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湖南省株洲市醴陵市第二中學(xué)2024屆高一上數(shù)學(xué)期末經(jīng)典試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1.命題“”為真命題的一個(gè)充分不必要條件是()A. B.C. D.2.函數(shù)與則函數(shù)所有零點(diǎn)的和為A.0 B.2C.4 D.83.已知,,三點(diǎn),點(diǎn)使直線,且,則點(diǎn)D的坐標(biāo)是(
)A. B.C. D.4.如圖,以為直徑在正方形內(nèi)部作半圓,為半圓上與不重合的一動(dòng)點(diǎn),下面關(guān)于的說(shuō)法正確的是A.無(wú)最大值,但有最小值B.既有最大值,又有最小值C.有最大值,但無(wú)最小值D.既無(wú)最大值,又無(wú)最小值5.函數(shù)的圖象可能是()A. B.C. D.6.已知,則等于()A.1 B.2C.3 D.67.已知函數(shù)(且)圖像經(jīng)過(guò)定點(diǎn)A,且點(diǎn)A在角的終邊上,則()A. B.C.7 D.8.若,,,則()A. B.C. D.9.要得到函數(shù)y=sin(2x+)的圖像,只需把函數(shù)y=sin2x的圖像A.向左平移個(gè)單位 B.向左平移個(gè)單位C.向右平移個(gè)單位 D.向右平移個(gè)單位10.為參加學(xué)校運(yùn)動(dòng)會(huì),某班要從甲,乙,丙,丁四位女同學(xué)中隨機(jī)選出兩位同學(xué)擔(dān)任護(hù)旗手,那么甲同學(xué)被選中的概率是()A. B.C. D.二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11.已知,且,則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________12.已知函數(shù),若在區(qū)間上的最大值是,則_______;若在區(qū)間上單調(diào)遞增,則的取值范圍是___________13.設(shè)A為圓上一動(dòng)點(diǎn),則A到直線的最大距離為________14.請(qǐng)寫出一個(gè)最小正周期為,且在上單調(diào)遞增的函數(shù)__________15.已知且,則的最小值為______________16.已知兩定點(diǎn),,如果動(dòng)點(diǎn)滿足,則點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于__________三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.已經(jīng)函數(shù)(Ⅰ)函數(shù)的圖象可由函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)怎樣變化得出?(Ⅱ)求函數(shù)的最小值,并求使用取得最小值的的集合18.已知二次函數(shù).(1)若在的最大值為5,求的值;(2)當(dāng)時(shí),若對(duì)任意實(shí)數(shù),總存在,使得.求的取值范圍.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)(1)求實(shí)數(shù)的值;(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性,并利用定義證明20.某校對(duì)100名高一學(xué)生的某次數(shù)學(xué)測(cè)試成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),分成五組,得到如圖所示頻率分布直方圖.(1)求圖中a值;(2)估計(jì)該校高一學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的眾數(shù)和平均數(shù);(3)估計(jì)該校高一學(xué)生這次數(shù)學(xué)成績(jī)的75%分位數(shù).21.已知函數(shù)(1)求的最小正周期;(2)求的單調(diào)遞增區(qū)間
