《金融工程學》第11章電子教案課件

第十一章在險價值第十一章在險價值1第十一章在險價值在險價值的定義單一資產的在險價值計算投資組合的在險價值計算衍生工具的在險價值蒙特卡羅模擬歷史模擬壓力測試和回溯測試第十一章在險價值在險價值的定義2第一節(jié)在險價值的定義

一、在險價值的定義目前通常采用的定義為：在險價值是按某一確定的置信度，對某一給定的時間期限內不利的市場變動可能造成投資組合的最大損失的一種估計。更通俗地說VaR是要在給定的置信度（典型的置信度為95％、97.5％、99％等等）下衡量給定的資產或負債（即投資組合）在一段給定的時間內（針對交易活動的時間可能選取為一天，而針對投資組合管理的時間則可能選取為一個月）可能發(fā)生的最大（價值）損失。VaR是一種對可能實現(xiàn)的價值損失的估計,而不只是一種“賬面”損失估計。第一節(jié)在險價值的定義一、在險價值的定義3

假設一個基金經理希望在接下來的10天時間內存在95%概率其所管理的基金價值損失不超過$1,000,000。則我們可以將其寫作：,其中為投資組合價值的變動。用符合表示,（11.1）其中為置信度,在上述的例子中是95%。實際上，在VaR中詢問的問題是“我們有X%的信心在接下來的T個交易日中損失程度將不會超過多大的”?

第一節(jié)在險價值的定義

假設一個基金經理希望在接下來的10天時間內存在95%4

二、選擇合適的VaR參數(shù)要使用VaR就必須選擇定義中的兩個參數(shù)——時間長度T和置信度X%。（一）時間長度

在選擇合適的時間長度參數(shù)時必須考慮下列三個主要因素：

1.新交易發(fā)生的頻率。如果新交易對投資組合的市場風險有很大的影響，選擇太長的時間長度就沒有太大的意義，因為投資組合的市場風險在達到我們所設定的風險水平之前已可能發(fā)生顯著的變化。第一節(jié)在險價值的定義

二、選擇合適的VaR參數(shù)第一節(jié)在險價值的定義5

2.收集市場風險數(shù)據(jù)的頻率。雖然金融機構可以每天至少一次確認其大部分投資組合，但對非金融性公司而言，正常的只能進行月度或季度報告。因此，一般性企業(yè)更可能采用月度、季度、半年或年度VaR。3.對風險頭寸套期保值（對沖）的頻率。另外一個需考慮的因素就是可以接受的費用水平。因為在快速對風險進行套期保值以避免更大損失和保值成本之間必須加以權衡。否則，保值的頻率越快反而可能造成損失越大。如果套期保值的費用成本超過保值要避免的風險損失，這樣的保值就毫無意義。在金融機構中，內部VaR的計算最常選用1天的時間期限。國際清算銀行規(guī)定的作為計算銀行監(jiān)管資本的VaR的時間期限為10天。第一節(jié)在險價值的定義

2.收集市場風險數(shù)據(jù)的頻率。雖然金融機構可以每天至少一次6

（二）置信度X%

如圖11.1所示（橫軸表示投資組合價值變化范圍，而縱軸表示變化發(fā)生的概率），就是要在圖中找到如向下箭頭表示的位置，該位置使得價值變化的95％落在右邊而5％落在左邊，這個位置上的橫軸數(shù)值就是VaR的值。95％置信度的含意是我們預期100天中只有5天的損失會超過對應的VaR值。但必須知道的是VaR并沒有告訴我們在可能超過VaR損失的時間內（如95％置信度的5/100天中；或99％的1/100天中）的實際損失會是多少。第一節(jié)在險價值的定義

（二）置信度X%第一節(jié)在險價值的定義7

三、VaR的使用VaR的最大特點是：它用一個單一的數(shù)字捕捉住了風險的一個重要方面；它容易理解；它詢問簡單的問題:“情況究竟有多糟糕”?第一節(jié)在險價值的定義

