2021年矩陣的運算及其運算規(guī)則

木歐陽光明*創(chuàng)編 木歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07矩陣基本運算及應(yīng)用歐陽光明(2021.03.07)201700060牛晨暉在數(shù)學(xué)中，矩陣是一個按照長方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合。矩陣杲高等代數(shù)學(xué)中的常見工具，也常見于統(tǒng)計分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。在物理學(xué)中，矩陣于電路學(xué)、力學(xué)、光學(xué)和量子物理中都有應(yīng)用；計算機科學(xué)中，三維動畫制作也需要用到矩陣。矩陣的運算杲數(shù)值分析領(lǐng)域的重要冋題。將矩陣分解為簡單矩陣的組合可以在理論和實際應(yīng)用上簡化矩陣的運算。在電力系統(tǒng)方⑥，矩陣知識已有廣泛深入的應(yīng)用，本文將在介紹矩陣基本運算和運算規(guī)則的基礎(chǔ)上，簡要介紹其在電力系統(tǒng)新能源領(lǐng)域建模方面的應(yīng)用情況，并展望隨機矩陣理論等相關(guān)知識與人工智能電力系統(tǒng)的緊密結(jié)合。1矩陣的運算及其運算規(guī)則l.i矩陣的加法與減法l.i.i運算規(guī)則A=^11如a2L a22■ ?? ?■ ■…伉J-■ a弧■?■B=妨■■■2…Z2???如■?■設(shè)矩陣\amlam2…也93沁如2…緒J'?1±対1如土如…軸土A±S=勺l土如?■■如±?2■?■…如土如■■■則%土裟2?…a簡言之，兩個矩陣相加減，即它們相同位置的元素相加減！注意：只有對于兩個行數(shù)、列數(shù)分別相等的矩陣(即同型矩陣)，加減法運算才有意義，即加減運算是可行的.1.1.2運算性質(zhì)2021.03.072021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07木歐陽光明*創(chuàng)編 木歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.072021.03.07結(jié)合律*2021.03.07結(jié)合律滿足交換律和結(jié)合律 交換律+ 二乂+(E+U)1?2矩陣與數(shù)的乘法1.24運算規(guī)則數(shù)丸乘矩陣A,就是將數(shù)九乘矩陣A中的每一個元素，記為心或蟲九.特別地，稱一蟲稱為A=(鋤顯^的負矩陣.1.2.2運算性質(zhì)滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律:(Xpi)A=X(piA)：(X+p)A=XA+pA.滿足結(jié)合律和分配律結(jié)合律:(Xpi)A=X(piA)：(X+p)A=XA+pA.分配律:入(A+B)=XA+入B?1.2.3典型舉例已知兩個矩陣'3-12"75'3-12"75-2'A=157,8=519245421求未知矩陣X?解滿足矩陣方程A^2X=B,'75-2_3-1246-A'23-空519—151_1=24-A2=2_211421245.2-2-4_.1-1-2_由已知條件知1.3矩陣與矩陣的乘法1.3.1運算規(guī)則設(shè)A=(閒B=(bij)〃n,則A與b的乘積C=AB是這樣一個矩陣：⑴行數(shù)與(左矩陣)A相同，列數(shù)與(右矩陣)B相同，即C=(cij)m.(2)C的第T行第丿列的元素％由A的第，行元素與B的第丿列元素對應(yīng)相乘，再取乘積之和.1.3.2典型例題設(shè)矩陣'12""12-丁'12""12-丁cnci2ci3'12''12-1AB=_1-1_-112.521勺2c23_AB=_i-1.-112.2計算肋解是*3的矩陣.設(shè)它為411-5j2__12-3A=,E-1-1-112可得結(jié)論只有在下列情況下，兩個矩陣的乘法才有意義，或說乘法運算是可行的：左矩陣的列數(shù)=右矩陣的行數(shù)；結(jié)論2在矩陣的乘法中，必須注意相乘的順序.即使在蟲衣與站均有意義時，也未必有成立.可見矩陣乘法不滿足交換律；結(jié)論3方陣A和

