大學物理B層次-第四章 狹義相對論

第四章狹義相對論(specialrelativity)愛因斯坦Einstein(1879—1955)1

愛因斯坦的相對論分為狹義相對論和廣義相對論。前者分析時空的相對性,建立高速運動力學方程;后者論述彎曲時空和引力理論。

相對論和量子理論是20世紀物理學的兩個最偉大的科學發(fā)現。我們首先介紹相對論，再討論量子論。

本章僅限于介紹狹義相對論的內容。狹義相對論討論的主要問題是：時空觀，即討論時間、空間及物質運動之間的關系。狹義：討論慣性系間的時空關系。21.伽利略變換—經典力學時空觀的數學表達

設慣性系S′相對慣性系S以速度u沿x軸正方向作勻速直線運動，§4-1

伽利略變換和經典力學時空觀

現在從S、S′系對同一質點P進行觀測，它在兩慣性系中的時空關系為：

且兩慣性系的各對應坐標軸相互平行,而當t=t′=0時兩坐標系的原點o與o′重合。?PxySuutxoz3速度變換與加速度變換:zzyyxxaaaaaa=￠=￠=￠a=a′4

經典力學認為,物體的質量與運動無關，于是有a=a′

這就是說,

力學規(guī)律(牛頓運動定律)對一切慣性系來說,都具有相同的形式;或者說,在研究力學規(guī)律時，一切慣性系都是等價的。力學規(guī)律(牛頓運動定律)在伽利略變換下的這種不變性，叫做力學相對性原理，或伽利略相對性原理。

應當注意：這里說的不變，是力學規(guī)律(牛頓運動定律)的形式不變，而不是所有的力學量的形式不變。52.經典力學的時空觀(1)同時性是絕對的。S(2)時間間隔是絕對的?；驅憺镾：兩事件同時發(fā)生，

t2-t1=0S′：t2′-t1′=t2-t1=0即在S′系兩事件也是同時發(fā)生的。6(3)空間間隔(距離)是絕對的。S

這就是說，同時性、時間間隔和空間距離都是絕對的，與參考系的選擇無關。而且，時間和空間是彼此獨立的、互不相關的，并且獨立于物質和運動之外。這就是經典力學的時空觀,也稱絕對時空觀。7這種絕對時空觀念，只適用于低速運動(并與通常人們頭腦中的時空觀念一致)；而在高速運動中，它的缺陷就明顯表現出來了。

3.伽利略變換的困難

首先是電磁現象的規(guī)律問題。

如果用伽利略變換對電磁現象的基本規(guī)律(麥克斯韋方程組)進行變換,發(fā)現這些規(guī)律對不同的慣性系并不具有相同的形式?？梢?電磁現象的基本規(guī)律不符合伽利略變換！

另一個問題是真空中的光速問題。大家都知道，真空的光速是c?？蛇@個c是對什么參考系來說的呢？8

如果一個人以速度u平行于光的傳播方向運動，在你看來，他測得的光速應該是

式中

o、o是兩個與參考系無關的常量,因此c也應該與參考系無關。這些事實表明，光波或電磁波的運動不服從伽利略變換!c′=c±u可根據麥克斯韋電磁理論，光在真空中的速率由下式決定9

伽利略變換和電磁規(guī)律的矛盾引導人們去思考:是伽利略變換正確而電磁現象的基本規(guī)律不符合相對性原理呢?還是電磁現象的基本規(guī)律符合相對性原理而伽利略變換應該修正呢?在這些重大問題面前，當時許多著名的物理學家絞盡腦汁，仍一籌莫展。有的把這形容為物理學晴朗天空邊際上的一朵烏云，預感到物理學中一場重大革命即將發(fā)生。1905年，富于創(chuàng)新精神的年僅26歲的青年物理學家愛因斯坦脫穎而出，對此進行了深入的研究,力排眾議，發(fā)表了《論動體的電動力學》這篇論文,建立了嶄新的時空觀念，對此問題作出了對整個物理學帶有根本性變革意義的回答。10§4-2愛因斯坦狹義相對性的基本假設1.相對性原理

