邏輯學(xué)北大課05課件

第五章模態(tài)邏輯第一節(jié)模態(tài)邏輯第五章模態(tài)邏輯第一節(jié)模態(tài)邏輯模態(tài)和模態(tài)詞模態(tài)：指事物或認(rèn)識的必然性和可能性等這類性質(zhì)。模態(tài)在思維中的反映，表現(xiàn)為一定的認(rèn)識和觀念，便形成了相應(yīng)的模態(tài)概念。模態(tài)詞：語言中用以表示模態(tài)或模態(tài)概念的語詞或符號。如：漢語中的“必然性”、“可能性”，英語中的單詞“necessity”、“possible”。模態(tài)算子：通常用人工語言符號“□”和“

”來分別表示必然性和可能性，這些人工符號在模態(tài)推理中被稱為模態(tài)算子。10/6/20232模態(tài)和模態(tài)詞模態(tài)：指事物或認(rèn)識的必然性和可能性等這類性質(zhì)。模模態(tài)的分類模態(tài)按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，可分為從物的模態(tài)和從言的模態(tài)；或客觀模態(tài)和主觀模態(tài)；或狹義模態(tài)和廣義模態(tài)。從物的模態(tài)：關(guān)于事物本身的模態(tài)。例如：9必然大于7。從言的模態(tài)：關(guān)于命題的模態(tài)。例如：“9大于7”是必然的?？陀^模態(tài)：客觀存在的必然性和可能性等性質(zhì)。例如：飛機的速度不可能超過光速。主觀模態(tài)：認(rèn)識中的確定性或不確定性等這類性質(zhì)。例如：香格里拉可能就在中國的云南省。狹義模態(tài)：必然性與可能性等性質(zhì)。狹義模態(tài)又叫真勢模態(tài)。廣義模態(tài)：認(rèn)識和事物中的其他性質(zhì)。如:知道等認(rèn)知模態(tài)。10/6/20233模態(tài)的分類模態(tài)按照不同的標(biāo)準(zhǔn)，可分為從物的模態(tài)和從言的模態(tài)；模態(tài)形式模態(tài)形式：研究含有模態(tài)詞的思維邏輯形式。它是在經(jīng)典邏輯形式的基礎(chǔ)上增加模態(tài)算子等模態(tài)成分而形成的邏輯形式。下列模態(tài)命題均有對應(yīng)的邏輯形式：(6)如果今天下雨，那么今天下雨或刮風(fēng)是可能的(5)如果下雨，那么地上必然會濕。(4)明天可能不會下雨。(3)明天可能是晴天。(2)事物靜止必然不是絕對的。(1)物體運動必然產(chǎn)生能量。模態(tài)命題的形式模態(tài)命題□p□

p

p

pP→□qP→

(p∨q)10/6/20234模態(tài)形式模態(tài)形式：研究含有模態(tài)詞的思維邏輯形式。它是在經(jīng)典邏四種基本的模態(tài)命題在命題p和

p上增加必然算子□和可能算子

,可得到四種基本的模態(tài)命題：可能命題模態(tài)命題必然命題必然肯定命題(□p)可能肯定命題(

p)必然否定命題(□

p)可能否定命題(

p)10/6/20235四種基本的模態(tài)命題在命題p和p上增加必然算子□和可能算子

模態(tài)推理以模態(tài)命題為前提或結(jié)論的推理叫做模態(tài)推理。例如:（1）患闌尾炎但肚子不痛是不能的,所以患闌尾炎則肚子痛是必然的。（2）如果小張是黨員干部，那么他必然是黨員；小張是黨員干部。所以，他必然是黨員。其推理形式分別為：（1′）

(p∨

q)→□（P→q）（2′）（P→□q）∧P→□q模態(tài)邏輯學(xué)是關(guān)于模態(tài)形式及其規(guī)律的邏輯學(xué)，目的在于得到有效的模態(tài)推理形式。相應(yīng)于經(jīng)典的命題邏輯和謂詞邏輯，模態(tài)邏輯也可分為模態(tài)命題邏輯和模態(tài)謂詞邏輯。從邏輯史來看，模態(tài)邏輯又可分傳統(tǒng)模態(tài)邏輯和現(xiàn)代模態(tài)邏輯。

