17切線夾-解析版

第17講切線夾知識與方法在導數(shù)壓軸中,遇到或者,我們首先想到的是極值點偏移,那如果遇到或者,很多就要用到我們今天講的切線夾了。如圖所示與交點橫坐標分別為,令切線方程為,切線方程為與兩條切線交點橫坐標分別為,題目會讓你證明。如何證明?思路如下：先證明,又,所以,根據(jù)單調(diào)性。同理,證明,又,所以,根據(jù)單調(diào)性,。由此可證典型例題【例1】已知函數(shù).(I)求的單調(diào)區(qū)間;(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,求證:對于任意的實數(shù),都有;(III)若方程(為實數(shù))有兩個實數(shù)根,且,求證:【解析】(I)由,可得.當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減.的單調(diào)遞增區(qū)間為,單調(diào)遞減區(qū)間為.(II)證明:設(shè)點的坐標為,則,曲線在點,處的切線方程為,即.令函數(shù).即.則.當時.;當時..在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減..對于任意實數(shù),即對任意實數(shù),都有;(III)證明:由(II)知,,設(shè)方程的根為.可得在,上單調(diào)遞減,又由(II)知.因此.類似地,設(shè)曲線在原點處的切線方程為,可得,對于任意的,有,即.設(shè)方程的根為,可得,在上單調(diào)遞增,且,因此,由此可得【例2】已知函數(shù)其中且.(I)討論的單調(diào)性;(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線方程為,求證:對于任:意的正實數(shù),都有;(III)若關(guān)于的方程(為實數(shù))有兩個正實數(shù)根,求證:.【解析】(I)由,可得,其中,且.下面分兩種情況討論：(1)當為奇數(shù)時,令,解得,或,當變化時,的變化情況如下表：所以,在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增.(2)當為偶數(shù)時,當,即時,函數(shù)單調(diào)遞增;當,即時,函數(shù)單調(diào)遞減;所以,在單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;(II)證明:設(shè)點的坐標為,則,曲線在,點處的切線方程為,即,令,即,則.由于在上單調(diào)遞減,故在上單調(diào)遞減,又因為,所以當時,,當時,,所以在內(nèi)單調(diào)遞增,在內(nèi)單調(diào)遞減,所以對應任意的正實數(shù),都有,即對于任意的正實數(shù),都有.(III)證明:不妨設(shè),由(II)知,設(shè)方程的根為,可得,由(II)知,可得.類似地,設(shè)曲線在原點處的切線方程為,可得,當,即對于任意的,設(shè)方程的根為,可得,因為在上單調(diào)遞增,且,因此,由此可得:,因為,所以,故:.所以:.【例3】已知函數(shù)是的極值點.(I)求的值;(II)設(shè)曲線與軸正半軸的交點為,曲線在點處的切線為直線.求證:曲線上的點都不在直線的上方;(III)若關(guān)于的方程有兩個不等實根,求證:.【解析】(I);由題意知,;;(II)證明:設(shè)曲線在處切線為直線;令;;;在上單調(diào)遞增,在上單調(diào)遞減;;,即,即上的點都不在直線的上方;(III)由(II)設(shè)方程的解為;則有,解得;由題意知,;令;在上單調(diào)遞增;;的圖象不在的下方;與交點的橫坐標為;則有,即;關(guān)于的函數(shù)在上單調(diào)遞增;【例4】已知函數(shù),為自然對數(shù)的底數(shù).(1)求曲線在處的切線方程;(2)關(guān)于的不等式在上恒成立,求實數(shù)的值;(3)關(guān)于的方程有兩個實根,求證:.【解析】(1)對函數(shù)求導得,,又,曲線在處的切線方程為,即;(2)記,其中,由題意知在上恒成立,下面求函數(shù)的最小值,對求導得,令,得,當變化時,變化情況列表如下:,,記,則,令,得,當變化時,變化情況列表如下:∴，故當且僅當時取等號，又，從而得到；（3）先證，記，則，令，得，當x變化時，，變化情況列表如下：﹣0＋遞減極小值遞增∴，恒成立，即，記直線，分別與交于，，不妨設(shè)，則，從而，當且僅當時取等號，由（2）知，，則，從而，當且僅當時取等號，故，因等號成立的條件不能同時滿足，故．