物理學定律在所有的慣性系中都具有相同的數學形式。

也就是說,物理學定律與慣性系的選擇無關,所有的慣性系都是等價的。2.光速不變原理

在所有慣性系中,真空中的光速都具有相同的量值c。

也就是說,不管光源與觀察者之間的相對運動如何,在任一慣性系中的觀察者所觀測的真空中光速都是相等的。11§4-3洛侖茲變換設慣性系S

相對慣性系S以速度u沿x軸正方向作勻速直線運動(如圖)，兩坐標原點o與o

在t=t

=0時重合?，F在我們來求此時在共同原點發(fā)生的一個事件(如一個光脈沖)，在p點觀察時這個事件在S和S

系中的時空關系。顯然y=y

,z=z

所以只需確立(x,t)與(x

,t

)之間的變換關系。?PxySuutxoz1.洛侖茲坐標變換12

根據時空均勻性,我們有理由假定，對任一點P有如下線性關系關系：即：x=x′+ut′=0+C同理,考慮S′的原點o′,則有對于S系的原點o,任一時刻

S系:

x=0。

S′系:x′=-ut′。

根據狹義相對論的假設1—相對性原理,這兩個慣性系是等價的,因此x?PxySuutxoz13

根據狹義相對論的假設2—光速不變原理,在S系和S

系看來，光信號到達P點時的坐標應分別為將兩式相乘得于是得x=ct，x

=ct

由前面的討論有：?PxySuutxoz14最后就得到洛侖茲坐標變換：S′

S正變換S

S′

逆變換15

(1)當u<<c時,洛侖茲變換式就變成伽利略變換式：

(2)洛侖茲變換是物理定律的試金石。(3)這里值得一提的是,洛侖茲變換中的一個重要的因子S′

S16

因而得出推論：任何物體相對于另一物體的速度不可能等于或大于真空中的光速。即真空中的光速c是一切物體運動速度的極限。

迄今為止的實驗完全支持了相對論的這一觀點,人們還未發(fā)現存在以超光速運動的客體。

這一推論也符合因果律的要求。

如果u≥c,則就變?yōu)闊o窮大或有虛數值,這顯然是沒有物理意義的。17§4-4狹義相對論的時空觀1.長度收縮

設有一剛性棒，相對于S

系靜止,沿x

軸方向放置,如圖所示。zxySuox1x2在S′系測量，長度為在S系測量，長度為

在S系中觀察,棒是運動的,因此必須在同一時刻測量該棒兩端點的坐標，即t2-t1=0。18由洛侖茲坐標變換式,有由前：

這就是說,與棒有相對運動的觀察者測得棒的長度l要比與棒相對靜止的觀察者測得棒的長度lo(稱為固有長度或原長)要短一些。即物體沿運動方向縮短了。最后得(同時)19

應當指出,長度收縮是一種相對論效應,并非棒的材料真的收縮了。由于長度收縮只發(fā)生在物體運動的方向上,與物體運動方向垂直的方向上觀測長度仍與原長相等,所以物體的形狀、體積、密度等也會相應發(fā)生變化。

2.時間膨脹(或鐘慢)

設有兩事件發(fā)生在S

系中的同一地點，但不同時刻，即S

系：(用固定在S′系中的時鐘來量度)S系：(用固定在S系中的時鐘來量度)20由洛侖茲坐標變換式(7-13),有但

x

=0,于是有(同地)

也就是說,由相對事件發(fā)生地點運動的慣性系中所量出的時間,與由相對事件發(fā)生地點靜止的慣性系中所量出的時間(稱為固有時間或原時),要延長一些(時間膨脹)。換句話說,與時鐘作相對運動的觀察者來觀察時,運動的時鐘走得慢些(鐘慢)。21

應當注意,時間膨脹或運動的時鐘變慢,完全來自相對性時空效應,與鐘表的具體運轉無關。并且不僅對時鐘(包括擺的振動周期或晶格振蕩的頻率等)如此,對一切生長變化的進程(包括生物鐘,如心跳的頻率等)也如此。

上面說的時間膨脹，是與事件發(fā)生地點作相對運動的慣性系S中的觀察者作的結論，她認為S

系中運動的時鐘變慢了。反過來，S

系中的觀察者看到S系中的時鐘也是在運動的，于是認為是S系中的時鐘變慢了。究竟是哪里的時鐘變慢了？應當說，兩個慣性系中的觀察者作的結論都是對的。因為所有慣性系都是等價的。22

3.同時的相對性

設A、B兩事件同時發(fā)生在S

系的不同地點，即

可見，在S

系看來同時發(fā)生的事件，在S系看來就不是同時發(fā)生的。所以同時性是相對的。容易發(fā)現，在一個慣性系中只有同時又同地發(fā)生的事件，在另一個慣性系看來才是同時的。既然同時性是相對的，那么早與晚的時間順序是否也是相對的呢？即一個參考系早發(fā)生的事件，在另一個參考系看來是否會晚發(fā)生呢？S:23