10/6/20236模態(tài)推理以模態(tài)命題為前提或結(jié)論的推理叫做模態(tài)推理。例如:8/傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的對當(dāng)方陣下反對差等差等□p□

p

p

p矛盾盾矛反對10/6/20237傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的對當(dāng)方陣下反對差等差等□p□p

p

傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的對當(dāng)方陣由對當(dāng)關(guān)系方陣，可得四種基本模態(tài)命題之間的真值關(guān)系：（1）矛盾關(guān)系：□p與

p、□

p與

p不能同真，也不能同假。（2）反對關(guān)系：□p與□

p不可同真，但可同假。（3）下反對關(guān)系：

p與

p不可同假，但可同真。（4）差等關(guān)系：□p真則

p真；

p假則□p假；□p假則

p真假不定；

p真則□p真假不定。□

p與

p也有這種關(guān)系。10/6/20238傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的對當(dāng)方陣由對當(dāng)關(guān)系方陣，可得四種基本模態(tài)命題之傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的對當(dāng)推理矛盾關(guān)系對當(dāng)推理：（1）□p├┤

p；（2）□

p├┤

p（3）

p├┤

□

p；（4）

p├┤

□p反對關(guān)系對當(dāng)推理：（5）□p├

□

p；（6）□

p├

□p下反對關(guān)系對當(dāng)推理：（7）

p├

p；（8）

p├

p差等關(guān)系對當(dāng)推理：（9）□p├

p；（10）□

p├

p（11）

p├

□p；（12）

p├

□

p10/6/20239傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的對當(dāng)推理矛盾關(guān)系對當(dāng)推理：8/3/20239模態(tài)對當(dāng)推理的應(yīng)用實例（1）“罪犯必然有犯罪時間”（□p）為真，可得：“罪犯必然無犯罪時間”（□

p）為假；“罪犯可能有犯罪時間”（

p）為真；“罪犯可能無犯罪時間”（

p）為假。（2）“并非明天必然下雪”（

□p）等值于“明天可能不下雪”（

p）（3）“并非他必然不被當(dāng)選”（

□

p）等值于“他可能被當(dāng)選”（

p）10/6/202310模態(tài)對當(dāng)推理的應(yīng)用實例（1）“罪犯必然有犯罪時間”（□p）為模態(tài)六角圖□

p反對□p差差矛矛差差p

p盾矛等等盾盾等

p下反對

p等10/6/202311模態(tài)六角圖□p反對□p差差矛矛差差pp盾矛等等盾盾等

p實然命題與必然命題、可能命題間的推理經(jīng)典邏輯中不含模態(tài)詞的命題叫實然命題。從六角圖可以得到如下有效推理：（1）□p├p（2）p├

p（3）□

p├

p（4）

p├

p（5）

p├

p（6）

p├

□p（7）

p├

p（8）

p├

□

p10/6/202312實然命題與必然命題、可能命題間的推理經(jīng)典邏輯中不含模態(tài)詞的命實然命題與必然命題、可能命題間的推理(1)——(8)的推理式體現(xiàn)了結(jié)論從弱原則：結(jié)論的模態(tài)不能強于前提的模態(tài)，即必然強于實然，實然強于可能(或然)。故上述推理可以簡化為：（9）□p├p├

p（10）□

p├

p├

p（11）

p├

p├

□p（12）

p├

p├

□

p根據(jù)實然命題的真假可推知相應(yīng)模態(tài)命題的真假：（13）p├

p├

□

p（14）

p├

p├

□p（15）

p├

□p├

p（16）

p├

□

p├

p六角圖10/6/202313實然命題與必然命題、可能命題間的推理(1)——(8)的推理式直言模態(tài)命題根據(jù)“必然”、“可能”這兩個模態(tài)詞和A、E、I、O四種基本直言命題的組合，得到八種基本的直言模態(tài)命題：1、必然全稱肯定命題(□SAP)；2、必然全稱否定命題(□SEP)；3、必然特稱肯定命題(□SIP)；4、必然特稱否定命題(□SOP)；5、可能全稱肯定命題(

SAP)；6、可能全稱否定命題(

SEP)；7、可能特稱肯定命題(

SIP)；8、可能特稱否定命題(

SOP)；10/6/202314直言模態(tài)命題根據(jù)“必然”、“可能”這兩個模態(tài)詞直言模態(tài)方陣圖其中，箭頭直線為差等關(guān)系線，無箭頭直線為矛盾關(guān)系線，上虛線為反對關(guān)系線，下虛線為下反對關(guān)系線。

