同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式

1.2.3同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式目標(biāo)導(dǎo)航課標(biāo)要求1.理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,會(huì)用解方程組的通法求三角函數(shù)值.2.會(huì)用數(shù)形結(jié)合的思想解決有關(guān)求值問(wèn)題.素養(yǎng)達(dá)成通過(guò)對(duì)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式的學(xué)習(xí),體會(huì)事物間的普通聯(lián)系規(guī)律,培養(yǎng)辯證唯物主義思想.在恒等式證明的過(guò)程中,提高分析問(wèn)題的能力,從而提高邏輯推理能力.新知探求課堂探究新知探求·素養(yǎng)養(yǎng)成知識(shí)探究同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式(1)平方關(guān)系:

;(2)商數(shù)關(guān)系:

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sin2α+cos2α=1【拓展延伸】已知某角的三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值注意事項(xiàng)(1)已知某角的三角函數(shù)值,求它的其他各三角函數(shù)值時(shí),要注意角所在的象限.(2)如果所給的三角函數(shù)值是字母給出的,且沒(méi)有指定角在哪個(gè)象限,那么就需要結(jié)合數(shù)學(xué)中分類討論的思想來(lái)確定角的其他三角函數(shù)值.自我檢測(cè)CBA4.已知sinα=5cosα,則sinαcosα的值為

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類型一已知某角的三角函數(shù)值,求它的其余各三角函數(shù)值課堂探究·素養(yǎng)提升方法技巧解答此類題目的關(guān)鍵在于充分借助已知角的三角函數(shù)值,去縮小角的范圍.在解答過(guò)程中如果角α所在象限已知,則另兩個(gè)三角函數(shù)值結(jié)果唯一;若角α所在象限不確定,則應(yīng)分類討論,需特別注意;若已知三角函數(shù)值以字母a給出,應(yīng)就α所在象限討論.方法技巧關(guān)于sinα、cosα的齊次式就是式子中的每一項(xiàng)都是關(guān)于sinα、cosα的式子且它們的次數(shù)之和相同,設(shè)為n次,解題時(shí),分子、分母同除以cosα的n次冪,即可化為關(guān)于tanα的式子,再計(jì)算就簡(jiǎn)單多了.類型二sinα±cosα與sinα·cosα的關(guān)系及應(yīng)用(1)求sinA·cosA;(2)求tanA的值.方法技巧

(1)在三個(gè)式子sinα+cosα,sinα-cosα,sinαcosα中,已知其中一個(gè),可以求出其余兩個(gè).(2)由sinαcosα求sinα±cosα?xí)r,要注意判斷符號(hào).答案:2類型三三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)與證明思路點(diǎn)撥:(1)此題方法很多,不管哪種方法,它的出發(fā)點(diǎn)都是使項(xiàng)數(shù)盡可能少,次數(shù)盡可能低,函數(shù)種類盡可能少.思路點(diǎn)撥:(2)靈活運(yùn)用sin2α+cos2α=1及其變形形式.方法技巧(1)解答此類題目的關(guān)鍵在于公式的靈活運(yùn)用,切實(shí)分析好同角三角函數(shù)間的關(guān)系.化簡(jiǎn)過(guò)程中常用的方法有:①化切為弦,即把非正、余弦的函數(shù)都化成正、余弦函數(shù),從而減少函數(shù)名稱,達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.②對(duì)于含有根號(hào)的,常把根號(hào)下化成完全平方式,然后去根號(hào)達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.③對(duì)于化簡(jiǎn)含高次的三角函數(shù)式,往往借助于因式分解,或構(gòu)造sin2α+cos2α=1,以降低函數(shù)次數(shù),達(dá)到化簡(jiǎn)的目的.(2)證明三角恒等式的實(shí)質(zhì)是清除等式兩端的差異,有目的地化簡(jiǎn).常用方法是:從左向右證;從右向左證