這種情況是完全可能的。但具有因果關系的事件的時間順序那是不會顛倒的。

綜上所述，按照相對論，時空與物質的運動是相互聯(lián)系的；空間距離、時間間隔、同時性也是相對的，它們隨物體與觀察者的相對運動狀態(tài)而改變。這就是狹義相對論的時空觀。(同地)

(同時)

小結：24

例題4-1試證明：

（1）如果兩個事件在某慣性系中是發(fā)生在同一地點，則對一切慣性系來說，該慣性系中測得的兩事件的時間間隔最短。

（2）如果兩個事件在某慣性系中是同時發(fā)生的，則對一切慣性系來說，該慣性系中測得的兩事件的空間距離最短。證：（2）（1）25

例題4-2

在慣性系K中觀測到相距

x=5×106m的兩點間相隔t=10-2s發(fā)生了兩事件,而在相對于K系沿x軸方向勻速運動的慣性系K

中觀測到這兩事件卻是同時發(fā)生的。試計算在K

系中發(fā)生這兩事件的地點間的距離

x

是多少？

解能否用長度收縮公式？可以，由于K

系中兩事件是同時發(fā)生的。解得:u=0.6cK：K

：或26

例題4-3

在慣性系S中，有兩事件發(fā)生于同一地點，且第二事件比第一事件晚發(fā)生

t=2s;而在另一個慣性系S

中,觀測到第二事件比第一事件晚發(fā)生

t

=3s。那么在S

系中，測得發(fā)生這兩事件的地點之間的距離

x

是多少？

解：能否用時間膨脹公式？可以，由于在S系中，有同地的條件。解得：u=2.24×108(m/s)S

:S：

x=0,

t=2=6.71×108(m)27

例題4-4

一宇宙飛船相對地球以0.8c(c表示真空中的光速)的速度飛行。一光脈沖從船尾傳到船頭,飛船上的觀察者測得飛船長為90m，地球上的觀察者測得光脈沖從船尾發(fā)出和到達船頭傳播了多少距離？解能否用長度收縮公式計算？

因為光脈沖從船尾傳到船頭這個事件無論在哪個慣性系看來都不具有同時性。應直接用洛侖茲變換計算。不行！u=0.8c,=270m28

例題4-5

在實驗室測得,一細直棒以0.5c的速度運動，長度為1米，且它與運動方向成45°角，求棒的固有長度。

解固有長度比1米長還是短？長。

S(實驗室)：長度為1米，與運動方向成45°角。

S

(棒):棒只在運動方向變短。=1.08m固有長度:

x45°

yuozxyS292.相對論的速度變換§4-3洛侖茲變換將洛侖茲坐標變換兩邊微分：30將第1式除以第4式：就得31正變換S

S逆變換S

S

32

例題4-6一原子以0.5c的速度離開一觀察者，該原子又沿運動方向向前以0.8c的速度發(fā)射一個電子，求電子相對于觀察者的速度。解電子相對于觀察者的速度：=0.5c+0.8c=1.3c對嗎？S(觀察者)：S′(原子)：u=0.5c,

錯！33

例題4-7在地面上觀察，甲、乙兩火箭分別以0.5c和0.75c的速度相向飛行,求：(1)兩火箭的相對速度；(2)地面上觀測到的兩火箭的接近速度。解(1)S(地面)：S

(甲)：u=0.5c(甲),

x=0.75c(乙)-=-0.91c

(2)

接近=0.5c+0.75c=1.25c

這不違背相對論。相對論說，單獨看每一個物體的速度都不會超過光速。但同時觀測兩個物體的(接近)速度超光速是不足為奇的。這是相對論中速度的真正涵義。zxySou?甲?乙34

例題4-8地面上觀察，火箭A以0.8c的速度向正北飛行，火箭B以0.6c的速度向正西飛行，求由火箭A相對火箭B的速度。解：S(地面)：S

(B)：=0.6c=0.64c

=

xi+

yj′′′=0.6ci+0.64cjzxySuoAB35§4-5狹義相對論動力學基礎1.相對論中的動量和質量質點動量的定義仍為:

S系:

A球:速度

(向右),質量m，

B球:靜止,質量為mo；由于A、B作完全非彈性正撞，由動量守恒有

假定有兩個完全相