【例5】已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）若，證明：在上恒成立；（3）若方程有兩個實數(shù)根，，且，證明:．【解析】（1）函數(shù)，由，由，，所以切線方程為，（2）當時，，所以．故只需證，構(gòu)造，，又在上單調(diào)遞增，且，知在上單調(diào)遞增，故．因此，得證．（3）由（1）知在點處的切線方程為．構(gòu)造，，．當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)方程的根．又，由在R上單調(diào)遞減，所以．另一方面，在點處的切線方程為．構(gòu)造．，．當時，；當時，；所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．又，，，所在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．設(shè)方程的根．又，由在R上單調(diào)遞增，所以．∵，，，所以，得證．【例6】已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在處的切線方程；（2）設(shè)方程（）有兩個實數(shù)根，，求證:．【解析】（1）由，得，∴函數(shù)的零點，，，，．曲線在處的切線方程為，，，∴曲線在處的切線方程為；（2）證明:，當時，；當時，．∴的單證遞增區(qū)間為，，單調(diào)遞減區(qū)間為．由（1）知，當或時，；當時，．下面證明：當時，．當時，．易知，在上單調(diào)遞增，而，∴對恒成立，∴當時，．由得．記．不妨設(shè)，則，∴．要證，只要證，即證．又∵，∴只要證，即．∵，即證．令，．當時，，為單調(diào)遞減函數(shù)；當時，，為單調(diào)遞增函數(shù)．∴，∴，∴．【例7】已知函數(shù)的兩個零點記為，．（1）求a的取值范圍；（2）證明:．【解析】（1）由，得，令，，當，，遞增；當，，遞減；有最大值，又，，故函數(shù)有兩個不同的零點，；（2）先證明，不妨設(shè)，由（1）知，，構(gòu)造函數(shù)，，當時，，遞增，，，所以，即，所以，由，由（1）知，當，遞減；所以，即，要證明，只需證明，即，，只需證明，，構(gòu)造函數(shù)，，當，，遞增；，，遞減；當時，，所以當，，故原命題成立．強化訓練1．已知函數(shù)，．（I）求函數(shù)的極值；（Ⅱ）設(shè)曲線與x軸正半軸的交點為P，求曲線在點P處的切線方程；（Ⅲ）若方程（a為實數(shù)）有兩個實數(shù)根，且，求證:．【解析】（I）由已知得：由得：又當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，∴當時取得極大值，極大值為，無極小值．（3分）（II）設(shè)，則，，曲線在點P處的切線方程為:，即曲線在點P處的切線方程為:．（6分）（III）設(shè)，令即，則由于在R單調(diào)遞減，故在R單調(diào)遞減，又∵，∴當時，，當時，，∴在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，∴，，即，都有；設(shè)方程的根為，∴．∵在R單調(diào)遞減，且∴，設(shè)曲線在點原點處的切線方程為：，則易得，，有，即，設(shè)方程的根為，則，∵在R單調(diào)遞增，且，∴∴，即．2．已知函數(shù)，．其中．．（1）討論的單調(diào)性；（2）設(shè)曲線與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線方程為，求證：對于任意的正實數(shù)x，都有；（3）設(shè)，若關(guān)于x的方程（a為實數(shù)）有兩個正實根，，求證:．【解析】（1）由，可得，其中，且．下面分兩種情況討論：（1）當n為奇數(shù)時，令，解得，或，當x變化時，，的變化情況如下表：x﹣＋﹣遞減遞增遞減所以，在，上單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增；②當n為偶數(shù)時，當，即時，函數(shù)單調(diào)遞增；當，即時，函數(shù)單調(diào)遞減；所以，在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）證明：設(shè)點P的坐標為，則，，曲線在點P處的切線方程為，即，令，即，則．