SOP

SIP

SEP

SAP□SOP□SIP□SEP□SAP10/6/202315直言模態(tài)方陣圖其中，箭頭直線為差等關(guān)系線，無箭頭直線為矛盾關(guān)直言模態(tài)方陣圖的有效推理1、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的矛盾關(guān)系得出的等值式有：（1）□SAP├┤

SOP例如：所有的結(jié)果都必然有原因├┤不可能有的結(jié)果沒有原因（2）□SEP├┤

SIP例如：所有的動物必然不是植物├┤不可能有的動物是植物（3）□SIP├┤

SEP例如：有的大學(xué)生必然是黨員├┤不可能所有的大學(xué)生都不是黨員（4）□SOP├┤

SAP例如：有的青年必然不是干部├┤不可能所有的青年都是干部10/6/202316直言模態(tài)方陣圖的有效推理1、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的矛盾關(guān)系得直言模態(tài)方陣圖的有效推理1、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的矛盾關(guān)系得出的等值式有：（5）

SAP├┤

□SOP例如：所有的人的本性可能都是善良的├┤并非有的人的本性必然是不善良的（6）

SEP├┤

□SIP例如：甲班所有的同學(xué)可能都不是學(xué)生會干部├┤并非甲班有的同學(xué)必然是學(xué)生會干部（7）

SIP├┤

□SEP例如：有的大一學(xué)生可能英語過了六級├┤并非所有的大一學(xué)生必然英語沒有過六級（8）

SOP├┤

□SAP例如：有的干部可能沒有上過大學(xué)├┤并非所有的干部都必然上過大學(xué)10/6/202317直言模態(tài)方陣圖的有效推理1、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的矛盾關(guān)系得直言模態(tài)方陣圖的有效推理2、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的差等關(guān)系得出的蘊涵式有：

（9）□SAP├□SIP（10）□SEP├□SOP（11）□SAP├

SAP（12）□SEP├

SEP（13）□SIP├

SIP（14）□SOP├

SOP（15）

SAP├

SIP（16）

SEP├

SOP10/6/202318直言模態(tài)方陣圖的有效推理2、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的差等關(guān)系得直言模態(tài)方陣圖的有效推理3、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的反對關(guān)系得出的蘊涵式有：（17）□SAP├

□SEP（18）□SEP├

□SAP4、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的下反對關(guān)系得出的蘊涵式有：（19）

SIP├

SOP（20）

SOP├

SIP10/6/202319直言模態(tài)方陣圖的有效推理3、根據(jù)直言模態(tài)命題之間的反對關(guān)系得現(xiàn)代模態(tài)邏輯的產(chǎn)生羅素和懷特海建立的經(jīng)典命題演算中，有一些實質(zhì)蘊涵的定理，如：(1)

p→(p→q)(等值于(p∧

p)→q)；(2)p→(q→p)(等值于q→(p∨

p))這個定理的分別是說：“假命題蘊涵任何命題”、“真命題被任何命題所蘊涵”。這就是古典命題邏輯中的實質(zhì)蘊涵怪論。美國邏輯學(xué)家劉易斯（I.Lewis）通過對實質(zhì)蘊涵→的批評，提出了嚴(yán)格蘊涵，以突出條件命題前、后件的必然導(dǎo)致關(guān)系：pq=df

(p∧

q)或pq=df□(p→q)在此基礎(chǔ)上建立了模態(tài)命題邏輯系統(tǒng)S1—S5，開創(chuàng)了現(xiàn)代模態(tài)邏輯。嚴(yán)格蘊涵就是具有必然性的實質(zhì)蘊涵，是在經(jīng)典命題演算的基礎(chǔ)增加模態(tài)算子□或

得到的?，F(xiàn)代模態(tài)邏輯的特點：（1）它是符號化和公理化的，表現(xiàn)為一些形式系統(tǒng)。（2）它是經(jīng)典邏輯加上一個模態(tài)算子的擴(kuò)張。（3）它將傳統(tǒng)模態(tài)邏輯的范圍大大拓寬，是一種廣義的模態(tài)邏輯。10/6/202320現(xiàn)代模態(tài)邏輯的產(chǎn)生羅素和懷特海建立的經(jīng)典命題演算中，有一些實模態(tài)命題的自然推理系統(tǒng)TN一、初始符號：（1）命題變元：NP系統(tǒng)所有命題變元；（2）一元算子：

