中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)滿(mǎn)分突破（全國(guó)通用）：專(zhuān)題08 手拉手模型（原卷版）

專(zhuān)題08手拉手模型手拉手模型概述：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形共用頂角頂點(diǎn)，分別連接對(duì)應(yīng)的兩底角頂點(diǎn)，從而可以得到一個(gè)經(jīng)典的全等模型。因?yàn)轫旤c(diǎn)相連的四條邊，形象可以看作兩雙手，通常稱(chēng)為“手拉手模型”。文字說(shuō)明：1）點(diǎn)A為共用頂角頂點(diǎn)，看作頭2）線(xiàn)段AB、AC為等腰?ABC的兩腰，看作兩條手臂線(xiàn)段AM、AN為等腰?AMN的兩腰，看作兩條手臂3）點(diǎn)B與點(diǎn)M看作左手，線(xiàn)段BM看作左手拉左手點(diǎn)C與點(diǎn)N看作右手，線(xiàn)段CN看作右手拉右手解題步驟：①找共用頂點(diǎn)，確定“四只手”；②連接對(duì)應(yīng)端點(diǎn)；③SAS證明全等。常見(jiàn)模型：模型一：如圖，直線(xiàn)AB的同一側(cè)作?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)共線(xiàn)），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)E，則1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MEN=∠2=60°（拉手線(xiàn)的夾角等于頂角）4）?ANF≌?AMD5）?AFC≌?ADB6）連接DF，DF∥BN7）連接AE，AE平分∠BEN8）存在3組四點(diǎn)共圓9）EN=EM+EA，EB=EC+EA,EA=ED+EF10）存在多組相似三角形備注：1）-7）為基礎(chǔ)，8）-10）為提高證明：1）∵?ABC和?AMN都為等邊三角形∴AB=AC，AM=AN，∠1=∠2=60°∴∠1+∠CAM=∠2+∠CAM則∠BAM=∠CAN在?ABM和?ACN中AB=AC∠BAM=∠CAN∴?ABM≌?ACN∴BM=CN，∠BMA=∠CMA,∠ABM=∠ACNAM=AN3)方法一：在?EFM和?AFN中∵∠MEN+∠EMF+∠3=180°,∠2+∠FNA+∠4=180°而∠3=∠4，∠EMF=∠FNA∴∠MEF=∠2=60°方法二：∵∠MEF=∠EBN+∠BNE∠MAN=∠ABM+∠AMB而∠EBN=∠ABM,∠BNE=∠AMB，∠2=60°∴∠MEF=∠2=60°4）∵∠1+∠2+∠5=180°而∠1=∠2=60°∴∠5=60°在?AFN和?ADM中∠5=∠2=60°AM=AN∴?AFN≌?ADM∠DMA=∠ANF5）在?AFC和?ADB中∠5=∠1=60°AB=AC∴?AFC≌?ADB∴AD=AF∠ABD=∠ACF6）∵AD=AF，∠5=60°∴?ADF是等邊三角形∴∠DFA=60°∴∠DFA=∠2=60°∴DF∥BN7）過(guò)點(diǎn)A作AP⊥BM交BM于點(diǎn)P，AQ⊥CN交CN于點(diǎn)Q∵?ABM≌?ACN∴S?ABM=S?ACN,BM=CN則AP=AQ，∴AE平分∠BEN8）①∵∠ACN=∠ABM∴∠ACE=∠ABE則點(diǎn)A、B、C、E四點(diǎn)共圓②∵∠ANC=∠AMB∴∠ANE=∠AME則點(diǎn)A、N、M、E四點(diǎn)共圓③∵∠BAC=∠MAN=60°∴∠CAM=60°∵∠MEF=60°∴∠CED=60°則∠DEF=120°∵∠CAM+∠DEF=180°則點(diǎn)A、D、E、F四點(diǎn)共圓9)方法一：①過(guò)點(diǎn)M作MY交NC 于點(diǎn)Y，使∠EMY=60°∵∠EMY=∠AMN=∠MEN=60°∴∠EMY-∠AMY=∠AMN-∠AMY則∠EMA=∠YMN∵∠EMY+∠MEY+∠EYM=180°則∠EYM=60°∴?MEY是等邊三角形，則EM=EY=MY∵∠MYN是?MEY的外角，∴∠MYN=120°∵∠CEB=60°且AE平分∠BEN∴∠AEF=60°則∠AEM=120°在?AEM和?NYM∠EMA=∠YMNEM=MY∴?AEM≌?NYM∴NY=AE∠AEM=∠MYN=120°則EN=EY+YN=EM+AE②過(guò)點(diǎn)A作AZ交BM于點(diǎn)Z，使∠EAZ=60°,證明方法同上③過(guò)點(diǎn)F作FH交AE于點(diǎn)H，使∠EFH=60°，證明方法同上方法二:根據(jù)托勒密定理和8）中內(nèi)容，得EN?AM=AE?MN+EM?AN而AM=AN=MN∴EN=AE+EM同理EB=EC+EA,EA=ED+EF*托勒密定理內(nèi)容：圓的內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線(xiàn)的乘積。