微積分ppt1(華科課件)

同學(xué)們好同學(xué)們好！同學(xué)們好！知識(shí)是一種快樂(lè)，而好奇則是知識(shí)的萌芽。培根10/6/20231

第四章微分中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

10/6/20232一、羅爾(Rolle)定理二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理第一節(jié)微分中值定理四、小結(jié)思考題10/6/20233一、羅爾(Rolle)定理定理(Rolle)若函數(shù)f(x)滿(mǎn)足（1）在閉區(qū)間[a,b]上連續(xù)（2）在開(kāi)區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo)（3）在區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等f(wàn)(a)=f(b)例如,10/6/20234幾何解釋:若連續(xù)曲線(xiàn)弧的兩個(gè)端點(diǎn)的縱坐標(biāo)相等，且除去兩個(gè)端點(diǎn)外處處有不垂直于橫軸的切線(xiàn)，物理解釋:變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.10/6/20235點(diǎn)擊圖片任意處播放\暫停物理解釋:變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng)在折返點(diǎn)處,瞬時(shí)速度等于零.10/6/20236證10/6/2023710/6/20238注①Rolle定理有三個(gè)條件：閉區(qū)間連續(xù)；開(kāi)區(qū)間可導(dǎo);區(qū)間端點(diǎn)處的函數(shù)值相等；這三個(gè)條件只是充分條件，而非必要條件如：y=x2在[-1,2]上滿(mǎn)足(1),(2)，不滿(mǎn)足(3)卻在(-1,2)內(nèi)有一點(diǎn)x=0使但定理的條件又都是必須的，即為了保證結(jié)論成立三個(gè)條件缺一不可。例如,10/6/20239又例如,在[0,1]上除去x=0不連續(xù)外，滿(mǎn)足羅爾定理的一切條件再例如在[0,1]上除去端點(diǎn)的函數(shù)值不相等外，滿(mǎn)足羅爾定理的一切條件②羅爾定理的結(jié)論是在開(kāi)區(qū)間內(nèi)至少有一使導(dǎo)數(shù)等0的點(diǎn)。有的函數(shù)這樣的點(diǎn)可能不止一個(gè)；10/6/202310另外還要注意點(diǎn)ξ并未具體指出，即使對(duì)于給定的具體函數(shù)，點(diǎn)ξ也不一定能指出是哪一點(diǎn)，如在[-1，0]上滿(mǎn)足羅爾定理的全部條件，而但卻不易找到使但根據(jù)定理，這樣的點(diǎn)是存在的。即便如此，我們將會(huì)看到，這絲毫不影響這一重要定理的應(yīng)用10/6/202311例12）唯一性矛盾,由零點(diǎn)定理即為方程的正實(shí)根.證：1）存在性10/6/202312二、拉格朗日(Lagrange)中值定理10/6/202313幾何解釋:證分析:弦AB方程為10/6/202314作輔助函數(shù)拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精確地表達(dá)了函數(shù)在一個(gè)區(qū)間上的增量與函數(shù)在這區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系.10/6/202315拉格朗日中值公式又稱(chēng)有限增量公式.拉格朗日中值定理又稱(chēng)有限增量定理.微分中值定理推論1推論210/6/202316例4證10/6/202317例5證由上式得10/6/202318例6拉格朗日中值定理.解10/6/2