正態(tài)分布為背景的概率模型（解析版）

正態(tài)分布為背景的概率模型思路引導思路引導1.求正態(tài)變量X在某區(qū)間內(nèi)取值的概率的基本方法(1)根據(jù)題目中給出的條件確定μ與σ的值．(2)將待求問題向[μ－σ，μ＋σ]，[μ－2σ，μ＋2σ]，[μ－3σ，μ＋3σ]這三個區(qū)間進行轉(zhuǎn)化．(3)利用X在上述區(qū)間的概率、正態(tài)曲線的對稱性和曲線與x軸之間的面積為1求出最后結(jié)果．2.母題呈現(xiàn)母題呈現(xiàn)【典例1】（2022·安徽滁州·?？寄M預測）為了監(jiān)控某臺機器的生產(chǎn)過程，檢驗員每天從該機器生產(chǎn)的零件中隨機抽取若干零件，并測量其尺寸（單位：）．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，可以認為這臺機器正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布．檢驗員某天從生產(chǎn)的零件中隨機抽取個零件，并測量其尺寸（單位：）如下：將樣本的均值作為總體均值的估計值，樣本標準差作為總體標準差的估計值．根據(jù)生產(chǎn)經(jīng)驗，在一天抽檢的零件中，如果出現(xiàn)了尺寸在之外的零件，就認為該機器可能出現(xiàn)故障，需要停工檢修．(1)試利用估計值判斷該機器是否可能出現(xiàn)故障；(2)若一臺機器出現(xiàn)故障，則立即停工并申報維修，直到維修日都不工作．根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗，一臺機器停工天的總損失額，、、、（單位：元）．現(xiàn)有種維修方案（一天完成維修）可供選擇：方案一：加急維修單，維修人員會在機器出現(xiàn)故障的當天上門維修，維修費用為元；方案二：常規(guī)維修單，維修人員會在機器出現(xiàn)故障當天或者之后天中的任意一天上門維修，維修費用為元．現(xiàn)統(tǒng)計該工廠最近份常規(guī)維修單，獲得機器在第天得到維修的數(shù)據(jù)如下：頻數(shù)將頻率視為概率，若機器出現(xiàn)故障，以機器維修所需費用與機器停工總損失額的和的期望值為決策依據(jù)，應選擇哪種維修方案？參考數(shù)據(jù)：，．參考公式：，．【解題指導】（1）利用參考數(shù)據(jù)計算出、的值，可得出、的估計值，可計算得出、的值，結(jié)合題中的數(shù)據(jù)檢驗可得出結(jié)論；（2）設(shè)選擇方案一、方案二的維修所需費用與機器停工總損失額分別為、元，列舉出的分布列，計算出、的值，比較大小后可得出結(jié)論.【解析】（1）解：由已知可得，，所以，，，所以，，，，故該機器出現(xiàn)了故障.（2）解：當時，一臺機器的總損失額為元；當時，一臺機器的總損失額為元；當時，一臺機器的總損失額為元；當時，一臺機器的總損失額為元.設(shè)選擇方案一、方案二的維修所需費用與機器停工總損失額分別為、元，選擇方案一，則元，選擇方案二，則的可能取值有：、、、，所以，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：所以，元，所以，，故選方案一較好.方法總結(jié)方法總結(jié)解決正態(tài)分布問題有三個關(guān)鍵點：(1)對稱軸x＝μ；(2)標準差σ；(3)分布區(qū)間．利用對稱性可求指定范圍內(nèi)的概率值；由μ，σ，分布區(qū)間的特征進行轉(zhuǎn)化，使分布區(qū)間轉(zhuǎn)化為3σ特殊區(qū)間，從而求出所求概率．注意只有在標準正態(tài)分布下對稱軸才為x＝0.模擬訓練模擬訓練1．【與建設(shè)成就融合】（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）年月日時分，搭載空間站夢天實驗艙成功發(fā)射，并進入預定軌道，夢天艙的重要結(jié)構(gòu)件導軌支架采用了打印的薄壁蒙皮點陣結(jié)構(gòu).打印是快速成型技術(shù)的一種，它是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù).隨著技術(shù)不斷成熟，打印在精密儀器制作應用越來越多.某企業(yè)向一家科技公司租用一臺打印設(shè)備，用于打印一批對內(nèi)徑有較高精度要求的零件.已知這臺打印設(shè)備打印出品的零件內(nèi)徑（單位：）服從正態(tài)分布.