10）模型一中存在的相似三角形。（嘗試簡(jiǎn)述證明過(guò)程）模型二：如圖，?ABC和?AMN都為等邊三角形（A、B、N三點(diǎn)不共線(xiàn)），連接BM、CN，兩者相交于點(diǎn)O，則1）?ABM≌?ACN2）BM=CN3）∠MON=60°（拉手線(xiàn)的夾角等于頂角）4）連接AO，AO平分∠BON5）存在2組四點(diǎn)共圓6）ON=OM+OA，OB=OC+OA7）存在多組相似圖形模型三：如圖，四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形，連接EB和GD，兩者交于點(diǎn)O，則1）?AGD≌?AEB2）GD=EB3）GD⊥EB4）AO平分∠EOD證明：1）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG為正方形∴∠GAE=∠BAD=90°，AB=AD，AE=AG∴∠GAE+∠1=∠BAD+∠1∴∠GAD=∠EAB在?AGD與?AEB中AE=AG∠GAD=∠EAB∴?AGD≌?AEB∴∠AGD=∠AEB，GD=EBAB=AD3）在?GOM與?AEM中∵∠OGM+∠GMO+∠MOG=180°∠MEA+∠AME+∠MAE=180°而∠AGD=∠AEB，∠GMO=∠AME∴∠MOG=∠MAE=90°∴GD⊥EB4）過(guò)點(diǎn)A分別作AW⊥BE交BE于點(diǎn)W,AX⊥GD交GD于點(diǎn)X∵?AGD≌?AEB∴S?AGD=S?AEB而GD=BE則AW=AX，∴AO平分∠EOD【提高測(cè)試】1．如圖，C為線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)，重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．∠AOB=60° B．AP=BQC．PQ∥AE D．DE=DP2．如圖，在中，，分別以，為邊作等邊和等邊，連結(jié)，若，，則（

）A． B． C．4 D．3．如圖，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC＝∠DAE＝90°，連接CE交AD于點(diǎn)F，連接BD交CE于點(diǎn)G，連接BE．下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有（）①CE＝BD；②△ADC是等腰直角三角形；③∠ADB＝∠AEB；④S四邊形BCDE＝BD?CE；⑤BC2+DE2＝BE2+CD2．A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)4．如圖，正和正中，B、C、D共線(xiàn)，且，連接和相交于點(diǎn)F，以下結(jié)論中正確的有（

）個(gè)①

②連接，則平分

③

④A．4 B．3 C．2 D．15．如圖，在直線(xiàn)AC的同一側(cè)作兩個(gè)等邊三角形△ABD和△BCE，連接AE與CD交于點(diǎn)H，AE與DB交于點(diǎn)G，BE與CD交于點(diǎn)F，下列結(jié)論：①AE＝CD；②∠AHD＝60°；③△AGB≌△DFB；④BH平分∠GBF；⑤GF∥AC；⑥點(diǎn)H是線(xiàn)段DC的中點(diǎn)．正確的有（）A．6個(gè) B．5個(gè) C．4個(gè) D．3個(gè)6．如圖，，，三點(diǎn)在同一直線(xiàn)上，，都是等邊三角形，連接，，：下列結(jié)論中正確的是（

）①△ACD≌△BCE；②△CPQ是等邊三角形；③平分；④△BPO≌△EDO．A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④7．如圖，點(diǎn)C是線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ，有以下5個(gè)結(jié)論：①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．其中一定成立的結(jié)論有（

）個(gè)A．1 B．2 C．3 D．48．如圖，已知△ABC與△CDE都是等邊三角形，點(diǎn)B、C、D在同一條直線(xiàn)上，AD與BE相交于點(diǎn)G，BE與AC相交于點(diǎn)F，AD與CE相交于點(diǎn)H，則下列結(jié)論①△ACD≌△BCE②∠AGB＝60°③BF＝AH④△CFH是等邊三角形⑤連CG，則∠BGC＝∠DGC．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．5二、填空題9．如圖和是外兩個(gè)等腰直角三角形，，下列說(shuō)法正確的是：________．①，且；②；③平分；④取的中點(diǎn)，連，則．10．