真題）下列實數(shù)中，比3大的數(shù)是（

）A．5 B．1 C．0 D．－2【詳解】解：因為－2＜0＜1＜3＜5，所以比3大的數(shù)是5，故選：A．變式8-2（2022·四川南充·中考真題）比較大?。??2_______________3【詳解】解：2?2=14，30=1，變式8-3．（2022·江蘇泰州·中考真題）已知a=2m2?mn,b=mn?2【詳解】解：由題意可知：a?∵m≠∴(m∴b<a?c=(2m2?mn∴(∴c<c?b=(故答案為：b<變式8-4．（2021·浙江金華·中考真題）某超市出售一商品，有如下四種在原標(biāo)價基礎(chǔ)上調(diào)價的方案，其中調(diào)價后售價最低的是（）A．先打九五折，再打九五折 B．先提價，再打六折C．先提價，再降價 D．先提價，再降價【詳解】設(shè)原件為x元，∵先打九五折，再打九五折，∴調(diào)價后的價格為0.95x×0.95=0.9025x元，∵先提價，再打六折，∴調(diào)價后的價格為1.5x×0.6=0.90x元，∵先提價，再降價，∴調(diào)價后的價格為1.3x×0.7=0.91x元，∵先提價，再降價，∴調(diào)價后的價格為1.25x×0.75=0.9375x元，∵0.90x＜0.9025x＜0.91x＜0.9375x故選B知識點二有理數(shù)四則運算有理數(shù)的加法有理數(shù)的加法法則：（步驟：先確定符號，再確定絕對值，然后進(jìn)行計算）1)同號兩數(shù)相加，取相同的符號，并把絕對值相加；若a>0,b>0,則a+b=+|a|+|b|；若a<0,b<0,則a+b=?2)異號兩數(shù)相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數(shù)的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值；若a>0,b<0,且|a|>|b|,則a+b=+若a>0,b<0,且|a|<|b|,則a+b=+3)互為相反數(shù)的兩個數(shù)相加得0；（如果兩個數(shù)的和為0，那么這兩個數(shù)互為相反數(shù)）若a>0,b<0,且|a|=|b|,則a+b=04)一個數(shù)同0相加，仍得這個數(shù)。a+0=a有理數(shù)的加法運算律：1）加法交換律：兩個數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，和不變。即a+b=b+a；2）加法結(jié)合律：三個數(shù)相加，先把前兩個數(shù)相加，或者先把后兩個數(shù)相加，和不變。即（a+b）+c=a+(b+c)。熱考題型九有理數(shù)加法【解題思路】解題的關(guān)鍵是熟知有理數(shù)的加法運算法則典例9．（2022·天津·中考真題）計算(?3)+(?2)的結(jié)果等于（

）A．?5 B．?1 C．5 D．1【詳解】(?3)+(?2)=?3?2=?5故選：A．變式9-1．（2022·遼寧沈陽·中考真題）計算5+?3正確的是（

A．2 B．?2 C．8 D．?8【詳解】解：5+?3=2變式9-2．（2022·吉林·中考真題）要使算式(?1)□3的運算結(jié)果最大，則“□”內(nèi)應(yīng)填入的運算符號為（

）A．+ B．- C．× D．÷【詳解】解：(?1)+3=2，(?1)?3=?4，(?1)×3=?3，(?1)÷3=?1因為?4<?3<?1所以要使運算結(jié)果最大，應(yīng)填入的運算符號為+，故選：A．變式9-3．（2022·浙江杭州·中考真題）圓圓想了解某地某天的天氣情況，在某氣象網(wǎng)站查詢到該地這天的最低氣溫為－6℃，最高氣溫為2℃，則該地這天的溫差（最高氣溫與最低氣溫的差）為（

）A．－8℃ B．－4℃ C．4℃ D．8℃【詳解】解：這天最高溫度與最低溫度的溫差為2-（-6）=8．故選：D．有理數(shù)的減法有理數(shù)的減法法則：減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。即a?b=a+(?b)?！疽族e點】：兩個變化：減號變成加號，減數(shù)變成它的相反數(shù)，再按照有理數(shù)加法的運算步驟進(jìn)行計算。熱考題型十有理數(shù)減法【解題思路】熟練掌握有理數(shù)的減法法則是解本題的關(guān)鍵典例10．（2022·山東濱州·中考真題）某市冬季中的一天，中午12時的氣溫是?3℃，經(jīng)過6小時氣溫下降了7℃，那么當(dāng)天18時的氣溫是（