(1)若該臺打印了件這種零件，記表示這件零件中內(nèi)徑指標值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，求；(2)該科技公司到企業(yè)安裝調(diào)試這臺打印設(shè)備后，試打了個零件.度量其內(nèi)徑分別為（單位：）：、、、、，試問此打印設(shè)備是否需要進一步調(diào)試，為什么？參考數(shù)據(jù)：，，，【答案】(1)；(2)需要進一步調(diào)試，理由見解析【分析】（1）計算出一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率，分析可知，利用二項分布的期望公式可求得的值；（2）計算得出，，且，根據(jù)原則可得出結(jié)論.【詳解】（1）解：由題意知，，，則，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標值位于區(qū)間的概率即為因為，，所以，所以，所以.（2）解：服從正態(tài)分布，由于，則，，所以內(nèi)徑在之外的概率為，為小概率事件而，且，根據(jù)原則，機器異常，需要進一步調(diào)試.2．【與頻率分布直方圖融合】（2023·全國·模擬預測）某加盟連鎖店總部對旗下600個加盟店中每個店的日銷售額（單位：百元）進行了調(diào)查，如圖是隨機抽取的50個加盟店的日銷售額的頻率分布直方圖．若將日銷售額在的加盟店評定為“四星級”加盟店，日銷售額在的加盟店評定為“五星級”加盟店．(1)根據(jù)上述調(diào)查結(jié)果，估計這50個加盟店日銷售額的平均數(shù)和中位數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表，結(jié)果精確到0.1）；(2)若該加盟連鎖店總部旗下所有加盟店的日銷售額，其中近似為（1）中的樣本平均數(shù)，根據(jù)X的分布估計這600個加盟店中“五星級”加盟店的個數(shù)（結(jié)果精確到整數(shù)）；(3)該加盟連鎖店總部決定對樣本中“四星級”及“五星級”加盟店進一步調(diào)研，現(xiàn)從這些加盟店中隨機抽取3個，設(shè)Y為抽取的“五星級"加盟店的個數(shù)，求Y的概率分布列與數(shù)學期望.參考數(shù)據(jù)：若，則，，．【答案】(1)平均數(shù)為13.0百元，中位數(shù)為13百元；(2)14；(3)分布列見解析，1【分析】（1）由平均數(shù)和中位數(shù)的計算公式計算即可得出答案；（2）由（1）知，，由正態(tài)分布的性質(zhì)求出的概率，即可求出這600個加盟店中“五星級”加盟店的個數(shù)；（3）求出Y的所有可能取值和每個變量對應的概率，即可求出Y的分布列，再由期望公式求出Y的數(shù)學期望.【詳解】（1）由頻率分布直方圖得樣本中日銷售額為，，，，，，的頻率分別為0.08，0.10，0.20，0.24，0.20，0.12，0.06，∴估計這50個加盟店日銷售額的平均數(shù)為：（百元）．∵，，∴中位數(shù)在內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x百元，則，解得．∴估計中位數(shù)為13百元．（2）由（1）知，∵，，∴，∴估計這600個加盟店中“五星級”加盟店的個數(shù)為．（3）由（1）得樣本中“四星級”加盟店有（個），“五星級”加盟店有（個），∴Y的所有可能取值為0，1，2，3，，，，．∴Y的概率分布列為Y0123P∴．3．【與建設(shè)成就融合】（2022·廣東廣州·統(tǒng)考一模）世界衛(wèi)生組織建議成人每周進行至5小時的中等強度運動.已知社區(qū)有的居民每周運動總時間超過5小時，社區(qū)有的居民每周運動總時間超過5小時，社區(qū)有的居民每周運動總時間超過5小時，且三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為.(1)從這三個社區(qū)中隨機抽取1名居民，求該居民每周運動總時間超過5小時的概率；(2)假設(shè)這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且.現(xiàn)從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率.【答案】(1)；(2)【分析】（1）設(shè)三個社區(qū)的居民人數(shù)為，分別求出三個社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為，再由概率公式即可求出答案.（2）由正態(tài)分布的性質(zhì)求出，再由獨立事件的乘法公式即可得出答案.