如圖，點(diǎn)B、C、E在同一條直線(xiàn)上，與都是等邊三角形，下列結(jié)論：①AE=BD；②；③線(xiàn)段AE和BD所夾銳角為80°；④FG∥BE．其中正確的是______．（填序號(hào)）11．如圖，C為線(xiàn)段AE上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，E重合），在AE同側(cè)分別作等邊三角形ABC和等邊三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ．以下結(jié)論：①PQAE；②∠AOE＝120°；③CO平分∠BCD；④△CPQ是等邊三角形，⑤OC+BO＝AO恒成立的是_____．12．如圖，CA=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=50°，AD、BE交于點(diǎn)H，連接CH，則∠CHE=_______．13．在銳角三角形ABC中，AH是邊BC的高，分別以AB，AC為邊向外作正方形ABDE和正方形ACFG，連接CE，BG和EG，EG與HA的延長(zhǎng)線(xiàn)交于點(diǎn)M，下列結(jié)論：①BG=CE；②BG⊥CE；③AM是△AEG的中線(xiàn)；④∠EAM=∠ABC．其中正確的是_________．14．如圖，、是兩個(gè)等邊三角形，連接、．若，，，則________．15．如圖，正三角形和，A，C，E在同一直線(xiàn)上，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連接PQ．①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°．成立的結(jié)論有______________．并寫(xiě)出3對(duì)全等三角形___________________________．16．如圖，C在線(xiàn)段AB上，在AB的同側(cè)作等邊三角形△ACM和△BCN，連接AN，BM，若∠MBN＝38°，則∠ANB＝_____．三、解答題17．如圖，在中，，，點(diǎn)O是中點(diǎn)，，將繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，的兩邊分別與射線(xiàn)、交于點(diǎn)D、E．(1)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖一所示的位置時(shí)，連接，求證：；(2)當(dāng)轉(zhuǎn)動(dòng)至如圖二所示的位置時(shí)，線(xiàn)段、、之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由．18．如圖1，B、C、D三點(diǎn)在一條直線(xiàn)上，AD與BE交于點(diǎn)O，△ABC和△ECD是等邊三角形．(1)求證：△ACD≌△BCE；(2)求∠BOD的度數(shù)；(3)如圖2，若B、C、D三點(diǎn)不在一條直線(xiàn)上，∠BOD的度數(shù)是否發(fā)生改變？（填“改變”或“不改變”）19．（1）如圖1，已知△CAB和△CDE均為等邊三角形，D在AC上，E在CB上，易得線(xiàn)段AD和BE的數(shù)量關(guān)系是．（2）將圖1中的△CDE繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到圖2的位置，直線(xiàn)AD和直線(xiàn)BE交于點(diǎn)F．①判斷線(xiàn)段AD和BE的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；②圖2中∠AFB的度數(shù)是．（3）如圖3，若△CAB和△CDE均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠DEC＝90°，AB＝BC，DE＝EC，直線(xiàn)AD和直線(xiàn)BE交于點(diǎn)F，分別寫(xiě)出∠AFB的度數(shù)，線(xiàn)段AD、BE間的數(shù)量關(guān)系．20．如圖，在中，，D、E分別是、的中點(diǎn)，.（1）如圖1，若，求的長(zhǎng)度（用含a的代數(shù)式表示）；（2）如圖2，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)角為，連接、，判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）在（2）的條件下，當(dāng)?shù)耐庑脑谌切蔚耐獠繒r(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出的取值范圍．21．如圖，點(diǎn)C為線(xiàn)段上一點(diǎn)，都是等邊三角形，與交于點(diǎn)與相交于點(diǎn)G．