32一元二次不等式及其解法

3.2一元二次不等式及其解法

情境引入（交通事故問題）

甲，乙兩輛汽車相向而行，在一個(gè)彎道上相遇，彎道限制車速在40km/h以內(nèi)，由于突發(fā)情況，兩車相撞了。交警在現(xiàn)場測得甲車的剎車距離接近但未超過12m，乙車的剎車距離剛剛超過了10m，又知這兩輛車的剎車距s與車速x（km/h）之間分別有以下函數(shù)關(guān)系：S甲

S乙誰的車速超過了40km/h，誰就違章了。試問：哪一輛車違章行駛？分析問題

由題意，只需分別解出不等式和，確認(rèn)甲，乙兩車的行駛速度，就可以判斷哪一輛車違章超速行駛?？疾煲泻粗獢?shù)x的不等式：0.01x2+0.1x≤12和0.005x2+0.05x>10.這兩個(gè)不等式有兩個(gè)共同特點(diǎn)：（1）含有一個(gè)未知數(shù)x；（2）未知數(shù)的最高次數(shù)為2.一般地，含有一個(gè)未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式不等式，叫做一元二次不等式。一元二次不等式的一般表達(dá)式為ax2+bx+c>0(a≠0)，或ax2+bx+c<0(a≠0)其中a，b，c均為常數(shù)。一元二次不等式一般表達(dá)式的左邊，恰是關(guān)于自變量x的二次函數(shù)f(x)的解析式，即f(x)=ax2+bx+c(a≠0)，

在初中學(xué)習(xí)二次函數(shù)時(shí)，我們曾解決過這樣的問題：對二次函數(shù)f(x)=x2-x-2，當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)=0？當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)<0？當(dāng)x為何值時(shí)，f(x)>0？當(dāng)x=-1或2時(shí)，f(x)=0當(dāng)-1<x<2時(shí)，f(x)<0當(dāng)x<-1或x>2時(shí)，f(x)>0下面我們通過實(shí)例，研究一元二次不等式的解法，以及它與相應(yīng)的方程、函數(shù)之間的關(guān)系。例如解不等式：（1）x2－x－6>0；（2）x2－x－6<0.我們來考察二次函數(shù)f(x)=x2－x－6的圖象和性質(zhì)。方程x2－x－6=0的判別式于是可知這個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,解此方程得x1=－2，x2=3.建立直角坐標(biāo)系xOy，畫出f(x)的圖象，它是一條開口向上的拋物線，與x軸的交點(diǎn)是M(－2，0)，N(3，0)，觀察這個(gè)圖象，可以看出，拋物線位于x軸上方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)大于零，因此這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合A={x|x<－2或x>3}是一元二次不等式x2－x－6>0的解集。拋物線位于x軸下方的點(diǎn)的縱坐標(biāo)小于零，因此這些點(diǎn)的橫坐標(biāo)的集合B={x|－2<x<3}是一元二次不等式x2－x－6<0的解集。例1解不等式2x2-3x-2>0.函數(shù)y=2x2-3x-2的圖象為：由函數(shù)的圖象可知不等式2x2-3x-2>0.的解集為：解：方程2x2-3x-2=0的解是

圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為：由上述討論及例題，可歸納出用圖象法解一元二次不等式的程序如下：

1.將不等式化為標(biāo)準(zhǔn)形式：

ax2+bx+c>0或

ax2+bx+c<0

2.解出相應(yīng)的方程的根。3.確定相應(yīng)函數(shù)圖象與x軸交點(diǎn)坐標(biāo)。4.畫出相應(yīng)函數(shù)圖象，根據(jù)圖象確定所求不等式的解集。例2．解不等式x2+4x+4>0.解：方程△=42－4×1×4=0，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解，函數(shù)的圖像是開口向上的拋物線，與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)（-2，0），所以不等式的解