【詳解】（1）因為三個社區(qū)的居民人數(shù)之比為，設(shè)三個社區(qū)的居民人數(shù)為，所以社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為：，社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為：，社區(qū)每周運動總時間超過5小時的人數(shù)為：，該居民每周運動總時間超過5小時的概率.（2）因為這三個社區(qū)每名居民每周運動總時間為隨機變量（單位：小時），且，所以，由（1）知，，所以，因為隨機變量服從正態(tài)分布，且關(guān)于對稱，所以，所以從這三個社區(qū)中隨機抽取3名居民，求至少有兩名居民每周運動總時間為5至6小時的概率為：.4．【與二項分布融合】（2022·吉林·東北師大附中?？寄M預測）新冠肺炎是近百年來人類遭遇的影響范圍最廣的全球性大流行病毒．對前所未知、突如其來、來勢洶洶的疫情，習近平總書記親自指揮、親自部署，強調(diào)把人民生命安全和身體健康放在第一位．明確堅決打贏疫情防控的人民戰(zhàn)爭、總體戰(zhàn)、阻擊戰(zhàn)．當前，新冠肺炎疫情防控形勢依然復雜嚴峻．為普及傳染病防治知識，增強學生的疾病防范意識，提高自身保護能力，市團委在全市學生范圍內(nèi)，組織了一次傳染病及個人衛(wèi)生相關(guān)知識有獎競賽（滿分分），競賽獎勵規(guī)則如下：得分在內(nèi)的學生獲三等獎，得分在內(nèi)的學生獲二等獎，得分在內(nèi)的學生獲一等獎，其它學生不得獎．為了解學生對相關(guān)知識的掌握情況，隨機抽取了名學生的競賽成績，獲得了如下頻數(shù)分布表．競賽成績?nèi)藬?shù)(1)從該樣本中隨機抽取名學生，求這名學生均獲一等獎的概率；(2)若該市所有參賽學生的成績近似地服從正態(tài)分布，若從所有參賽學生中（參賽學生人數(shù)特別多）隨機抽取名學生進行座談，設(shè)其中競賽成績在分以上的學生人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，【分析】（1）利用組合計數(shù)原理結(jié)合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知，利用二項分布可得出隨機變量的分布列，進而可求得的值.【詳解】（1）解：由題意可知，這名學生中，獲一等獎的學生人數(shù)為，因此，從該樣本中隨機抽取名學生，這名學生均獲一等獎的概率為.（2）解：因為，則，從所有參賽學生中（參賽學生人數(shù)特別多）隨機抽取名學生進行座談，設(shè)其中競賽成績在分以上的學生人數(shù)為，則，所以，，，，.所以，隨機變量的分布列如下表所示：由二項分布的期望公式可得.5．【與社會熱點融合】（2022·吉林·吉林省實驗?？寄M預測）基礎(chǔ)學科招生改革試點，也稱強基計劃，是教育部開展的招生改革工作，主要是為了選拔培養(yǎng)有志于服務(wù)國家重大戰(zhàn)略需求且綜合素質(zhì)優(yōu)秀或基礎(chǔ)學科拔尖的學生．強基計劃的?？加稍圏c高校自主命題，?？歼^程中筆試通過后才能進入面試環(huán)節(jié)，年有名學生報考某試點高校，若報考該試點高校的學生的筆試成績．筆試成績高于分的學生進入面試環(huán)節(jié)．(1)從報考該試點高校的學生中隨機抽取人，求這人中至少有一人進入面試的概率；(2)現(xiàn)有甲、乙、丙、丁四名學生進入了面試，且他們通過面試的概率分別為、、、．設(shè)這名學生中通過面試的人數(shù)為，求隨機變量的分布列和數(shù)學期望．附：若，則，，，．【答案】(1)；(2)分布列答案見解析，【分析】（1）計算出試點高校每名學生進入面試的概率，再利用對立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知隨機變量的可能取值有、、、、，計算出隨機變量在不同取值下的概率，可得出隨機變量的分布列，進一步可求得的值.【解析】（1）由題意可知，，則，所以，從報考該試點高校的學生中隨機抽取人，這人中至少有一人進入面試的概率為.（2）由題意可知，隨機變量的可能取值有、、、、，則，，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：故.6．