由于在上單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞減，又因為，所以當時，，當時，，所以F（x）在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，所以對應任意的正實數(shù)x，都有，即對于任意的正實數(shù)x，都有．（3）證明：不妨設(shè)，由（2）知，設(shè)方程的根為，可得，由（Ⅱ）知，可得．類似地，設(shè)曲線在原點處的切線方程為，可得，當，，即對于任意的，，設(shè)方程的根為，可得，因為在上單調(diào)遞增，且，因此，由此可得:，因為，所以，故:．則，所以當時，即有．3．已知函數(shù)，曲線在原點處的切線為．（1）證明：曲線與x軸正半軸有交點；（2）設(shè)曲線與x軸正半軸的交點為P，曲線在點P處的切線為直線l，求證：曲線上的點都不在直線l的上方；（3）若關(guān)于x的方程（m為正實數(shù)）有不等實根，，求證:．【解析】證明：（1）因為，由已知得:，解得，即，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減：又，，，所以，存在，使得．即曲線與x軸正半軸有交點；（2）曲線在點P處的切線，令，，則，又當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以對任意實數(shù)x都有，即對任意實數(shù)x都有，故曲線上的點都不在直線l的上方；（3）因為，所以為減函數(shù)，設(shè)方程的根為，由（2）可知，所以記，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，，單調(diào)遞減，所以，對任意的實數(shù)x，都有，即設(shè)方程的根，則，所以于是，令，，又，則，所以在上為增函數(shù)，又，所以，，所以．4．已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（I）求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）關(guān)于x的不等式在恒成立，求實數(shù)的取值范圍．（Ⅲ）關(guān)于x的方程有兩個實根，，求證:．【解析】（I）對函數(shù)求導得，∴，又，∴曲線在處的切線方程為，即；（Ⅱ）記，其中，由題意知在上恒成立，下面求函數(shù)的最小值，對求導得，令，得，當x變化時，，變化情況列表如下：x﹣0＋遞減極小值遞增∴，∴，記，則，令，得，當變化時，，變化情況列表如下：＋0﹣遞增極大值遞減∴，故當且僅當時取等號，又，從而得到；（Ⅲ）證明：先證，記，則，令，得，當x變化時，，變化情況列表如下：x﹣0＋遞減極小值遞增∴，恒成立，即，記直線，分別與交于，，不妨設(shè)，則，從而，當且僅當時取等號，由（Ⅱ）知，，則，從而，當且僅當時取等號，故因等號成立的條件不能同時滿足，故．5．已知函數(shù)，其中，是自然對數(shù)的底數(shù)．（Ⅰ）設(shè)曲線與x軸正半軸相交于點，曲線在點P處的切線為l，求證：曲線上的點都不在直線l的上方；（Ⅱ）若關(guān)于x的方程（m為正實數(shù)）有兩個不等實根，，求證:．【解析】證明：（I）由題意可得:，，．，，可得：曲線在點P處的切線為，令，．，，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．∴，因此：曲線上的點都不在直線l的上方．（Ⅱ）由（I）可得:，解得．．∴．曲線在點P處的切線為，．同理可得：在點處的切線為:．與，的交點的橫坐標分別為，．則，．∴．下面證明:．6．已知函數(shù)，e為自然對數(shù)的底數(shù)．（1）若關(guān)于x的不等式在恒成立，求實數(shù)的取值范圍；（2）若關(guān)于x的方程有兩個實根，，求證:．【解析】（1）記，其中，∴，令，得，當時，；當時，；∴當時，取得最小值；∵關(guān)于x的不等式在恒成立，∴，記，則，令，得．當時，；當時，；∴當時，函數(shù)取得最大值，∴當且僅當時取等號；∴，即．∴實數(shù)的取值范圍為．證明：（2）先證，記，則，令得，∴當時，；當時，；∴當時，取得最小值，∴恒成立，也即，記直線，別與交于，，不妨設(shè)，則，從而，當且僅當時取等號；由（1）知:，則，從而，當且僅當時取等號；故，因等號成立的條件不能同時滿足，故．7．已知函數(shù)（），設(shè)曲線在點處的切線方程為．