參考答案一、選擇題:本大題共10小題,每小題5分,共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、D【解題分析】先確定“”為真命題時(shí)的范圍,進(jìn)而找到對(duì)應(yīng)選項(xiàng).【題目詳解】“”為真命題,可得,因?yàn)?,故選:D.2、C【解題分析】分析:分別作與圖像,根據(jù)圖像以及對(duì)稱軸確定零點(diǎn)以及零點(diǎn)的和.詳解:分別作與圖像,如圖,則所有零點(diǎn)的和為,選C.點(diǎn)睛:對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)(或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù))問(wèn)題,可利用函數(shù)的值域或最值,結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn),分析函數(shù)的最值、極值;從圖象的對(duì)稱性,分析函數(shù)的奇偶性;從圖象的走向趨勢(shì),分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等3、D【解題分析】先設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo),由題中條件,且,建立D點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的方程,解方程即可求出結(jié)果.【題目詳解】設(shè)點(diǎn),則由題意可得:,解得,所以D點(diǎn)坐標(biāo)為.【題目點(diǎn)撥】本題主要考查平面向量,屬于基礎(chǔ)題型.4、D【解題分析】設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2,如圖建立平面直角坐標(biāo)系,則D(-1,2),P(cosθ,sinθ),(其中0<θ<π),∵cosθ∈(-1,1),∴∈(4,16).故選D.點(diǎn)睛:本題考查了向量的加法及向量模的計(jì)算,利用建系的方法,引入三角函數(shù)來(lái)解決使得思路清晰,計(jì)算簡(jiǎn)便,遇見正方形,圓,等邊三角形,直角三角形等特殊圖形常用建系的方法.5、C【解題分析】令,可判斷出g(x)的圖象就是將h(x)的圖象向上平移一個(gè)單位,由圖像的對(duì)稱性即可得到答案.【題目詳解】令則,即g(x)的圖象就是將h(x)的圖象向上平移一個(gè)單位即可.因?yàn)閔(-x)=f(-x)-f(x)=-h(x),即函數(shù)h(x)為奇函數(shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,所以的圖象關(guān)于(0,1)對(duì)稱.故選:C6、A【解題分析】利用對(duì)數(shù)和指數(shù)互化,可得,,再利用即可求解.【題目詳解】由得:,,所以,故選:A7、B【解題分析】令指數(shù)為零,即可求出函數(shù)過(guò)定點(diǎn),再根據(jù)三角函數(shù)的定義求出,最后根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系將弦化切,再代入計(jì)算可得;【題目詳解】解:令解得,所以,故函數(shù)(且)過(guò)定點(diǎn),所以由三角函數(shù)定義得,所以,故選:B8、A【解題分析】先變形,然后利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較大小即可【題目詳解】,因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù),且,所以,所以,故選:A9、B【解題分析】將目標(biāo)函數(shù)變?yōu)椋纱饲蟮萌绾螌⒆優(yōu)槟繕?biāo)函數(shù).【題目詳解】依題意,目標(biāo)函數(shù)可轉(zhuǎn)化為,故只需將向左平移個(gè)單位,故選B.【題目點(diǎn)撥】本小題主要考查三角函數(shù)圖像變換中的平移變換,屬于基礎(chǔ)題.10、C【解題分析】求出從甲、乙、丙、丁4位女同學(xué)中隨機(jī)選出2位同學(xué)擔(dān)任護(hù)旗手的基本事件,甲被選中的基本事件,即可求出甲被選中的概率【題目詳解】解:從甲、乙、丙、丁4位同學(xué)中隨機(jī)選出2位擔(dān)任護(hù)旗手,共有種方法,甲被選中,共有3種方法,甲被選中的概率是故選:C【題目點(diǎn)撥】本題考查通過(guò)組合的應(yīng)用求基本事件和古典概型求概率,考查學(xué)生的計(jì)算能力,比較基礎(chǔ)二、填空題:本大題共6小題,每小題5分,共30分。11、【解題分析】,該函數(shù)的定義域?yàn)椋?,故為上的奇函?shù),所以等價(jià)于,又為上的單調(diào)減函數(shù),,也即是,解得,填點(diǎn)睛:解函數(shù)不等式時(shí),要注意挖掘函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性12、①.②.【解題分析】根據(jù)定義域得,再得到取最大值的條件求解即可;先得到一般性的單調(diào)增區(qū)間,再根據(jù)集合之間的關(guān)系求解.