（1）求證：；（2）求證：（3）若，求的面積．22．如圖，△ABC中，AB＝AC＝1，∠BAC＝45°，△AEF是由△ABC繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)得到的，連接BE，CF相交于點(diǎn)D,（1）求證：BE＝CF；（2）當(dāng)四邊形ACDE為菱形時(shí)，求BD的長(zhǎng)．23．在中，，點(diǎn)D是直線(xiàn)BC上一點(diǎn)（點(diǎn)D不與點(diǎn)B，C重合），以AD為一邊在AD的右側(cè)作，使，，連接CE．（1）如圖（1），若點(diǎn)D在線(xiàn)段BC上，和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？（不必說(shuō)明理由）（2）若，當(dāng)點(diǎn)D在射線(xiàn)BC上移動(dòng)時(shí)，如圖（2），和之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說(shuō)明理由．24．背景：一次小組合作探究課上，小明將兩個(gè)正方形按背景圖位置擺放（點(diǎn)E，A，D在同一條直線(xiàn)上），發(fā)現(xiàn)BE=DG且BE⊥DG．小組討論后，提出了三個(gè)問(wèn)題，請(qǐng)你幫助解答：（1）將正方形AEFG繞點(diǎn)A按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖1）還能得到BE=DG嗎？如果能，請(qǐng)給出證明．如若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由：（2）把背景中的正方形分別改為菱形AEFG和菱形ABCD，將菱形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，（如圖2）試問(wèn)當(dāng)∠EAG與∠BAD的大小滿(mǎn)足怎樣的關(guān)系時(shí)，背景中的結(jié)論BE=DG仍成立？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）把背景中的正方形改成矩形AEFG和矩形ABCD，且，AE=4，AB=8，將矩形AEFG繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（如圖3），連接DE，BG．小組發(fā)現(xiàn)：在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，BG2+DE2是定值，請(qǐng)求出這個(gè)定值．25．兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角頂點(diǎn)，并將它們的底角頂點(diǎn)分別對(duì)應(yīng)連接起來(lái)得到兩個(gè)全等三角形，我們把這樣的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形．如圖1，在“手拉手”圖形中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE，連接BD，CE，則△ABD≌△ACE．(1)請(qǐng)證明圖1的結(jié)論成立；(2)如圖2，△ABC和△AED是等邊三角形，連接BD，EC交于點(diǎn)O，求∠BOC的度數(shù)；(3)如圖3，AB＝BC，∠ABC＝∠BDC＝60°，試探究∠A與∠C的數(shù)量關(guān)系．26．小明同學(xué)發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)規(guī)律：兩個(gè)頂角相等的等腰三角形，如果具有公共的頂角的頂點(diǎn)，并把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)則形成一組全等的三角形，小明把具有這個(gè)規(guī)律的圖形稱(chēng)為“手拉手”圖形．（1）問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，若△ABC和△ADE均是頂角為40°的等腰三角形，BC、DE分別是底邊，求證：BD＝CE；（2）拓展探究：如圖2，若△ACB和△DCE均為等邊三角形，點(diǎn)A、D、E在同一條直線(xiàn)上，連接BE，則∠AEB的度數(shù)為；線(xiàn)段BE與AD之間的數(shù)量關(guān)系是；（3）解決問(wèn)題：如圖3，若△ACB和△DCE均為等腰直角三角形，∠ACB＝∠DCE＝90°，點(diǎn)A、D、E在同一條直線(xiàn)上，CM為△DCE中DE邊上的高，連接BE，請(qǐng)判斷∠AEB的度數(shù)及線(xiàn)段CM、AE、BE之間的數(shù)量關(guān)系并說(shuō)明理由．