三、VaR的使用第一節(jié)在險價值的定義8

應用1.金融機構2.監(jiān)管機構要求金融機構為防范金融風險保證達到最低資本金要求。3.非金融機構集中式風險管理對于任何具有金融風險暴露的公司都是非常有用的。在險現(xiàn)金流分析（cashflowatriskanalysis）能為企業(yè)提供可能面臨資金短缺的臨界值。第一節(jié)在險價值的定義

應用第一節(jié)在險價值的定義9

4.機構投資者機構投資者現(xiàn)在也開始采用VaR來管理他們的金融風險。尤其是在險資本（capitalatrisk）的概念已被機構投資者廣泛接受。VaR不是萬能的，它主要針對的是金融市場風險。VaR是在假定正態(tài)分布的市場環(huán)境中計算出來的,這意味著不考慮像市場崩盤這類極端的市場條件。因此,VaR度量的是機構日常經營期間預期能夠發(fā)生的情況。VaR的計算至少需要下列數(shù)據(jù):投資組合中所有資產的現(xiàn)價和波動率以及它們相互之間的相關關系。通常，假定投資組合構成的變動是隨機的并服從正態(tài)分布。第一節(jié)在險價值的定義

4.機構投資者第一節(jié)在險價值的定義10第二節(jié)單一資產的在險價值計算

假設我們持有某一股票，其價值為S，年波動率為σ。我們想要知道在接下來一個星期內具有99%確定性的最大可能損失是多少。一、波動率換算

在期權定價中我們將波動率表示成年波動率，在計算VaR中，我們將波動率表達成日波動率或周波動率。則有：第二節(jié)單一資產的在險價值計算假設我們持有某一股票，其價11

二、單個資產在險價值（VaR）的計算

我們必須計算出對應1%=(100-99)%分布最左邊的尾部位置。我們只需計算標準正態(tài)分布中的對應位置,由于任何一個正態(tài)分布我們都可以通過因子換算來得到。即N(x)=0.01，其中為標準正態(tài)分布的累計函數(shù)。設的逆函數(shù)（如圖11.4所示），則。參閱表11.1,我們得到99%置信度對應于均值的2.33個標準差（實際上，我們可以通過查標準正態(tài)分布的累計函數(shù)N表來獲得）。既然我們持有價值為S的股票，VaR被確定為：第二節(jié)單一資產的在險價值計算

二、單個資產在險價值（VaR）的計算第二節(jié)單一資產的12

一般地，如果時間期限是T（以天為單位），而要求的置信度是X％,我們有：（11.2）其中為單位股票日收益率在險價值(DEaR）；為股票收益率的日波動率（標準差）。第二節(jié)單一資產的在險價值計算

一般地，如果時間期限是T（以天為單位），而要求的置信度是X13

在(11.2)中我們假定股票的收益率具有均值為零的正態(tài)分布。零均值的假定對很短時間期限是有效的:收益率的標準差按時間的平方根比例變化，但均值按時間本身的比例變化。對于較長的時間期限，收益率（如同人們所希望的）以時間的比例量向右移。因此，對于較長的時間度量，表達式(11.2)應該考慮對資產價值的漂移加以修正。如果這個漂移率為μ，那么(11.2)式變成(11.3)注意我們采用的是實際漂移率，而不是風險中性下的漂移率。在本章的其余部分中我們不必為這樣的調整而感到憂慮。第二節(jié)單一資產的在險價值計算

在(11.2)中我們假定股票的收益率具有均值為零的正態(tài)分布14

例11.1我們持有一個價值為$100萬的X公司的股票頭寸，X公司股票的日波動率為3%(約為年48%)，假定該投資組合的價值變動是正態(tài)分布的并且投資組合價值的預期變動為零(這對很短的時間期限是正確的)，計算10天時間置信度為99％的在險價值。在這個例子中我們使用T=10和X=99，，S=$1,000,000。也就是說我們關心的是10天內置信度為99%的可能最大損失。根據(jù)公式（11.2），我們有VaR為：第二節(jié)單一資產的在險價值計算

