高二數(shù)學上學期期中測試卷05（解析版）

高二數(shù)學上學期期中測試卷05一、選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．）1.當m＜1時，復數(shù)m（3+i）﹣（2+i）在復平面內對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】D【解析】【分析】原復數(shù)化為（3m﹣2）+i（m﹣1），再根據(jù)m的范圍確定.【詳解】m（3+i）﹣（2+i）化簡得（3m﹣2）+i（m﹣1），∵∴3m﹣2＞0，m﹣1＜0∴所對應的點在第四象限故選：D.【點睛】本題主要考查復數(shù)的代數(shù)形式，考查了復平面內各象限復數(shù)的特點，屬于基礎題.2.曲線與曲線（且）的（）A.長軸長相等 B.短軸長相等 C.焦距相等 D.離心率相等【答案】C【解析】【分析】分析可知兩曲線都表示橢圓，求出兩橢圓的長軸長、短軸長、焦距以及離心率，可得出合適的選項.【詳解】曲線表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，離心率為，焦距為的橢圓．曲線（且）表示焦點在軸上，長軸長為，短軸長為，焦距為，離心率為的橢圓．故選：C.3.數(shù)列的通項若是遞增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一次函數(shù)以及冪函數(shù)的性質即可結合數(shù)列的特征求解.【詳解】由已知得解得．故選:A．4.是從點P出發(fā)的三條射線，每兩條射線的夾角均為，那么直線與平面所成角的余弦值是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】作圖，找到直線在平面上的投影在構建多個直角三角形，找出邊與角之間的關系，繼而得到線面角；也可將三條射線截取出來放在正方體中進行分析.【詳解】解法一：如圖，設直線在平面的射影為，作于點G，于點H，連接，易得，又平面，則平面，又平面，則，有故．已知，故為所求．解法二：如圖所示，把放在正方體中，的夾角均為．建立如圖所示的空間直角坐標系，設正方體棱長為1，則，所以，設平面的法向量，則令，則，所以，所以．設直線與平面所成角，所以，所以．故選B．5.在流行病學中，基本傳染數(shù)是指在沒有外力介入，同時所有人都沒有免疫力的情況下，一個感染者平均傳染的人數(shù)．一般由疾病的感染周期、感染者與其他人的接觸頻率、每次接觸過程中傳染的概率決定．對于，而且死亡率較高的傳染病，一般要隔離感染者，以控制傳染源，切斷傳播途徑．假設某種傳染病的基本傳染數(shù)，平均感染周期為7天（初始感染者傳染個人為第一輪傳染，經(jīng)過一個周期后這個人每人再傳染個人為第二輪傳染……）那么感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要的天數(shù)為（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.35 B.42 C.49 D.56【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意列出方程，利用等比數(shù)列的求和公式計算n輪傳染后感染的總人數(shù)，得到指數(shù)方程，求得近似解，然后可得需要的天數(shù).【詳解】感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要n輪傳染,則每輪新增感染人數(shù)為，經(jīng)過n輪傳染，總共感染人數(shù)為：，∵，∴當感染人數(shù)增加到1000人時，，化簡得，由，故得，又∵平均感染周期為7天，所以感染人數(shù)由1個初始感染者增加到1000人大約需要天，故選：B【點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程．6.半徑為的圓內有一點，已知，過點的條弦的長度構成一個遞增的等差數(shù)列，則的公差的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】計算出過點的直線截圓所得弦長的最大值和最小值，即可求得數(shù)列的公差的取值范圍.【詳解】設圓心到過點的直線的距離為，則，設過點的直線截圓的弦長為，則，即過點的直線截圓所得弦長的最大值為，最小值為，設等差數(shù)列的公差為，則且，解得.故選：A.7.已知，函數(shù)在上存在最值，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的最值點為，進而根據(jù)不等式得到，由的取值范圍即可求解.【詳解】當取最值時，．即，由題知，故．即．因為時，；時，；顯然當時，，此時在上必有最值點．綜上，所求．故選:D．8.已知函數(shù)，則存在，對任意的有（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱軸，結合二次函數(shù)的單調性，即可判斷AC，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質即可判斷B,取特殊值即可排除D.【詳解】由題意可知，函數(shù)圖象開口向上，對稱軸為，A選項，當時，根據(jù)二次函數(shù)性質知不成立，故A錯誤；B選項，為四次函數(shù)，因為為指數(shù)函數(shù)，且單調遞增，當取得足夠大的實數(shù)時，一定有，故B錯誤；C選項，，則只需的對稱軸位于左邊即可，即，所以即可，故C正確；D選項，分別取，可得，對二次函數(shù)來說是不可能，故D錯誤．