水歐陽光明*創(chuàng)編它同階的單位陣作乘枳，結(jié)果仍為A,即AE=EA=A.1?3?3運算性質(zhì)（假設(shè)運算都是可行的）(1)(2)律).結(jié)合律（AB）C=A（BC）^分配律砸土°）二曲±'°（左分配律）：（E±C）蟲二加（右分配⑶（加）B二;1⑷）二乂（徊.1.3.4方陣的慕定義：設(shè)A是方陣，尤是一個正整數(shù)，規(guī)定A1=AA--A^°=￡, '~~'顯然，記號來表示上個A的連乘積.1?4矩陣的轉(zhuǎn)宜1.4.1定義A=Ar=定義：將矩陣A的行換成同序號的列所得到的新矩陣稱為矩陣A=Ar=<103-1例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為1例如，矩陣的轉(zhuǎn)置矩陣為1一1142運算性質(zhì)（假設(shè)運算都是可行的）⑴⑷"（2）（^+5）'=^+5*⑶⑷卜恥（4）（加）,二財,兄是常數(shù).1.4.3典型例題利用矩陣'2-10_乂二[1-12],B=1 1 3121[2-10~1 1 3驗證運算性質(zhì)：（創(chuàng)‘二図占?解曲=[1J2]_1 2 1_=[3 2-1],

定義：如果方陣滿足小￡即氣=嘰則稱A為對稱矩陣.對稱矩陣的特點是：它的元素以主對角線為對稱軸對應(yīng)相等.1.5方陣的行列式1.5.1定義定義：由方陣A的元素所構(gòu)成的行列式（各元素的位置不變），稱為方陣A的行列式，記作國或血山?1.5.2運算性質(zhì)（1）⑷二國（行列式的性質(zhì)）|卅卜國國…國⑵屈十屈，特別地亠⑶|加|=才|衛(wèi)|（丸是常數(shù)，A的階數(shù)為n）思考：設(shè)A為襁階方陣，那么財?shù)男辛惺骄W(wǎng)與A的行列式國之間的關(guān)系為什么不是網(wǎng)二爲國,而是網(wǎng)二才俱？zb(2a2b\2/二cdzb(2a2b\2/二cd2c2d* 丿，則abKjl_2a2bcd|糾一,而2c2dA=例如bd|牛于是2光伏逆變器的建模光伏并網(wǎng)逆變器是將光伏組件輸出的直流電轉(zhuǎn)化為符合電網(wǎng)要求的交流點再輸入電網(wǎng)的關(guān)鍵設(shè)備，是光伏系統(tǒng)并網(wǎng)環(huán)節(jié)中能量轉(zhuǎn)換與控制的核心。光伏逆變器的性能不僅影響到光伏系統(tǒng)是否運行穩(wěn)左、安全可靠，也是影響整個系統(tǒng)使用壽命的主要因素。本節(jié)將分析主流2021.03.072021.03.072021.03.072021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)和建模方法。2」系統(tǒng)拓撲結(jié)構(gòu)光伏并網(wǎng)逆變器按照不同的分類方式可分為多種類型。如按照交流側(cè)接線數(shù)可分為單相逆變器和三相逆變器，如按照并網(wǎng)方式可分為隔離型光伏逆變器和非隔離型光伏逆變器。在歐洲，相關(guān)標準要求光伏逆變器可以采用非隔離型；而在美國，光伏逆變器必須采用隔離型的；我國目前尚沒有在此方面的明確要求。按照能量變換級數(shù)來分，光伏并網(wǎng)系統(tǒng)主要包括單級變換、兩級變換和多級變換三種拓撲結(jié)構(gòu)。為方⑥理解后續(xù)利用矩陣相關(guān)知識建模，下廂對這三種拓撲結(jié)構(gòu)的特點做簡要介紹。單級變換拓撲結(jié)構(gòu)單級變換拓撲結(jié)構(gòu)與前者相比，只有DC/AC逆變部分，該逆變器一般采用單相半橋.全橋電壓型逆變器或者三相全橋電壓型逆變器。這種類型的光伏逆變器具有結(jié)構(gòu)簡單、成本低廉等優(yōu)點。由于該系統(tǒng)只有一級功率轉(zhuǎn)換電路，所有控制目標都要通過這一級功率轉(zhuǎn)換單元實現(xiàn)，因而增加了控制系統(tǒng)的復(fù)雜性。圖1為一典型的單極變換單相光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)。這種光伏逆變器一般會安裝工頻變壓器。變壓器可以有效降低輸出側(cè)電壓，也可以起到有效隔離絕緣的效果，具有可靠性高、維護量少、開關(guān)頻率低和電磁干擾小等特點。圖1單級單相光伏逆變器拓撲圖兩級變換拓撲結(jié)構(gòu)兩級變換拓撲結(jié)構(gòu)一般由DC/DC變換器和DC/AC逆變器兩部分*歐陽光明*創(chuàng)編**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07組成。