例11.1第二節(jié)單一資產的在險價值計算15第三節(jié)投資組合的在險價值計算

假定：投資組合的價值變化與市場標的變量的價值變化是線性相關的；并且市場標的變量的價值變化是正態(tài)分布的。則我們只要知道投資組合中所有資產的波動率及它們之間的相關系數(shù)，那么我們能為整個的投資組合計算VaR。

一、線性模型設投資組合由M個資產所組成。第i個資產的價值為，波動率是，而第i個資產和第j個資產之間的相關系數(shù)是(其中=1)。因此，該投資組合價值一天的變動為：第三節(jié)投資組合的在險價值計算假定：投資組合的價值變化與16

其中為第i個資產一天的價值變動率，而為常數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計學的標準結論，投資組合的方差為：投資組合的VaR是：第三節(jié)投資組合的在險價值計算

其中為第i個資產一天的價值變動率第三節(jié)投資組合17

二、線性模型的適用范圍

股票的投資組合；債券的投資組合；外匯的投資組合；商品實物的投資組合；外匯遠期合約的投資組合；利率互換和貨幣互換的投資組合；由上述工具共同構成的投資組合。第三節(jié)投資組合的在險價值計算

二、線性模型的適用范圍第三節(jié)投資組合的在險價值計算18第四節(jié)衍生工具的在險價值一、Delta近似考慮一個由單一的標的證券S的衍生證券組成的投資組合其中f是期權的價值，S是基本標的證券的價值。

對于存在著多個基本標的市場變量時，類似地有第四節(jié)衍生工具的在險價值一、Delta近似19二、Delta-Gamma近似

對于基本標的證券價格的微小移動delta近似值是令人滿意的。而對于較大的變動，更高階的近似可以達到更好的效果，這就要將Gamma效應或凸性效應結合進去。假如我們的投資組合由一個股票的期權組成。由于我們假定取自一個標準正態(tài)分布，則第四節(jié)衍生工具的在險價值二、Delta-Gamma近似

對于基本標的證券價格的微小移20

還可重寫作對于一階項，期權的隨機價值只是基本標的證券價值的一種簡單比例關系。對于二階項，由于S的確定性漂移率和期權的Theta，存在一個確定性的漂移率。然而，更重要的是Gamma效應引入了一項使的隨機成分是非線性的。從這個圖中我們可以看到用Delta/Gamma近似得到的分布遠非是一個正態(tài)分布。第四節(jié)衍生工具的在險價值還可重寫作第四節(jié)衍生工具的在險價值21

由于表達式(11.7)是的一個二次方程，必須滿足下列約束條件或在下面的情況下達到極端值：一個明顯的結論是正的Gamma對一個投資組合是好的，而負的Gamma是不好的。具有一個正的Gamma下側是有限的，但是具有一個負的Gamma則是上側是有限的。第四節(jié)衍生工具的在險價值由于表達式(11.7)是的一個二次方程，必須滿足下列約22三、二次方程模型先考慮一個基于單個資產的期權組合，設該資產價格為S，投資組合的Delta為，Gamma為。對投資組合價值變化運用Taylor展開式記則第四節(jié)衍生工具的在險價值三、二次方程模型先考慮一個基于單個資產的期權組合，設該資產價23

將上式擴展到包括M個市場變量的投資組合的情況，則公式變成：是第i種市場變量的價值，和是第i種市場變量的Delta和Gamma值。設則第四節(jié)衍生工具的在險價值將上式擴展到包括M個市場變量的投資組合的情況，則公式變成：24四、估計模型的運用

對待有關非線性證券問題的有效辦法是對基本標的證券價格的隨機行為采用模擬方法，然后運用估價公式或算法來推導整個投資組合變動的分布。缺點：運算非常慢。第四節(jié)衍生工具的在險價值四、估計模型的運用對待有關非線性證券問題的有效辦法是對基本25五、固定收益投資組合