【與社會熱點融合】（2022·吉林·統(tǒng)考模擬預測）為了切實維護居民合法權(quán)益，提高居民識騙防騙能力，守好居民的“錢袋子”，某社區(qū)開展“全民反詐在行動——反詐騙知識競賽”活動，現(xiàn)從參加該活動的居民中隨機抽取了100名，統(tǒng)計出他們競賽成績分布如下：成績（分）人數(shù)242240284(1)求抽取的100名居民競賽成績的平均分和方差（同一組中數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）；(2)以頻率估計概率，發(fā)現(xiàn)該社區(qū)參賽居民競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，其中近似為樣本成績平均分，近似為樣本成繢方差，若，參賽居民可獲得“參賽紀念證書”；若，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，①若該社區(qū)有3000名居民參加本次競賽活動，試估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數(shù)（結(jié)果保留整數(shù)）；②試判斷競賽成績?yōu)?6分的居民能否獲得“反詐先鋒證書”．附：若，則，，．【答案】(1)，；(2)①2456；②能【分析】（1）利用公式直接求出均值、方差即可；（2）①結(jié)合給的概率和正態(tài)分布的性質(zhì)，確定獲得“參賽紀念證書”，進而計算可得人數(shù)；②利用正態(tài)分布的知識求出，即，進而可得結(jié)果.【解析】（1）100名居民本次競賽成績平均分，100名居民本次競賽成績方差，（2）①由于近似為樣本成績平均分，近似為樣本成績方差，所以，，可知，，由于競賽成績X近似地服從正態(tài)分布，因此競賽居民可獲得“參賽紀念證書”的概率估計獲得“參賽紀念證書”的居民人數(shù)為2456；②當時，即時，參賽居民可獲得“反詐先鋒證書”，所以競賽成績?yōu)?6分的居民能獲得“反詐先峰證書”．7．【與回歸方程融合】（2022·山東·校聯(lián)考模擬預測）為了緩解日益擁堵的交通狀況，不少城市實施車牌競價策略，以控制車輛數(shù)量某地車牌競價的基本規(guī)則是：①“盲拍”，即所有參與競拍的人都是網(wǎng)絡(luò)報價，每個人不知曉其他人的報價，也不知道參與當期競拍的總?cè)藬?shù)；②競價時間截止后，系統(tǒng)根據(jù)當期車牌配額，按照競拍人的出價從高到低分配名額.某人擬參加2022年5月份的車牌競拍，他為了預測最低成交價，根據(jù)競拍網(wǎng)站的公告.統(tǒng)計了最近5個月參與競拍的人數(shù)（見表）：月份2021.122022.012022.022022.032022.04月份編號t12345競拍人數(shù)y（萬人）1.72.12.52.83.4(1)由收集數(shù)據(jù)的散點圖發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合競拍人數(shù)y（萬人）與月份編號t之間的相關(guān)關(guān)系.請用最小二乘法求y關(guān)于t的線性回歸方程：，并預測2022年5月份參與競拍的人數(shù).(2)某市場調(diào)研機構(gòu)對200位擬參加2022年5月份車牌競拍人員的報價進行了一個抽樣調(diào)查，得到如下的一份頻數(shù)表：報價區(qū)間（萬元）頻數(shù)206060302010（i）求這200位競拍人員報價X的平均數(shù)和樣本方差（同一區(qū)間的報價可用該價格區(qū)間的中點值代替）；（ii）假設(shè)所有參與競價人員的報價X可視為服從正態(tài)分布，且與可分別由（i）中所求的樣本平均數(shù)及估值.若2022年5月份實際發(fā)放車牌數(shù)量是5000，請你合理預測（需說明理由）競拍的最低成交價.參考公式及數(shù)據(jù)：①回歸方程，其中，；②；③若，令，則，且；④方差.【答案】(1)，預測2022年5月份參與競拍的人數(shù)為3.73萬人(2)（i），；（ii）預測競拍的最低成交價為4.943萬元【分析】（1）先根據(jù)表中的數(shù)據(jù)求出，然后利用公式可求出線性回歸方程，再將代入回歸方程可預測2022年5月份參與競拍的人數(shù)，（2）（i）根據(jù)平均數(shù)公式和方差公式求解即可，（ii）設(shè)預測競拍的最低成交價為a萬元，然后根據(jù)競價規(guī)則，求出報價在最低成交價以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例，再根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)列方程可求得結(jié)果【詳解】（1），∴，.∴y關(guān)于t的線性回歸方程為：.