2024屆廣東省廣雅中學(xué)、執(zhí)信、六中、深外四校數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)模擬試題含解析

2024屆廣東省廣雅中學(xué)、執(zhí)信、六中、深外四校數(shù)學(xué)高一上期末檢測(cè)模擬試題注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫上新答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無(wú)效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．函數(shù)的最大值為（）A. B.C.2 D.32．關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)為（）A.6 B.4C.3 D.23．已知為等差數(shù)列，為的前項(xiàng)和，且，，則公差A(yù). B.C. D.4．下列函數(shù)中，既在R上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)的是（）A. B.C. D.5．已知函數(shù)在R上為減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.6．方程的解為，若，則A. B.C. D.7．下列說(shuō)法正確的是（）A.若，，則 B.若a，，則C.若，，則 D.若，則8．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)，則的定義域?yàn)椋ǎ〢.R B.C. D.9．設(shè)集合，則（）A.（1，2] B.[3，＋∞）C.（﹣∞，1]∪（2，＋∞） D.（﹣∞，1]∪[3，＋∞）10．已知函數(shù)，則使得成立的的取值范圍是（）A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)________.12．若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是：_____________.13．的邊的長(zhǎng)分別為，且，，，則__________.14．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則___________15．如圖，在中，，以為圓心、為半徑作圓弧交于點(diǎn)．若圓弧等分的面積，且弧度，則=________.16．設(shè)函數(shù)；若方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是__________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．函數(shù).（1）求，；（2）求函數(shù)在上的最大值與最小值.18．已知，（1）若，求a的值；（2）若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍19．已知函數(shù)（，且）.（1）求函數(shù)的定義域；（2）是否存在實(shí)數(shù)a，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且最大值為1？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.20．有一批材料,可以建成長(zhǎng)為240米的圍墻.如圖,如果用材料在一面靠墻的地方圍成一塊矩形的場(chǎng)地,中間用同樣材料隔成三個(gè)相等面積的矩形,怎樣圍法才可取得最大的面積?并求此面積.21．已知函數(shù)（1）求出該函數(shù)最小正周期；（2）當(dāng)時(shí)，的最小值是-2，最大值是，求實(shí)數(shù)a，b的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、B【解題分析】先利用，得；再用換元法結(jié)合二次函數(shù)求函數(shù)最值.【題目詳解】，，當(dāng)時(shí)取最大值，.故選:B【題目點(diǎn)撥】易錯(cuò)點(diǎn)點(diǎn)睛：注意的限制條件.2、D【解題分析】轉(zhuǎn)化為求或的實(shí)根個(gè)數(shù)之和，再構(gòu)造函數(shù)可求解.【題目詳解】因?yàn)椋?，所以，所以或，令，則或，因?yàn)闉樵龊瘮?shù)，且的值域?yàn)椋院投加星抑挥幸粋€(gè)實(shí)根，且兩個(gè)實(shí)根不相等，所以原方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)為.故選：D3、A【解題分析】分析：先根據(jù)已知化簡(jiǎn)即得公差d.詳解：由題得4+4+d+4+2d=6,所以d=.故答案為A.點(diǎn)睛：本題主要考查等差數(shù)列的前n項(xiàng)和和等差數(shù)列的通項(xiàng)，意在考查學(xué)生對(duì)這些基礎(chǔ)知識(shí)的掌握水平.4、B【解題分析】逐一判斷每個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性即可.【題目詳解】是奇函數(shù)，但在R上不單調(diào)遞增，故A不滿足題意；既在R上單調(diào)遞增，又是奇函數(shù)，故B滿足題意；、不是奇函數(shù)，故C、D不滿足題意；故選：B5、D【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)性,可得關(guān)于的不等式組,解不等式組即可確定的取值范圍.【題目詳解】函數(shù)在R上為減函數(shù)所以滿足解不等式組可得.故選:D【題目點(diǎn)撥】本題考查了分段函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用,根據(jù)分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍,屬于中檔題.6、C【解題分析】令，∵,.∴函數(shù)在區(qū)間上有零點(diǎn)∴．選C7、C【解題分析】結(jié)合特殊值、差比較法確定正確選項(xiàng).【題目詳解】A：令，；，，則，，不滿足，故A錯(cuò)誤；B：a，b異號(hào)時(shí)，不等式不成立，故B錯(cuò)誤；C：，，，，即，故C正確；D：令，，不成立，故D錯(cuò)誤.