前者一般采用比較常見的BOOST電路、BUCK-BOOST電路或CUK電路等，用來實現(xiàn)光伏陣列輸出功率的最大功率跟蹤的功能，DC/AC—般采用單相或三相的并網(wǎng)逆變器實現(xiàn)并網(wǎng)、有功調(diào)節(jié)、無功補償或者諧波補償?shù)认嚓P(guān)功能。圖2為一典型的兩級變換單相光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)。第一級杲DC/DC變換環(huán)節(jié)，其拓撲類型為boost電路，目的杲把光伏組件輸出的不穩(wěn)定直流低電壓提升到可并網(wǎng)的穩(wěn)定直流高電壓。第二級是DC/AC逆變環(huán)節(jié)，由單相全橋的可逆PWM整流器構(gòu)成，這一級的功率開關(guān)可以采用MOSFET或IGBT。圖2兩級變換單相光伏逆變器拓撲圖多級變換拓撲結(jié)構(gòu)采用高頻變壓器絕緣方式的多級變換拓撲結(jié)構(gòu)通過采用帶有整流器的高頻率變壓器來提升輸入電壓，具有體積小、重量輕、成本低等優(yōu)點，常用于并網(wǎng)型太陽能發(fā)電設(shè)備之中。圖3為一典型的帶高頻變壓器的多級變換單相光伏逆變器的拓撲結(jié)構(gòu)。這種拓撲結(jié)構(gòu)由于需要經(jīng)過三級能量變換，通常效率相對較低，并且由于高頻電磁干擾嚴重，必須采用濾波和屏蔽等相關(guān)措圖3帶高頻變壓器的多級式光伏逆變器拓撲圖2.2典型光伏逆變器的建模與兩級式光伏逆變器相比，單級式光伏逆變器只有一個能量變換環(huán)節(jié)，結(jié)構(gòu)緊湊、元器件少，能量轉(zhuǎn)換效率更高。目前，單級式三相光伏并網(wǎng)逆變器在大中型光伏電站的建設(shè)中得到了大規(guī)模的應(yīng)用。本節(jié)選取此類光伏逆變器作為典型進行建模分析。如圖4所示，三相光伏逆變器一般由防反沖二極管、直流母線穩(wěn)壓電容、DC/AC逆變環(huán)節(jié)、逆變器輸出濾波器組成。圖4三相光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)電路圖假定三相電感且其等效電感、電阻值分別為L1=L2=L3=L和R1=R2=R3=RO三相全橋都是理想的開關(guān)管。光伏發(fā)電系統(tǒng)在三相靜止坐標系下的數(shù)學(xué)模型如下：E(2.1)式中：ia、ib、ic——三相并網(wǎng)逆變器的輸出電流；ea、eb.ec 三相電網(wǎng)電壓；Sa、Sb、Sc 開關(guān)函數(shù)；udc 直流田線電壓；考慮直流母線中電流的穩(wěn)壓作用，則有(2.2)式中：C——直流母線穩(wěn)壓電容；ipv——光伏陣列輸出電流。將公式2.2進行同步矢量旋轉(zhuǎn)變換，則得到dq坐標系下的三相2021.03.072021.03.07木歐陽光明*創(chuàng)編 木歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07*歐陽光明*創(chuàng)編光伏并網(wǎng)發(fā)電系統(tǒng)的模型為:(2.3)式中：id、iq 逆變器輸出電流d、q軸(有以無功)分量;ed、eq 電網(wǎng)電壓d、q軸分量；Sd、Sq——觸發(fā)三相逆變橋的幵關(guān)信號d、q軸分量；co—電網(wǎng)電壓的角頻率，即dq坐標系的旋轉(zhuǎn)速度。公式2.3中兩個電流方程寫成矩陣形式為：I■(2.4)對公式2.4兩邊取拉式變換得(2.5)令 國二曰，相應(yīng)時域中有13二叵J3=a?則公式2.5可寫為(2.6)公式2.6的時域表達式為:(2.7)3隨機矩陣相關(guān)理論*歐陽光明*創(chuàng)編3」隨機矩陣相關(guān)理論和要點隨機矩陣理論(randommatrixtheory,RMT)的研究起源于原子核物理領(lǐng)域。Wigner在研究量子系統(tǒng)中得出結(jié)論，對于復(fù)雜的量子系統(tǒng)，隨機矩陣理論的預(yù)測代表了所有可能相互作用的一種平均。偏離預(yù)測的那部分屬性反映了系統(tǒng)中特殊非隨機的性質(zhì)，這為了解和研究潛在的相互作用和關(guān)系提供了理論支撐。RMT以矩陣為單位，可以處理獨立同分布(independentidenticallydistributed,IID)的數(shù)據(jù)。RMT并不對源數(shù)據(jù)的分布.特征等做出要求(如滿足高斯分布，為Hermitian矩陣等)，僅要求數(shù)據(jù)足夠大(并非無限)。