故選：C．二、選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．）9.已知圓，則下列說法正確的是（）A.直線與圓A相切B.圓A截y軸所得的弦長為4C.點在圓A外D.圓A上的點到直線的最小距離為3【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)圓心到直線的距離即可判斷AD,根據(jù)圓的弦長可判斷B,根據(jù)點與圓的位置關系可判斷C.【詳解】由圓得，所以圓心，半徑，對于A：圓心A到直線的距離為1，所以直線與圓A相交，故A錯誤；對于B：圓心A在y軸上，則所截得的弦長為直徑等于4，故B正確；對于C：點到圓心A的距離，所以點B在圓A外，故C正確；對于D：圓心A到直線的距離，所以圓A上的點到直線的最小距離為，故D錯誤．故選:BC．10.已知是的前n項和，下列結論正確的是（）A.若為等差數(shù)列，則（p為常數(shù)）仍然是等差數(shù)列B.若為等差數(shù)列，則C.若為等比數(shù)列，公比為q，則D.若為等比數(shù)列，則“”是“”的充要條件【答案】AC【解析】【分析】結合等差數(shù)列求和公式求出，根據(jù)等差數(shù)列定義判斷A；結合等差數(shù)列前項和的性質判斷B；根據(jù)數(shù)列的前項和的定義及等比數(shù)列的通項公式判斷C；舉反例判斷D.【詳解】對于A，由，故．所以，所以（p為常數(shù)）是等差數(shù)列，A正確；對于B，由為等差數(shù)列，則仍成等差數(shù)列，故有，所以，設數(shù)列的公差為，則，當時，，B不正確；對于C，，故，C正確；對于D，令，則為等比數(shù)列，且，但，故“”不是“”的必要條件，D不正確．故選：AC．11.點是正方體中側面正方形內的一個動點，正方體棱長為，則下面結論正確的是（）A.滿足的點的軌跡長度為B.點存在無數(shù)個位置滿足直線平面C.在線段上存在點，使異面直線與所成的角是D.若是棱的中點，平面與平面所成銳二面角的正切值為【答案】ABD【解析】【分析】利用線面垂直判定可證得平面，可知點軌跡即為平面與平面的交線，由此可得軌跡長度，知A正確；利用面面平行得判定可證得平面平面，可知當軌跡為平面與平面的交線，由此可知B正確；以為坐標原點建立空間直角坐標系，設可求得點坐標，利用線線角的向量求法可得關于的函數(shù)形式，由函數(shù)的最值可得線線角最小值大于，知C錯誤；利用二面角的向量求法可求得平面與平面所成銳二面角的余弦值，進而得到正切值，知D正確.【詳解】對于A，平面，平面，；四邊形為正方形，；又平面，，平面，點軌跡即為平面與平面的交線，即為，點軌跡軌跡長度為，A正確；對于B，，平面，平面，平面；同理可得：平面，又，平面，平面平面，軌跡為平面與平面的交線，即，點存在無數(shù)個位置滿足直線平面，B正確；對于C，以為坐標原點，正方向為軸，可建立如圖所示空間直角坐標系，則，，，，，，設，，，則，，，則當時，；與夾角大于，C錯誤；對于D，由C可得空間直角坐標系如下，則，，，，，設平面的法向量，，令，解得：，，，又平面軸，平面的一個法向量，，，即平面與平面所成銳二面角的正切值為，D正確.故選：ABD.【點睛】關鍵點點睛：本題考查立體幾何中的動點軌跡問題、線線角與面面角的求解問題；本題求解動點軌跡的關鍵是能夠借助線面垂直、面面平行的性質，找到動點所在的其他平面，進而得到動點軌跡為兩平面的交線.12.已知雙曲線的左、右兩個頂點分別是，左、右兩個焦點分別是，P是雙曲線上異于的一點，給出下列結論，其中正確的是（）A.存在點P，使得B.存在點P，使得直線的斜率的絕對值之和C.使得為等腰三角形的點P有且僅有四個D.若，則【答案】AD【解析】【分析】由雙曲線的定義，可判斷A正確；由，結合雙曲線的方程，得到可判斷B錯誤；結合雙曲線的幾何性質，可判斷C錯誤；結合，得到，可判斷D正確．【詳解】設．對于A，由雙曲線的定義，只需即可，即只需P點為線段的中垂線與雙曲線的交點，故A正確；對于B，因為，所以，又，所以，故，當且僅當時等號成立，又分析得等號不可能成立，故B錯誤；對于C，若P在第一象限，則當時，，為等腰三角形；當時，也為等腰三角形，故點P在第一象限且使得為等腰三角形的點P有兩個．同理，在第二、三、四象限且使得為等腰三角形的點P也各有兩個，因此使得為等腰三角形的點P共有八個，故C錯誤；對于D，由，得，從而，故D正確．故選：AD．三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分．）13.從長度為1，3，5，7，9的5條線段中任取3條，則這三條線段能構成一個三角形的概率為___________．【答案】##0.3【解析】【分析】由列舉法得所有基本事件，根據(jù)古典概型的概率計算公式即可求解.【詳解】從5條線段中任取3條線段的基本事件有,總數(shù)為10，能構成三角形的情況有：，共3個基本事件，故概率為．故答案為：14.已知直三棱柱的所有頂點都在球O的球面上，，則球的表面積為___________．【答案】【解析】【分析】設和外接圓的圓心為，，則球心為的中點，在中由正弦定理可求得其外接圓半徑，結合球的性質可求球的半徑，進而求得其表面積．【詳解】設和的外心分別為D，E．由球的性質可得三棱柱的外接球的球心O是線段的中點，連接，設外接球的半徑為R，的外接圓的半徑r，因為，由余弦定理可得，由正弦定理可得，所以，而在中，可知，即，因此三棱柱外接球的表面積為．故答案為：．15.已知雙曲線C：的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，過F1的直線與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點．