（1）求的解析式；（2）證明：對定義域內(nèi)任意x，都有；（3）當時，關(guān)于x的方程有兩個不等的實數(shù)根，，證明:．【解析】（1）∵，∴，又，∴；（2）證明：令，∴在上單調(diào)遞增，且，∴當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，∴恒成立，∴恒成立．（3）證明：當時，，則，顯然在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，而，，∴存在，使，∴當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，令，解得或e，由（1）（2）可知在處的切線方程為，且恒成立，同理可得在處的切線方程為，令，當時，，，當時，，，∴恒成立．設(shè)函數(shù)在兩個零點處的切線方程與直線的交點的橫坐標分別為和，不妨設(shè)，則，，令，解得，，∴，得證．8．已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)）．（1）求函數(shù)的零點，以及曲線在其零點處的切線方程；（2）若方程（）有兩個實數(shù)根，，求證:．【解析】（1）由，得，或，所以的零點為1，e；因為，所以，．因為，所以曲線線在處的切線方程為，在處的切線方程為…4分（2）證明：因為，所以，所以單調(diào)遞淢．令，，下面證，即，記，則，，所以單調(diào)遞增，且，故在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增．所以，即，同法可證，即．不妨設(shè)，因為，且為增函數(shù)，所以，由，得，同理，，，所以，所以，，所以，．9．已知函數(shù)在點處的切線方程為．（1）求a，b；（2）函數(shù)圖象與x軸負半軸的交點為P，且在點P處的切線方程為，函數(shù)，，求的最小值；（3）關(guān)于x的方程有兩個實數(shù)根，，且，，求證:．【解析】（1）將代入切線方程中，得，所以，又，解得或，又，所以，若，則（舍去）；所以，則；（2）由（1）可知，，，所以，令，有或，故曲線與x軸負半軸的唯一交點P為，曲線在點處的切線方程為，則，因為，所以，所以，若，，若，，，所以，，若，，，，，所以在上單調(diào)遞增，∴，∴函數(shù)在上單調(diào)遞增．所以；（3）證明:，設(shè)的根為，則，又單調(diào)遞減，由（2）知恒成立．又，所以，設(shè)曲線在點處的切線方程為，則，令，，當時，，當時，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故．又，所以．10．已知函數(shù)（1）求在點處的切線方程，并證明（2）若方程（）有兩個正實數(shù)根，，求證:．【解析】（1），，，∴在點處的切線方程，設(shè)，則，，令，可得或，函數(shù)在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∵，，∴，，單調(diào)遞減；，，單調(diào)遞增，∴，∴；（2）∵在處的切線方程為，則又，設(shè)與和的兩個交點的橫坐標為，，∴，∴．11．已知函數(shù)，（），在處的切線方程為．（Ⅰ）求a，b；（Ⅱ）若方程有兩個實數(shù)根，，且，求證:．【解析】（Ⅰ）在處的切線方程為，可得，即，又函數(shù)，，可得導數(shù)為，所以，若，則，與矛盾，故；（Ⅱ）證明：由（Ⅰ）可知，，，設(shè)在處的切線方程為，易得，則，令，即，，當時，，當時，設(shè)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞減，故，故，設(shè)在處的切線方程為，易得，令，，當時，，當時，設(shè)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，，，設(shè)的根為，則，又函數(shù)單調(diào)遞增，故，故，又，則．12．已知函數(shù)，（），在處的切線方程為．若，證明:．【解析】證明：由題意，所以，又，所以，若，則，與矛盾，故，；可知，，，由，可得，令，，當時，，當時，設(shè)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，所以當時，，當時，，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，故，即，故．13．已知函數(shù)．（Ⅰ）