）A．10℃ B．?10℃ C．4℃ D．?4℃【詳解】解:∵中午12時的氣溫是?3℃，經(jīng)過6小時氣溫下降了7℃，∴當(dāng)天18時的氣溫是?3?7=?10℃．故選B．變式10-1．（2022·內(nèi)蒙古呼和浩特·中考真題）計算?3?2的結(jié)果是（

）A．?1 B．1 C．?5 D．5【詳解】解：?3?2=?3+(?2)=?5．故選：C．變式10-2．（2021·江蘇南京·中考真題）北京與莫斯科的時差為5小時，例如，北京時間13：00，同一時刻的莫斯科時間是8：00，小麗和小紅分別在北京和莫斯科，她們相約在各自當(dāng)?shù)貢r間9：00~17：00之間選擇一個時刻開始通話，這個時刻可以是北京時間（）A．10：00 B．12：00 C．15：00 D．18：00【提示】根據(jù)北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00~17：00，逐項判斷出莫斯科時間，即可求解．【詳解】解：由北京與莫斯科的時差為5小時，二人通話時間是9：00~17：00，所以A.當(dāng)北京時間是10：00時，莫斯科時間是5:00，不合題意；B.當(dāng)北京時間是12：00時，莫斯科時間是7:00，不合題意；C.當(dāng)北京時間是15：00時，莫斯科時間是10:00，符合題意；D.當(dāng)北京時間是18：00時，不合題意．故選：C變式10-3．（2022·江蘇揚州·中考真題）揚州市某天的最高氣溫是6℃，最低氣溫是－2℃，那么當(dāng)天的日溫差是__．【詳解】用最高溫度減去最低溫度即可得當(dāng)天的日溫差：6－(－2)＝6＋2＝8℃．有理數(shù)的加減混合運算規(guī)則：運用減法法則將加減混合運算統(tǒng)一為加法進(jìn)行運算。用式子表示為：用式子表示為：a?b+c?d=a+(?b)+c+(?d),步驟：1）減法化加法；2）省略括號和加號；3）運用加法運算律使計算簡便；4）運用有理數(shù)加法法則進(jìn)行計算。擴展：運用加法運算律時，可按如下步驟進(jìn)行：（1）同號的先結(jié)合；（2）同分母的分?jǐn)?shù)或者比較容易通分的分?jǐn)?shù)相結(jié)合；（3）互為相反數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（4）能湊成整數(shù)的兩數(shù)相結(jié)合；（5）帶分?jǐn)?shù)一般化為假分?jǐn)?shù)或者分為整數(shù)和分?jǐn)?shù)兩部分，再分別相加。熱考題型十一有理數(shù)加減法混合運算【解題思路】解題關(guān)鍵是熟練掌握有理數(shù)混合運算和添括號的法則典例11．（2022·河北·中考真題）與?312相等的是（A．?3?12 B．3?12 C．【詳解】A、?3?1B、3?1C、?3+1D、3+1故選：A．變式11-1．（2020·浙江杭州·中考真題）已知某快遞公司的收費標(biāo)準(zhǔn)為：寄一件物品不超過5千克，收費13元；超過5千克的部分每千克加收2元．圓圓在該快遞公司寄一件8千克的物品，需要付費（）A．17元 B．19元 C．21元 D．23元【詳解】由題意得：（元）即需要付費19元故選：B．變式11-2．（2021·臺灣·模擬預(yù)測）已知，，，判斷下列各式之值何者最大？（）A． B． C． D．【詳解】解：，，，∵是最小的，負(fù)的最多,相應(yīng)的絕對值最大．故選：C．變式11-3．嘉琪同學(xué)在計算時，運算過程正確且比較簡便的是（）A． B．C． D．【詳解】，故選：C．有理數(shù)的乘法（重點）有理數(shù)的乘法法則：1）兩數(shù)相乘，同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相乘。2）任何數(shù)同0相乘，都得0.倒數(shù)：乘積是1的兩個有理數(shù)互為倒數(shù)。0沒有倒數(shù)。（數(shù)a（a≠0）的倒數(shù)是）【注意事項】1）倒數(shù)的結(jié)果必須化成最簡形式，使分母中不含小數(shù)和分?jǐn)?shù)。2）互為倒數(shù)的兩個數(shù)必定同號（同為正數(shù)或同為負(fù)數(shù)）。如何求一個數(shù)的倒數(shù):1)求一個數(shù)a的倒數(shù)，即2）求一個分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，只要將分子、分母交換一下位置即可。3、求一個帶分?jǐn)?shù)的倒數(shù)，應(yīng)先將帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)再求其倒數(shù)。4、求一個小數(shù)的倒數(shù)，先將小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，然后再求倒數(shù)。5、求一個數(shù)的負(fù)倒數(shù)，先求這個數(shù)的倒數(shù)，再求倒數(shù)的相反數(shù)即可。多個有理數(shù)相乘的法則及規(guī)律：1）幾個不是0的數(shù)相乘，負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時，積是負(fù)數(shù)；負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時，積是正數(shù)。確定符號后，把各個因數(shù)的絕對值相乘。2）幾個數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0，積為0；反之，如果積為0，那么至少有一個因數(shù)是0?！咀⒁狻繋Х?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)相乘時，通常把帶分?jǐn)?shù)化成假分?jǐn)?shù)，再與分?jǐn)?shù)相乘。有理數(shù)的乘法運算律乘法交換律：兩個數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置，積相等。即。乘法結(jié)合律：三個數(shù)相乘，先把前兩個數(shù)相乘，或者先把后兩個數(shù)相乘，積相等。即。乘法分配律：一個數(shù)同兩個數(shù)的和相乘，等于把這個數(shù)分別同這兩個數(shù)相乘，再把積相加。即。有理數(shù)的除法有理數(shù)除法法則：1）除以一個不為0的數(shù)，等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。即。2）兩數(shù)相除（被除數(shù)不為0），同號得正，異號得負(fù)，并把絕對值相除。3）0除以任何不為0的數(shù)，都得0。步驟：先確定商的符號，再算出商的絕對值。有理數(shù)的乘除混合運算運算順序：從左往右進(jìn)行，將除法化成乘法后，進(jìn)行乘法計算。（注：帶分?jǐn)?shù)應(yīng)首先化為假分?jǐn)?shù)進(jìn)行運算）有理數(shù)的四則混合運算運算順序：先乘除，后加減，有括號要先算括號里面的。熱考題型十二有理數(shù)乘除法【解題思路】熟練掌握有理數(shù)的乘法、除法運算法則是解題的關(guān)鍵典例12．（2022·山東泰安·中考真題）計算?6×?1A．-3 B．3 C．-12 D．12【詳解】?6×?1變式12-1．（2022·山東淄博·中考真題）下列分?jǐn)?shù)中，和π最接近的是（