【題目詳解】因?yàn)?,且在此區(qū)間上的最大值是,所以因?yàn)閒(x)max=2tan=,所以tan==,即ω=由,得令,得,即在區(qū)間上單調(diào)遞增又因在區(qū)間上單調(diào)遞增,所以<,即所以的取值范圍是故答案為:1,13、【解題分析】求出圓心到直線的距離,進(jìn)而可得結(jié)果.【題目詳解】依題意可知圓心為,半徑為1.則圓心到直線距離,則點(diǎn)直線的最大距離為.故答案:.14、或(不唯一).【解題分析】根據(jù)函數(shù)最小正周期為,可構(gòu)造正弦型、余弦型或者正切型函數(shù),再結(jié)合在上單調(diào)遞增,構(gòu)造即可.【題目詳解】解:根據(jù)函數(shù)最小正周期為,可構(gòu)造正弦型、余弦型或者正切型函數(shù),再結(jié)合在上單調(diào)遞增,構(gòu)造即可,如或滿足題意故答案為:或(不唯一).15、9【解題分析】因?yàn)榍遥匀〉玫忍?hào),故函數(shù)的最小值為9.,答案為9.16、4π【解題分析】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為(則,即(以點(diǎn)的軌跡是以為圓心,2為半徑的圓,所以點(diǎn)的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π.即答案為4π三、解答題:本大題共5小題,共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(Ⅰ)答案見解析;(Ⅱ)最小值,對(duì)應(yīng)的x的集合為.【解題分析】(Ⅰ)由二倍角公式降冪后,用誘導(dǎo)公式化正弦函數(shù),再由圖象平移得結(jié)論;(Ⅱ)利用兩角和的余弦公式化函數(shù)為一個(gè)角的余弦型函數(shù),利用余弦函數(shù)的性質(zhì)得最值【題目詳解】解:(Ⅰ),所以要得到的圖象只需要把的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度,再將所得的圖象向上平移個(gè)單位長(zhǎng)度即可.(Ⅱ).當(dāng)2x+=2k+時(shí),h(x)取得最小值.取得最小值時(shí),對(duì)應(yīng)的x的集合為.18、(1)2;(2).【解題分析】(1)時(shí),;當(dāng)時(shí),根據(jù)單調(diào)性可得答案;(2)依題意得,當(dāng)、時(shí),利用的單調(diào)性可得答案;當(dāng)和時(shí),結(jié)合圖象和單調(diào)性可得答案.【題目詳解】(1)當(dāng)時(shí),,因?yàn)?,故,;?dāng)時(shí),對(duì)稱軸,在上單調(diào)遞減,所以,不合題意,舍去,綜上可得:.(2)依題意得:,即,.①當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以,即;②當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以,即;③當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以,即;④當(dāng)時(shí),對(duì)恒成立,所以,即;綜上所述,的取值范圍為.【題目點(diǎn)撥】本題考查了二次函數(shù)恒成立的問(wèn)題,所謂“動(dòng)軸定區(qū)間法”,軸動(dòng)區(qū)間定:比較對(duì)稱軸與區(qū)間端點(diǎn)的位置關(guān)系,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性數(shù)形結(jié)合判斷取得最值的點(diǎn),需要分類討論.19、(1);(2)為減函數(shù);證明見解析【解題分析】(1)根據(jù)奇函數(shù)的定義,即可求出;(2)利用定義證明單調(diào)性【題目詳解】解:(1),由得,解得另解:由,令得代入得:驗(yàn)證,當(dāng)時(shí),,滿足題意(2)為減函數(shù)證明:由(1)知,在上任取兩不相等的實(shí)數(shù),,且,,由為上的增函數(shù),,,,,則,函數(shù)為減函數(shù)【題目點(diǎn)撥】定義法證明函數(shù)單調(diào)性的步驟:(1)取值;(2)作差;(3)定號(hào);(4)下結(jié)論20、(1)(2)眾數(shù)為,平均數(shù)為(3)【解題分析】(1)由頻率分布直方圖的性質(zhì),列出方程,即可求解;可得,(2)根據(jù)頻率分布直方圖的中眾數(shù)的概念和平均數(shù)的計(jì)算公式,即可求解;(3)因?yàn)?0到80的頻率和為0.65,50到90的頻率和為0.9,結(jié)合百分?jǐn)?shù)的計(jì)算方法,即可求解.【小問(wèn)1詳解】
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