，□；（3）二元算子：∧，∨，→，

；（4）輔助符號：（，）。二、形成規(guī)則：（1）任一命題變元是合式公式；（2）若A是合式公式，則

A、□A也是合式公式；（3）若A和B是合式公式，則A∧B、A∨B、A→B、A

B是合式公式；（4）只有（1）—（3）構(gòu)成的符號串是合式公式。10/6/202321模態(tài)命題的自然推理系統(tǒng)TN一、初始符號：8/3/202321模態(tài)命題的自然推理系統(tǒng)TN三、定義：（1）D

：

A=df

□

A；（2）D：AB=df□(A→B)；（3）D=：A=B=df（AB）∧（BA）。四、推導(dǎo)規(guī)則（1）NP系統(tǒng)的所有推出規(guī)則；（2）□+(必然引入規(guī)則)：從定理A可推出□A；（3）□_(必然消去規(guī)則)：從□A可推出A；（4）□M(必然分離規(guī)則)：從□(A→B)和□A可推出□B，即從□(A→B)可推出□A→□B。10/6/202322模態(tài)命題的自然推理系統(tǒng)TN三、定義：8/3/202322自然推理系統(tǒng)TN的定理A是TN的定理，當(dāng)且僅當(dāng)A能僅由TN系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則推出。或者說，有一個無假設(shè)（前提為空集φ）的自然推理以A為其中一項?？捎洖椋?/p>

├TNAA→B是TN的定理，當(dāng)且僅當(dāng)從A和原前提集出發(fā)，由TN系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則能推出B?？珊営洖椋?/p>

├TNA→B或A├TNB10/6/202323自然推理系統(tǒng)TN的定理A是TN的定理，當(dāng)且僅當(dāng)A能僅由TN系自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T1：□A├A證明：(1)□AA(2)A(1),□_T2：A├

A證明：(1)AA(2)

AH(

_的假設(shè))(3)

A(2),

+(4)□

A(3),D

(5)

A(4),□_(6)A∧

A(1),(5),∧+(7)

A(2)—(6),

_(消去H)T3：A├

□

A證明：由T2據(jù)D

即得。10/6/202324自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T1：□A├A8/3/202自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T4：

（A∧B）├

A∧

B證明：（1）

（A∧B） A（2）A∧B H1(→＋的假設(shè))（3）A （2）,∧－（4）A∧B→A （2）—（3）,→＋（消去H1）（5）□(A∧B→A) （4）,□＋（6）□(

A→

（A∧B))（5）,R.P.（7）□

A→□

（A∧B)（6）,□M（8）

□

(A∧B)→

□

A（7）,R.P.（9）

（A∧B）→

A （8）,D

（10）

A （1）,（9）,→－（11）A∧B H2（12）B （11）,∧－10/6/202325自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T4：

（A∧B）├

A∧

B（10）

A （1）,（9）,→－（11）A∧B H2(→＋的假設(shè))（12）B （11）,∧－（13）A∧B→B （11）—（12）,→＋（消去H2）（14）□(A∧B→B) （13）,□＋（15）□(

B→

（A∧B)）（14）,R.P.（16）□

B→□

（A∧B)（15）,□M（17）

□

(A∧B)→

□

B（16）,R.P.（18）

（A∧B）→

B （8）,D

（19）

B （1）,（18）,→－（20）

A∧

B （10）,（19）,∧＋10/6/202326（10）

A （1）,（9）,→－8/3/20自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T5:AB├(BA)→(AC)證明:(1)ABA(2)□(A→B)(1),D(3)A→BH1(→＋的假設(shè))(4)AH2(→＋的假設(shè))(5)B（3）,（4）,→－

(6)B→CH3(→＋的假設(shè))(7)C（5）,（6）,→－

(8)A→C（4）—（7）,→＋（消去H2）(9)(B→C)→(A→C)（6）—（8）,→＋（消去H3）(10)(A→B)→((B→C)→(A→C))（3）—（9）,→＋（消去H1）(11)□((A→B)→((B→C)→(A→C)))（10）,□＋(12)□(A→B)→□(B→C)→(A→C))（11）,□M(13)□((B→C)→(A→C))（2）,（12）,→－