由已知2022年5月份對應的，所以∴預測2022年5月份參與競拍的人數(shù)為3.73萬人.（2）（i）依題意可得這200人報價的平均值為：.這200人報價的方差為：.（ii）2022年5月份實際發(fā)放車牌數(shù)量是5000，設(shè)預測競拍的最低成交價為a萬元.根據(jù)競價規(guī)則，報價在最低成交價以上人數(shù)占總?cè)藬?shù)比例為，根據(jù)假設(shè)報價X可視為服從正態(tài)分布，令，由于，∴，∴，由，解得∴預測競拍的最低成交價為4.943萬元.8．【與生產(chǎn)實踐融合】（2022·河北衡水·衡水市第二中學?？家荒＃┠彻S生產(chǎn)一批零件，其直徑X滿足正態(tài)分布（單位：）.(1)現(xiàn)隨機抽取15個零件進行檢測，認為直徑在之內(nèi)的產(chǎn)品為合格品，若樣品中有次品則可以認定生產(chǎn)過程中存在問題.求上述事件發(fā)生的概率，并說明這一標準的合理性.（已知：）(2)若在上述檢測中發(fā)現(xiàn)了問題，另抽取100個零件進一步檢測，則這100個零件中的次品數(shù)最可能是多少？【答案】(1)見解析；(2)0.【分析】（1），故至少有1個次品的概率為，根據(jù)小概率事件說明即可；（2）次品的概率為，設(shè)次品數(shù)為,則，其中，設(shè)次品數(shù)最可能是件，則，求解即可.【詳解】（1）因為，所以,所以隨機抽取15個零件進行檢測，至少有1個次品的概率為，如果生產(chǎn)狀態(tài)正常，至少有一個次品的概率約為，該事件是小概率事件，因此一旦發(fā)生這種狀況，就有理由認定生產(chǎn)過程中存在問題，即這一標準是合理的.（2）次品的概率為，抽取100個零件進一步檢測，設(shè)次品數(shù)為,則，其中，故，設(shè)次品數(shù)最可能是件，則，即，即，解得.因為，所以，故.故這100個零件中的次品數(shù)最可能是0.9．【與非線性回歸方程融合】（2022·吉林長春·統(tǒng)考模擬預測）今年全國兩會期間，習近平總書記在看望參加全國政協(xié)十三屆五次會議的農(nóng)業(yè)界?社會福利和社會保障界委員時指出“糧食安全是‘國之大者’.悠悠萬事，吃飯為大.”某校課題小組針對糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間關(guān)系進行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點圖及一些統(tǒng)計量的值.每畝化肥施用量為x(單位：公斤)，糧食畝產(chǎn)量為y(單位：百公斤)．參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中，(1)根據(jù)散點圖判斷，與，哪一個適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸方程(給出判斷即可，不必說明理由)；(2)根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預測每畝化肥施用量為27公斤時，糧食畝產(chǎn)量y的值；()(3)通過文獻可知，當化肥施用量達到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長將趨于停滯，所以需提升化肥的有效利用率，經(jīng)統(tǒng)計得，化肥有效利用率，那么這種化肥的有效利用率超過56%的概率為多少？附：①對于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計分別為，；②若隨機變量，則有，.【答案】(1)；(2)；8.1百公斤；(3)．【分析】（1）根據(jù)散點圖可知y與x的關(guān)系不是線性關(guān)系，故應該選擇非線性模型.（2）兩邊同時取自然對數(shù)，令，可得，則z和t成線性相關(guān)，利用最小二乘估計公式計算出d和lnc即可得y與x的回歸方程，將x=27代入即可預測每畝化肥施用量為27公斤時糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）根據(jù)正態(tài)分布的對稱性可得．【詳解】（1）根據(jù)散點圖可知y與x的關(guān)系不是線性的關(guān)系，則更適宜．（2）∵，∴，令，，則，，，∴，，，∴，當時，(百公斤).（3）根據(jù)Z服從正態(tài)分布可知，，∴這種化肥的有效利用率超過的概率為．10．【與獨立性檢驗融合】（2022·全國·模擬預測）2019年某地區(qū)初中升學體育考