）A．355113 B．22371 C．15750【詳解】A.355113≈3.1416;B.22371≈3.1408;C.因為π≈3.1416,故和π最接近的是355變式12-2．（2022·湖北隨州·中考真題）計算：3×?1【詳解】解：3×?1+?3變式12-3．（2022·廣西玉林·中考真題）計算：2÷(?2)=_____________．【詳解】解：原式=?2÷2=?1；故答案為-1．知識點三有理數(shù)的乘方乘方的概念：一般地，個相同的因數(shù)相乘，即a?a?a?...an個，記作，讀作的次方。求個相同因數(shù)的積的運算，叫做乘方，乘方的結(jié)果叫做冪。在中，叫做底數(shù)，叫做指數(shù)。讀作的次方，也可以讀作的次冪。注意：當(dāng)?shù)讛?shù)為分?jǐn)?shù)時，要先用括號將底數(shù)括上，再在其右上角寫指數(shù)，指數(shù)要寫的小些。乘方的規(guī)律：負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù)，負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù)。正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)，0的任何正整數(shù)次冪都是0.有理數(shù)乘方的運算方法：1）根據(jù)乘方的符號規(guī)律確定結(jié)果的符號。2）計算結(jié)果的絕對值。有理數(shù)的混合運算運算順序：1）先乘方，再乘除，最后加減；2）同級運算,從左到右進(jìn)行；3）如有括號，先算括號里的，按小括號、中括號、大括號的順序。熱考題型十三有理數(shù)的乘方【解題思路】解題的關(guān)鍵是牢記乘方概念和計算公式，明白乘方的意義是求n個相同因數(shù)積的運算即可．典例13．（2022·湖南婁底·中考真題）在古代，人們通過在繩子上打結(jié)來計數(shù)．即“結(jié)繩計數(shù)”．當(dāng)時有位父親為了準(zhǔn)確記錄孩子的出生天數(shù)，在粗細(xì)不同的繩子上打結(jié)（如圖），由細(xì)到粗（右細(xì)左粗），滿七進(jìn)一，那么孩子已經(jīng)出生了（