(14)□(B→C)→□(A→C)（13）,□M(15)(BA)→(AC)(14),D10/6/202327自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T5:AB├(B自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T6：□(A∧B)├□A∧□B證明：(1)□(A∧B)A(2)A∧BH1(→＋的假設(shè))(3)A（2）,∧－

(4)A∧B→A（2）—（3）,→＋（消去H1）(5)□(A∧B→A)（4）,□＋(6)□(A∧B)→□A（5）,□M(7)□A（1）,（6）,→－(8)A∧BH2(→＋的假設(shè))(9)B（8）,∧－

(10)A∧B→B（8）—（9）,→＋（消去H2）(11)□(A∧B→B)（10）,□＋(12)□(A∧B)→□B（11）,□M(13)□B（1）,（12）,→－(14)□A∧□B（7）,（13）,∧＋10/6/202328自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T6：□(A∧B)├□A∧□B自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T7：□A├

A證明:(1)□AA(2)

AH(

－的假設(shè))(3)

□A(2),D

(4)□A∧

□A（1）,（3）,∧＋(5)

A（2）—（4）,

－（消去H）10/6/202329自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T7：□A├

A8/3/自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T8：□A∧□B├□(A∧B)證明：(1)□A∧□BA(2)□A(1),∧_(3)□B(1),∧_(4)AH1(→＋的假設(shè))(5)BH2(→＋的假設(shè))(6)A∧B(4),(5),∧+(7)B→A∧B(5)—(6),→+（消去H2）(8)A→(B→A∧B)(4)—(7),→+（消去H1）(9)□(A→(B→A∧B))(8),□+(10)□A→□(B→A∧B)(9),□M(11)□(B→A∧B)(2),(10),→_(12)□B→□(A∧B)(11),□M(13)□(A∧B)(3),(12),→_10/6/202330自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T8：□A∧□B├□(A∧B)自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T9:

A├(AB)T10:

A├

(A∨B)T11:(AB)├(

B→

A)T12:(AB)├(

B→

A)T13:□A├

(A∨B)T14:□(A→B)∧□(B→A)├(□A

□B)T15:□A├BA10/6/202331自然推理系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系T9:

A├(A模態(tài)詞的語義解釋可能世界語義學(xué)能提供模態(tài)詞的語義解釋：(1)一個命題是必然的，當(dāng)且僅當(dāng)它在所有的可能世界中都為真。(2)一個命題是可能的，當(dāng)且僅當(dāng)它至少在一個可能世界中為真。

一般用W表示可能世界的集合，用V表示在可能世界W中的賦值。如果命題A確實反映了可能世界w的實際情況，則命題A在w中為真，記作：V(A,w)=1；如果命題A沒有反映可能世界w的實際情況，則命題A在w中為假，記作：V(A,w)=O。上述語義解釋可形式化為：(1′)V(□A，w)=1,當(dāng)且僅當(dāng)，對任一w′,V(A,w′)=1。(2′)V(

A，w)=1,當(dāng)且僅當(dāng)，存在w′,V(A,w′)=1。10/6/202332模態(tài)詞的語義解釋可能世界語義學(xué)能提供模態(tài)詞的語義解釋：8/3模態(tài)詞的語義解釋如果在可能世界引入一個相對可能關(guān)系，則上述解釋（1）、（2）可以進(jìn)一步嚴(yán)格化、精確化：(3)命題A在可能世界w中是必然的，當(dāng)且僅當(dāng)它在對w來說的任一可能世界w′中都為真。(4)命題A在可能世界w中是可能的，當(dāng)且僅當(dāng)它至少在對w來說的一個可能世界w′中為真。

克里普克把這種相對可能關(guān)系稱為可達(dá)關(guān)系，用R表示。如果可能世界w′相對于可能世界w是可能的，我們就說w可達(dá)w′，記作wRw′或Rww′。10/6/202333模態(tài)詞的語義解釋如果在可能世界引入一個相對可能關(guān)系，則上述解克里普克模型克里普克模型是一個三元組＜W，R，V＞,其中W是可能世界的非空集合；R是W上的道義可達(dá)關(guān)系；而V是命題在可能世界W中的賦值。有了克里普克模型，可以對模態(tài)算子□和