故選：C8、C【解題分析】設(shè)，點(diǎn)代入即可求得冪函數(shù)解析式，進(jìn)而可求得定義域.【題目詳解】設(shè)，因?yàn)榈膱D象過(guò)點(diǎn)，所以，解得，則，故的定義域?yàn)楣蔬x：C9、C【解題分析】由題意分別計(jì)算出集合的補(bǔ)集和集合，然后計(jì)算出結(jié)果.【題目詳解】解：∵A＝（1，3），∴＝（﹣∞，1]∪[3，＋∞），∵，∴x﹣2＞0，∴x＞2，∴B＝（2，＋∞），∴（﹣∞，1]∪（2，＋∞），故選：C10、C【解題分析】令，則，從而，即可得到，然后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，進(jìn)而可得，解不等式可得答案【題目詳解】令，則，，所以，所以，令，則，所以，所以，所以在單調(diào)遞增，所以由，得，所以，解得，故選：C【題目點(diǎn)撥】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查不等式恒成立問(wèn)題，考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是換元后對(duì)不等式變形得，再構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解不等式.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】根據(jù)函數(shù)圖象平移法則和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解即可【題目詳解】將的圖象現(xiàn)左平移1個(gè)單位，再向下平移2個(gè)單位，可得到的圖象，因?yàn)榈膱D象恒過(guò)定點(diǎn)，所以恒過(guò)定點(diǎn)，故答案為：12、【解題分析】根據(jù)題意，有在R上恒成立，則，即可得解.【題目詳解】若函數(shù)f（x）=的定義域?yàn)镽，則在R上恒成立，則，解得：，故答案為：.13、【解題分析】由正弦定理、余弦定理得答案：14、2【解題分析】根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的定義可得，進(jìn)而有，整理計(jì)算即可得出結(jié)果.【題目詳解】因?yàn)楹瘮?shù)又兩個(gè)零點(diǎn)，所以，即，得，即，所以.故答案為：215、【解題分析】設(shè)扇形的半徑為，則扇形的面積為，直角三角形中，，，面積為，由題意得，∴，∴，故答案為.點(diǎn)睛：本題考查扇形的面積公式及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題；設(shè)出扇形的半徑，求出扇形的面積，再在直角三角形中求出高，計(jì)算直角三角形的面積，由條件建立等式，解此等式求出與的關(guān)系，即可得出結(jié)論.16、【解題分析】根據(jù)分段函數(shù)的解析式作出函數(shù)圖象，將方程有且僅有1個(gè)實(shí)數(shù)根轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有一個(gè)交點(diǎn)，然后數(shù)形結(jié)合即可求解.【題目詳解】作出函數(shù)的圖象，如圖：結(jié)合圖象可得：，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1），（2），【解題分析】（1）首先利用兩角和的正弦公式及輔助角公式將函數(shù)化簡(jiǎn)，再代入求值即可；（2）由的取值范圍求出的范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)樗约?，所以，【小?wèn)2詳解】解：由（1）可知，∵，∴，∴，∴，∴，令，即時(shí)取到最大值，，令，即時(shí)取到最小值.18、（1）（2）【解題分析】(1)由即可列方程求出a的值；(2)化簡(jiǎn)f(x)解析式，利用進(jìn)行換元，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn)進(jìn)行討論.【小問(wèn)1詳解】由得，即，，解得，∵，∴；【小問(wèn)2詳解】，令，則當(dāng)時(shí)，，，，在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，在上無(wú)零點(diǎn).∵a＞1，在內(nèi)為增函數(shù).①若在內(nèi)有且只有一個(gè)零點(diǎn)，內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，故只需，解得；②若為的零點(diǎn)，內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，則，得，經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是19、（1）（2）【解題分析】（1）根據(jù)對(duì)數(shù)型函數(shù)定義的求法簡(jiǎn)單計(jì)算即可.（2）利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判斷可知，然后依據(jù)題意可得進(jìn)行計(jì)算即可.【小問(wèn)1詳解】由題意可得，即，因?yàn)?，所以解?故的定義域?yàn)?【小問(wèn)2詳解】假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且最大值為1.設(shè)函數(shù)，由，得，所以在區(qū)間上減函數(shù)且恒成立，因?yàn)樵趨^(qū)間上單調(diào)遞減，所以且，即.又因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為1，所以，整理得，解得.因?yàn)?，所以，所以存在?shí)數(shù)，使函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，并且最大值為120、當(dāng)面積相等的小矩形的長(zhǎng)為時(shí)，矩形面積最大，【解題分析】設(shè)每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，依題意可知，代入矩形的面積公式，根據(jù)基本不等式即可求得矩形面積的最大值.【題目詳解】設(shè)每個(gè)小矩形的長(zhǎng)為，寬為，依題