若，，則C的離心率為____________．【答案】2.【解析】【分析】通過向量關系得到和，得到，結合雙曲線的漸近線可得從而由可求離心率.【詳解】如圖，由得又得OA是三角形的中位線，即由，得則有，又OA與OB都是漸近線，得又，得．又漸近線OB的斜率為，所以該雙曲線的離心率為．【點睛】本題考查平面向量結合雙曲線的漸進線和離心率，滲透了邏輯推理、直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)．采取幾何法，利用數(shù)形結合思想解題．16.已知數(shù)列滿足．（1）若，則___________；（2）若對任意正實數(shù)t，總存在和相鄰兩項，使得成立，則實數(shù)取值范圍是___________．【答案】①.②.【解析】【分析】化簡遞推關系，證明數(shù)列為等差數(shù)列，利用等差數(shù)列通項公式求，化簡方程可得，結合連接列不等式求的取值范圍.【詳解】因為，所以，所以，故，所以，所以數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，（1）時，，所以，所以，（2）由已知可得，又為正實數(shù)，所以，，所以．所以，即．從而，即有，所以，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：；.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程及演算步驟．）17.在平面直角坐標系中，三個點到直線l的距離均為d，且．（1）求直線l的方程；（2）若圓C過點，且圓心在x軸的正半軸上，直線l被該圓所截得的弦長為，求圓C的標準方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何意義可判斷直線l為的三條中位線，結合可知為邊上的中位線，進而根據(jù)截距式即可求解方程，（2）由待定系數(shù)法，可根據(jù)圓的弦長公式列方程求解半徑和圓心即可.【小問1詳解】由幾何意義可知，直線l為的中位線，而O到邊的中位線距離為1．O到邊的中位線距離為3．O到邊上的中位線距離，故直線l只能為邊上的中位線，即直線l過點．故直線l的方程，即；【小問2詳解】設圓的標準方程為，則解得或0（舍去），，所以圓C的標準方程為18.如圖，四棱錐中，底面為矩形，平面，為中點，F(xiàn)為中點，．（1）證明：∥平面；（2）求點到面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取的中點，連接，由三角形中位線定理結合矩形的性質可得四邊形為平行四邊形，則∥，再由線面平行的判定定理可證得結論，（2）由已知可得兩兩垂直，所以以點為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，求出平面的法向量，利用空間向量求解即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接,因為F為中點，所以∥，，因為為中點，所以，因為∥，，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面；【小問2詳解】因為平面，平面，所以，因為四邊形為矩形，所以，所以兩兩垂直，所以以點為坐標原點，以所在直線分別為軸建立空間直角坐標系，則，因為為中點，F(xiàn)為中點，所以，所以，，設平面的法向量為，則，令，則，所以點到平面的距離為.19.7月份，有一新款服裝投入某市場.7月1日該款服裝僅售出3件，以后每天售出的該款服裝都比前一天多3件，當日銷售量達到最大（只有1天）后，每天售出的該款服裝都比前一天少2件，且7月31日當天剛好售出3件．（1）求7月幾日該款服裝銷售最多，最多售出幾件．（2）按規(guī)律，當該市場銷售此服裝達到200件時，社會上就開始流行，而日銷售量連續(xù)下降并低于20件時，則不再流行．求該款服裝在社會上流行幾天．【答案】（1）7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件；（2）11天．【解析】【分析】（1）根據(jù)等差數(shù)列的特點列出式子即可求解；（2）求出數(shù)列的前n項和，根據(jù)題意列出不等式即可求解.【詳解】（1）設7月日售出的服裝件數(shù)為，最多售出件．由題意知，解得，∴7月13日該款服裝銷售最多，最多售出39件．（2）設是數(shù)列的前項和，由（1）及題意知，∴．∵，∴當時，由，得，當時，日銷售量連續(xù)下降，由，得，∴該款服裝在社會上流行11天（從7月12日到7月22日）．20.已知拋物線，其中，過B的直線l交拋物線C于M，N兩點．（1）當直線l垂直于x軸，且為直角三角形，求實數(shù)m的值；（2）若四邊形是平行四邊形，當點P在直線l上時，求實數(shù)m，使得．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量垂直，即可利用坐標運算求解，（2）根據(jù)平行得斜率關系，進而聯(lián)立方程得韋達定理，結合向量垂直由坐標運算即可求解.【小問1詳解】由題意，代入中，解得，不妨取，則，為直角三角形,故只能為直角，即，故或1，易知不合題意，舍去，故．【小問2詳解】由題意四邊形為平行四邊形，則，設直線，聯(lián)立得，由題意，判別式，，要使，則，又，即，化簡，得，即，代入得故．故時，有．21.已知數(shù)列的首項，且滿足．（1）求證：數(shù)列為等比數(shù)列；（2）設數(shù)列滿足求最小的實