進(jìn)行嚴(yán)格的語義解釋：(3′)V(□A，w)=1,當(dāng)且僅當(dāng)，

對任一w′,若wRw′，則V(A,w′)=1。(4′)V(

A，w)=1,當(dāng)且僅當(dāng)，

存在w′,wRw′，且V(A,w′)=1。10/6/202334克里普克模型克里普克模型是一個三元組＜W，R，V＞,其中W模態(tài)命題公式的語義分析設(shè)P為任意的命題變元，A，B為任意公式，w(w∈W)為任意的可能世界，V是對模態(tài)命題公式的賦值，則可得出下列公式在模型＜W，R，V＞下的賦值定義：(1)［Vp］要么V(p,w)=1，要么V(p,w)=0。1，若V(A,w)=0(2)［V

］V(

A,w)=0，否則1，若V(A,w)=V(B,w)=1(3)［V∧］V(A∧B,w)=0，否則1，若V(A,w)=1或V(B,w)=1(4)［V∨］V(A∨B,w)=0，否則10/6/202335模態(tài)命題公式的語義分析設(shè)P為任意的命題變元，A，B為任意公式模態(tài)命題公式的語義分析

1，若V(A,w)=0或V(B,w)=1(5)［V→］V(A→B,w)=0，否則1，若V(A,w)=V(B,w)(6)［V

］V(A

B,w)=0，否則1，若

w′(wRw′→V(A,w′)=1)(7)［V□］V(□A,w)=0，否則1，若

w′(wRw′∧V(A,w′)=1)(8)［V

］V(

A,w)=0，否則10/6/202336模態(tài)命題公式的語義分析模態(tài)命題公式的語義分析設(shè)M=＜W，R，V＞為任意模型，A為任意模態(tài)公式，w為W中的任意元素（w∈W）：（1）若V(A,w)=1，則稱A在w上真，記作M

=wA；若V(A,w)=0，則稱A在w上假，記作M

=wA（2）若存在w∈W，使得M

=wA，則稱A在M上可滿足；若不存w∈W，使得M

=WA，則稱A在M上不可滿足（3）若對任一w∈W，都有M

=wA，則稱A在M上有效，或稱A是M-有效的，記作M

=wA。10/6/202337模態(tài)命題公式的語義分析設(shè)M=＜W，R，V＞為任意模型，A為任第五章模態(tài)邏輯第二節(jié)規(guī)范邏輯第五章模態(tài)邏輯第二節(jié)規(guī)范邏輯規(guī)范命題（1）中華人民共和國公民必須遵守法律。（2）允許外商到中國境內(nèi)投資。（3）禁止在公共場合吸煙。規(guī)范邏輯就是研究規(guī)范命題形式和構(gòu)造相應(yīng)的形式邏輯理論的學(xué)科。含有“必須”、“允許”、“禁止”等規(guī)范詞的命題,叫規(guī)范命題,又叫道義命題。例如：10/6/202339規(guī)范命題（1）中華人民共和國公民必須遵守法律。含有“必須”、規(guī)范命題的種類必須命題必須命題是含有“必須”、“應(yīng)該”、“一定”、“有義務(wù)”等模態(tài)詞的命題，陳述的是必須履行或必須實現(xiàn)的某種行為或事件狀態(tài)。例如：（1）凡會員必須交納會費。（2）夫妻雙方有實行計劃生育的義務(wù)。用O指稱必須模態(tài)詞，上述命題的形式可表示為：Op允許命題允許命題是含有“可以”、“充許”、“準(zhǔn)予”等模態(tài)詞的命題，陳述的是允許履行或允許實現(xiàn)的某種行為或事件狀態(tài)。表達(dá)權(quán)利的命題都是允許命題。例如：（1）人人都有自由選擇職業(yè)的權(quán)利。（2）允許學(xué)生向老師提意見。用P指稱允許模態(tài)詞，上述命題的形式可表示為：Pp10/6/202340規(guī)范命題的種類必須命題8/3/202340規(guī)范命題的種類禁止命題