27．已知：△ABC與△BDE都是等腰三角形．BA＝BC，BD＝BE（AB＞BD）且有∠ABC＝∠DBE．（1）如圖1，如果A、B、D在一直線(xiàn)上，且∠ABC＝60°，求證：△BMN是等邊三角形；（2）在第（1）問(wèn)的情況下，直線(xiàn)AE和CD的夾角是°；（3）如圖2，若A、B、D不在一直線(xiàn)上，但∠ABC＝60°的條件不變則直線(xiàn)AE和CD的夾角是°；（4）如圖3，若∠ACB＝60°，直線(xiàn)AE和CD的夾角是°．28．如圖，△ABD和△BCE都是等邊三角形，∠ABC＜105°，AE與DC交于點(diǎn)F．（1）求證：AE＝DC；（2）求∠BFE的度數(shù)；（3）若AF＝9.17cm，BF＝1.53cm，CF＝7.53cm，求CD．29．（1）作圖發(fā)現(xiàn)：如圖1，已知，小涵同學(xué)以AB、AC為邊向外作等邊和等邊．連接BE，CD、這時(shí)他發(fā)現(xiàn)BE與CD的數(shù)量關(guān)系是______；（2）拓展探究：如圖2，已知，小涵同學(xué)以AB、AC為邊向外作正方形ABFD和正方形ACGE，連接BE，CD，試判斷BE與CD之間的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由；（3）解決問(wèn)題：如圖3，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)B，E的距離，已經(jīng)測(cè)得，，米，，求BE的距離．30．在學(xué)習(xí)全等三角形知識(shí)時(shí)，數(shù)學(xué)興趣小組發(fā)現(xiàn)這樣一個(gè)模型：模型是由兩個(gè)頂角相等且有公共頂角頂點(diǎn)的等腰三角形組成的圖形，如果把它們的底角頂點(diǎn)連接起來(lái)，則在相對(duì)位置變化的過(guò)程中，始終存在一對(duì)全等三角形，我們把這種模型稱(chēng)為“手拉手模型”．這個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組進(jìn)行了如下操作：（1）如圖1．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=40°（AB＞AD），連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)E落在AB邊上，且D，E，C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，則在這個(gè)“手拉手模型”中，和△ABD全等的三角形是，∠BDC的度數(shù)為．（2）如圖2．在△ABC和△ADE中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°，連接BD，CE，當(dāng)點(diǎn)B，D，E在同一條直線(xiàn)上時(shí)，請(qǐng)判斷線(xiàn)段BD和CE的關(guān)系，并說(shuō)明理由．（3）如圖3，已知△ABC，請(qǐng)畫(huà)出圖形：以AB，AC為邊分別向△ABC外作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE（等邊三角形三條邊相等，三個(gè)角都等于60°），連接BE，CD，交于點(diǎn)P，請(qǐng)直接寫(xiě)出線(xiàn)段BE和CD的數(shù)量關(guān)系及∠BPD的度數(shù)．31．如圖，和都是以為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，連接，．（1）如圖1，試判斷與的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并說(shuō)明理由．（2）如圖2，若點(diǎn)恰好在上，且為的中點(diǎn)，，求的面積．（3）如圖3，設(shè)與的交點(diǎn)為，若，，，求的長(zhǎng)．32．已知在中，，過(guò)點(diǎn)引一條射線(xiàn)，是上一點(diǎn)．【問(wèn)題解決】（1）如圖1，若，射線(xiàn)在內(nèi)部，，求證：．小明同學(xué)展示的做法是：在上取一點(diǎn)使得，通過(guò)已知的條件，從而求得的度數(shù)，請(qǐng)你幫助小明寫(xiě)出證明過(guò)程；【類(lèi)比探究】（2）如圖2，已知．①當(dāng)射線(xiàn)在內(nèi)，求的度數(shù)；②當(dāng)射線(xiàn)在下方，如圖3所示，請(qǐng)問(wèn)的度數(shù)會(huì)變化嗎？若不變，請(qǐng)說(shuō)明理由，若改變，請(qǐng)求出的度數(shù)33．（1）如圖1，和都是等邊三角形，且，，三點(diǎn)在一