故該工具適合處理大多數(shù)的工程冋題，特別適合用于分析具有一定隨機性的海量數(shù)據(jù)系統(tǒng)。隨機矩陣理論認為當系統(tǒng)中僅有白噪聲、小擾動和測量誤差時，系統(tǒng)的數(shù)據(jù)將呈現(xiàn)出一種統(tǒng)計隨機特性；而當系統(tǒng)中有信號源(事件)時，在其作用下系統(tǒng)的運行機制和內(nèi)部機理將會改變，其統(tǒng)計隨機特性將會被打破。單環(huán)定律(RingLaw).Marchenko-Pastur^律(M-PLaw)均是RMT體系的重大突破。在這些理論基礎(chǔ)上，可進一步研究隨機矩陣的線性特征根統(tǒng)計量(lineareigenvaluestatistics,LES),而平均譜半徑(meanspectralradius)則是LES所構(gòu)造出的一個具體對象。3.2隨機矩陣理論對電力系統(tǒng)的支撐全球正在經(jīng)歷由信息技術(shù)時代(IT時代)向數(shù)據(jù)技術(shù)時代(DT時代)的過渡，數(shù)據(jù)正逐步成為電力系統(tǒng)等大型民生系統(tǒng)的戰(zhàn)略資源。數(shù)據(jù)的價值在于其所蘊含的信息而并非數(shù)據(jù)本身，信息提取(informationextraction)相關(guān)技術(shù)是數(shù)據(jù)增值業(yè)務(wù)的核丿血智能電網(wǎng)**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07**歐陽光明*創(chuàng)編 2021.03.07的最終目標杲建設(shè)成為覆蓋電力系統(tǒng)整個生產(chǎn)過程，包括發(fā)電、輸電、變電、配電、用電及調(diào)度等多個環(huán)節(jié)的全景實時系統(tǒng)。而支撐智能電網(wǎng)安全、自愈、綠色、堅強及可靠運行的基礎(chǔ)是電網(wǎng)全景實時數(shù)據(jù)的采集.傳輸和存儲，以及對累積的海量多源數(shù)據(jù)的快速分析。數(shù)據(jù)化杲智能電網(wǎng)建設(shè)的重要目標，也是未來電網(wǎng)的基本特征。智能電網(wǎng)是繼小型孤立電網(wǎng)、分布式互聯(lián)大電網(wǎng)之后的第三代電網(wǎng)，其網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)錯綜復(fù)雜。同時，用戶側(cè)的開放致使新能源、柔性負荷、電能產(chǎn)消者（如EV）大規(guī)模介入電網(wǎng)，這也極大地加劇了電網(wǎng)運行機理和控制模型的復(fù)雜性。傳統(tǒng)的通過對個體元器件建模、參數(shù)辨識及在此機理模型上進行仿真的手段不足以認知日益復(fù)雜的電網(wǎng)；而另一方面，隨著智能電網(wǎng)建設(shè)進程的不斷深入，尤其是高級測量體系（advancedmeteringinfrastructure,AMI）和信息通信技術(shù)（informationcommunicationtechnology,ICT）的發(fā)展，數(shù)據(jù)將越來越容易獲取，電網(wǎng)運行和設(shè)備監(jiān)測產(chǎn)生的數(shù)據(jù)量將呈指數(shù)級增長。然而，各電力部門普遍存在如下問題：1）從如此之多的數(shù)據(jù)中，能得到些什么？2）不同部門的數(shù)據(jù)為什么且如何混合在一起？3）壞（異常、缺失、時間不同步）數(shù)據(jù)如何處理？上述的典型冋題也是現(xiàn)階段信息化建設(shè)所呈現(xiàn)的“重系統(tǒng)輕數(shù)據(jù)”模式的結(jié)果。該模式忽略了最重要的（也杲理論要求最深的）數(shù)據(jù)資源利用環(huán)節(jié)，即將收集來的“數(shù)據(jù)原料”轉(zhuǎn)換成驅(qū)動力，以數(shù)據(jù)驅(qū)^］（data-driven/model-free）為主要方式及時、準確地認知系統(tǒng)，故難以滿足系統(tǒng)決策制定（decision-making）的需求。從數(shù)據(jù)的角度出發(fā)，海量(volume).多樣(variety).實時(velocity).真實(veracity)的4Vs數(shù)據(jù)是未來電網(wǎng)數(shù)據(jù)的發(fā)展趨勢，而4Vs數(shù)