禁止命題是含有“禁止”、“不得”、“不準(zhǔn)”等模態(tài)詞的命題，陳述的是禁止實現(xiàn)的某種行為或事件狀態(tài)。例如：（1）禁止偷盜他人財產(chǎn)。（2）學(xué)生不得善自離開學(xué)校。用F指稱禁止模態(tài)詞，上述命題的形式可表示為：Fp復(fù)合規(guī)范命題是指用命題聯(lián)系詞將原子的規(guī)范命題聯(lián)結(jié)起來的命題。例如：禁止破壞國家財產(chǎn)；人人都有保護(hù)國家財產(chǎn)的義務(wù)；允許公民或團(tuán)體承包部分國有小企業(yè)。命題形式：Fp∧Oq∧P(r∨s)。10/6/202341規(guī)范命題的種類禁止命題8/3/202341規(guī)范對當(dāng)方陣矛盾盾矛下反對差等差等Op（F

p）Fp（O

p）Pp

Op（P

p）反對10/6/202342規(guī)范對當(dāng)方陣矛盾盾矛下反對差等差等Op（Fp）Fp（規(guī)范對當(dāng)方陣的推理（1）必須命題和禁止命題的關(guān)系：Op=dfF

p；Fp=dfO

p。（2）反對關(guān)系推理：Op├

Fp；Fp├

Op；（3）矛盾關(guān)系的推理：Op├┤

P

p；

Op├┤P

p；O

p├┤

Pp；

O

p├┤Pp；F

p├┤

P

p；Fp├┤

Pp。（4）差等關(guān)系的推理：Op├Pp；

Pp├

Op；O

p├P

p；

P

p├

O

p。（5）下反對關(guān)系的的推理：

Pp├P

p；

P

p├Pp。10/6/202343規(guī)范對當(dāng)方陣的推理（1）必須命題和禁止命題的關(guān)系：Op=d現(xiàn)代規(guī)范邏輯系統(tǒng)DTN

1、初始符號（1）命題變元：NP系統(tǒng)的所有命題變元；（2）一元算子：

，O；（3）二元算子：∧，∨，→，

；（4）輔助符號：（，）。2、形成規(guī)則（1）任一命題變元是合式公式；（2）如果P是合式公式，則

p，Op也是合式公式；（3）如果P和q是合式公式，則p∧q，p∨q，p→q，p

q是合式公式；（4）只有(1)—(3)形成的符號串是合式公式。10/6/202344現(xiàn)代規(guī)范邏輯系統(tǒng)DTN1、初始符號8/3/202344現(xiàn)代規(guī)范邏輯系統(tǒng)DTN3、定義:(1)DP：Pp=df

O

p；(2)DF：Fp=dfO

p。4、推導(dǎo)規(guī)則:(1)NP系統(tǒng)的基本推導(dǎo)規(guī)則；(2)關(guān)于O的推理規(guī)則：

O+(必須引入規(guī)則)：由定理A推出OA；O_(必須消去規(guī)則)：由OA可推出PA；OM(必須分離規(guī)則):由O(A→B)和OA可推出OB；即從O(A→B)可推出OA→OB。10/6/202345現(xiàn)代規(guī)范邏輯系統(tǒng)DTN3、定義:8/3/202345規(guī)范邏輯系統(tǒng)DTN的定理A是DTN的定理，當(dāng)且僅當(dāng)A能僅由TN系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則推出?；蛘哒f，有一個無假設(shè)（前提為空集φ）的自然推理以A為其中一項?？捎洖椋憨繢TNAA→B是DTN的定理，當(dāng)且僅當(dāng)從它的全部前提出發(fā)，由DTN系統(tǒng)的推導(dǎo)規(guī)則能推出它的結(jié)論。可記為：

├DTNA→B或A├DTNB10/6/202346規(guī)范邏輯系統(tǒng)DTN的定理A是DTN的定理，當(dāng)且僅當(dāng)A能僅由T規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN1：├O(p∧q)

Op∧Oq證明：(1)p∧qH1(→＋的假設(shè))(2)p(1)，∧_(3)p∧q→p(1)—(2)，→+(消去H1)(4)O(p∧q→p)(3)，O+(5)O(p∧q)→Op(4)，OM(6)O(p∧q)→Oq同上可證(7)O(p∧q)H2(→＋的假設(shè))(8)Op（5）,（7），→_(9)Oq（6）,（7），→_(10)Op∧Oq(8)，(9)，∧+(11)O(p∧q)→Op∧Oq(7)—(10),→+(消去H2)(12)PH310/6/202347規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN1：├O(p∧q)