）A．1335天 B．516天 C．435天 D．54天【詳解】解：繩結(jié)表示的數(shù)為5×7變式13-1．（2022·湖北鄂州·中考真題）生物學(xué)中，描述、解釋和預(yù)測種群數(shù)量的變化，常常需要建立數(shù)學(xué)模型．在營養(yǎng)和生存空間沒有限制的情況下，某種細(xì)胞可通過分裂來繁殖后代，我們就用數(shù)學(xué)模型2n來表示．即：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，……，請你推算22022的個位數(shù)字是（

）A．8 B．6 C．4 D．2【詳解】解：∵21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，…，∴尾數(shù)每4個一循環(huán)，∵2022÷4＝505……2，∴22022的個位數(shù)字應(yīng)該是：4．故選：C．變式13-2．（2022·湖南婁底·中考真題）若10x=N，則稱x是以10為底N的對數(shù)．記作：x=lgN．例如：102=100，則2=lg100；100=1，則0=lg1．對數(shù)運算滿足：當(dāng)A．5 B．2 C．1 D．0【詳解】解：∵lgM∴(lg5)=lg5(lg5+lg2)+lg2=lg5·lg10+lg2=lg5+lg2=lg10=1.故選C變式13-3．（2022·湖南長沙·中考真題）當(dāng)今大數(shù)據(jù)時代，“二維碼”具有存儲量大．保密性強、追蹤性高等特點，它已被廣泛應(yīng)用于我們的日常生活中，尤其在全球“新冠”疫情防控期間，區(qū)區(qū)“二維碼”已經(jīng)展現(xiàn)出無窮威力．看似“碼碼相同”，實則“碼碼不同”．通常，一個“二維碼”由1000個大大小小的黑白小方格組成，其中小方格專門用做糾錯碼和其他用途的編碼，這相當(dāng)于1000個方格只有200個方格作為數(shù)據(jù)碼．根據(jù)相關(guān)數(shù)學(xué)知識，這200個方格可以生成2200個不同的數(shù)據(jù)二維碼，現(xiàn)有四名網(wǎng)友對2YYDS（永遠(yuǎn)的神）：2200DDDD（懂的都懂）：2200等于200JXND（覺醒年代）：2200QGYW（強國有我）：我知道210=1024,?103其中對2200【詳解】22002200∵2∴2的乘方的個位數(shù)字4個一循環(huán)，∵200÷4=50，∴2200∵2200=(∴2故答案為：DDDD．熱考題型十四有理數(shù)混合運算【解題思路】掌握有理數(shù)的混合運算運算順序典例14．（2022·山東煙臺·中考真題）如圖，是一個“數(shù)值轉(zhuǎn)換機”的示意圖．若x＝﹣5，y＝3，則輸出結(jié)果為_____．【詳解】解：當(dāng)x=?5，y=3時，變式14-1．（2022·山東煙臺·中考真題）小明和同學(xué)們玩撲克牌游戲．游戲規(guī)則是：從一副撲克牌（去掉“大王”“小王”）中任意抽取四張，根據(jù)牌面上的數(shù)字進(jìn)行混合運算（每張牌上的數(shù)字只能用一次），使得運算結(jié)果等于24．小明抽到的牌如圖所示，請幫小明列出一個結(jié)果等于24的算式_____．【詳解】解：由題意得：（5-3+2）×6＝24，故答案為：（5-3+2）×6（答案不唯一）．變式14-2．（2022·湖北宜昌·中考真題）中國是世界上首先使用負(fù)數(shù)的國家．兩千多年前戰(zhàn)國時期李悝所著的《法經(jīng)》中已出現(xiàn)使用負(fù)數(shù)的實例．《九章算術(shù)》的“方程”一章，在世界數(shù)學(xué)史上首次正式引入負(fù)數(shù)及其加減法運算法則，并給出名為“正負(fù)術(shù)”的算法．請計算以下涉及“負(fù)數(shù)”的式子的值：?1??3【詳解】解：?1?(?3)2=?1?9=?10變式14-3．（2022·浙江麗水·中考真題）計算：9?【詳解】解：9?(?2022)0變式14-4．（2022·廣西·中考真題）計算：(?1+2)×3+2【詳解】解：原式=1