當資產或投資組合依賴于利率時，則通常將每個工具的到期收益率視為是正態(tài)分布的變量。價格與到期收益率變動之間的關系通過久期（和高階凸性）聯(lián)系在一起的。固定收益資產可以視為到期收益率的一種衍生證券。因此，VaR的估計顯然將采用久期代替Delta（和凸性代替Gamma）的做法。第四節(jié)衍生工具的在險價值五、固定收益投資組合當資產或投資組合依賴于利率時，則通常將26第五節(jié)蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬是使用隨機數(shù)產生收益率及/或資產價格的一個分布。該技術也可應用在VaR中:使用取自正態(tài)分布的隨機數(shù)來建立將來情景的一個分布。對于這些情景中的每一分布運用某種定價方法計算投資組合的價值（基本標的資產和其期權的價值），然后直接估計它的VaR。以前面的公式（11.10）為例，我們假定投資組合價值變化與基本標的價格變化率之間存在第五節(jié)蒙特卡羅模擬蒙特卡羅模擬是使用隨機數(shù)產生收益率及/27

（11.10）的關系。如果我們希望計算一天的VaR值，蒙特卡羅模擬的步驟為：1.利用當天市場各變量現(xiàn)值計算投資組合的價值。2.從的多變量正態(tài)概率分布中進行抽樣。3.用抽樣得到的值模擬計算下一日各市場變量的價值。4.利用這些模擬的市場變量價值，根據(jù)公式（11.10）就可計算得到的一個樣本值。5.不斷重復第二步到第四步，就能得到的模擬概率分布。VaR值就是這個概率分布的一個合適的分位數(shù)。第五節(jié)蒙特卡羅模擬（11.10）的關系。如果我們希望計算一天的VaR值，蒙特28第六節(jié)歷史模擬1.建立一個數(shù)年所有市場變量的日變動數(shù)據(jù)庫。2.第一次模擬是假設每個市場變量的波動率與數(shù)據(jù)庫覆蓋時段的第一天的相應變量的波動率相同。3.第二次模擬則假設各市場變量的波動率與數(shù)據(jù)庫覆蓋時段的第二天相應變量的波動率相同，4.依此類推。每次模擬就可以計算出一個投資組合的樣本值。通過這種方式，我們創(chuàng)造了一個基于歷史數(shù)據(jù)的將來可能情景的一個分布。通過這種做法我們確保能夠抓住任何資產之間可能有的相關關系。VaR值可以通過找到合適的的概率分布中的分位數(shù)來得到。第六節(jié)歷史模擬1.建立一個數(shù)年所有市場變量的日變動29

優(yōu)點：自然地將資產相互之間的任何相關關系以及資產價格變動的任何非正態(tài)性結合在其中，并精確地反映了市場的歷史概率分布。缺點：1.無法抓住數(shù)據(jù)中的任何自相關性，然而，基本形式的蒙特卡羅模擬也同樣無法做到這點。2.需要大量的歷史數(shù)據(jù)，而這些數(shù)據(jù)對應的經濟環(huán)境可能與目前的環(huán)境完全不同。

第六節(jié)歷史模擬優(yōu)點：自然地將資產相互之間的任何相關關系以及資產價格變動的30第七節(jié)壓力測試和回溯測試

一、壓力測試(一)極端值理論：極端值理論在風險度量方面幫助量化了兩個關鍵的度量：1.“X”年收益率大小。2.給定VaR的超額損失。(二)情景分析：依靠主觀判斷，公司主要關心和憂慮的事件，以及建立在簡單的對歷史收益系列及事件的觀察基礎上。設定和使用可能的將來經濟情景來測試它們對資產投資組合損益的影響。第七節(jié)壓力測試和回溯測試一、壓力測試31

(三)歷史模擬

歷史模擬是把真實的歷史事件運用到現(xiàn)在的資產投資組合上。容易找到最嚴重損失發(fā)生在什么情況下，并識別是什么樣的價格變動導致了這個極端損失變得更容易。告訴我們哪些資產在不利的市場情況下通常是一起波動的，及在這種市場條件下不同資產價格之間的相關關系。能夠檢驗市場價格波動的不利趨勢對資產投資組合的影響。幫助機構確定和控制適當?shù)某謧}頭寸和清算頭寸。第七節(jié)壓力測