(13)qH4(→＋的假設(shè))(14)p∧q(12)，(13)，∧+(15)q→p∧q(13)—(14),→+(消去H4)(16)p→(q→p∧q)(12)—(15),→+(消去H3)（17）Op∧OqH5(→＋的假設(shè))（18）Op(17)，∧_（19）Oq(17)，∧_（20）O(p→(q→p∧q))(16)，O＋（21）Op→O(q→p∧q)(20)，OM（22）O(q→p∧q)(18)，(21)，→_（23）Oq→O(p∧q)(22)，OM（24）O(p∧q)(19)，(23)，→_（25）Op∧Oq→O(p∧q)(17)—(24)，→_(消去H5)（26）O(p∧q)

Op∧Oq(11)，(25)，

＋10/6/202348(13)q規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN2:├F(p∨q)

Fp∧Fq證明:（1）O(

p∧

q)

O

p∧O

q TDTN1（2）O

(p∨q)

O

p∧O

q （1）,德·摩根律（3）F(p∨q)

Fp∧Fq （2）,DFTDTN3:├Fp∨Fq

F(p∧q)證明:（1）Fp∨Fq A（2）p∧q H(→＋的假設(shè))（3）P （2）,∧－（4）p∧q→p （2）,（3）,→＋（消去H）（5）

p→

(p∧q) （4）,假言易位（6）O(

p→

(p∧q))（5）,O＋（7）O

p→O

(p∧q) （6）,OM（8）Fp→F(p∧q) （7）,DF（9）Fq→F(p∧q) 同上理可證（10）F(p∧q) （1）,（8）,（9）,二難推理10/6/202349規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN2:├F(p∨q規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN4：├F(p∨q)

Fp∧FqTDTN5：O(p→q)∧Fq├OqTDTN6:Fp├

Op∧

PpTDTN7：├P(p∨q)

Pp∨PqTDTN8：O(p∨q)├Pp∨PqTDTN9：P(p∧q)├Pp∧PqTDTN10：Op∨Oq├O(p∧q)TDTN11:O(p∧q→r)∧OP∧Fr├FqTDTN12:O(p→q)├(Pp→Pq)TDTN13:P(p→q)├(Op→Oq)TDTN14:(Pp→Pq)├P(p→q)TDTN15:Op├O(p∨q)10/6/202350規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN4：├F(p∨q)規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN16:Pp├P(p∨q)TDTN17:├O

p

PpTDTN18:├

Op

P

pTDTN19:├OOp

PP

pTDTN20:├OO

p

PPpTDTN21:├PP

p

OOpTDTN22:├OP

p

POpTDTN23:├PO

p

OPpTDTN24:O(p→q)∧Pp├PqTDTN25:├O(p∨

p）TDTN26:├F(p∧

p）TDTN27:├

O(p∧

p）10/6/202351規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN16:Pp├P(規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN28:├

P(p∧

p)TDTN29:P(p∧

p)├PqTDTN30:O(p∧

p)├Oq引入道義上中立的模態(tài)詞,用“I”指稱它,定義為:DI：Ip=dfPp∧P

p根據(jù)該定義，有如下定理:TDTN31:├Ip

Op∧

O

pTDTN32:├Op∨Ip∨FpTDTN32表明道義完全性原則。根據(jù)這一原則，每一種行為或是必須的，或是道義上無差別的，或是禁止的。10/6/202352規(guī)范邏輯系統(tǒng)TN的語法推出關(guān)系TDTN28:├P(p∧道義算子的語義解釋將克里普克的可能世界擴(kuò)展到可能道義世界，則可以給出道義邏輯的語義解釋。（1）道義命題A在道義可能世界wi中是必須的，當(dāng)且僅當(dāng)它在對wi來說的任一道義可能世界wj中都為真。（2）道義命題A在道義可能世界wi中是允許的，當(dāng)且僅當(dāng)它至少在對wi來說的一個道義可能世界wj中為真。（3）道義命題A在道義可能世界wi中是禁止的，當(dāng)且僅當(dāng)它在對wi來說的任一道義可能世界wj中都為假。10/6/202353道義算子的語義解釋將克里普克的可能世界擴(kuò)展到可能道義世界，則道義算子的語義解釋有了道義邏輯系統(tǒng)的模型，可以對道義算子進(jìn)行嚴(yán)格的語義解釋：(1′)V(OA，wi)=1,當(dāng)且僅當(dāng)，對任一wj,若wiRwj，則V(A,wj)=1。(2′)V(PA，wi)