2021年高考數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何解析版

空間向量與立體幾何【高考考試趨勢】立體幾何在高考數(shù)學(xué)是一個(gè)必考知識(shí)點(diǎn)，一直在高中數(shù)學(xué)中占有很大的分值，未來的高考中立體幾何也會(huì)持續(xù)成為高考的一個(gè)熱點(diǎn)，理科高考中立體幾何主要考查三視圖的相關(guān)性質(zhì)利用，簡單幾何體的體積，表面積以及外接圓問題?另外選擇部分主要考查在點(diǎn)線面位置關(guān)系，簡單幾何體三視圖?選擇題主要還是以幾何體的基本性質(zhì)為主，解答題部分主要考查平行，垂直關(guān)系以及二面角問題?前面的重點(diǎn)專題已經(jīng)對立體幾何進(jìn)行了一系列詳細(xì)的說明，本專題繼續(xù)加強(qiáng)對高考中立體幾何出現(xiàn)的習(xí)題以及對應(yīng)的題目類型進(jìn)行必要的加強(qiáng)?本專題包含了高考中幾乎所有題型，學(xué)完本專題以后，對以后所有的立體幾何你將有一個(gè)更加清晰的認(rèn)識(shí)?【知識(shí)點(diǎn)分析以及滿分技巧】基礎(chǔ)知識(shí)點(diǎn)考查：一般來說遵循三短一長選最長?要學(xué)會(huì)抽象問題具體會(huì)，將題目中的直線轉(zhuǎn)化成顯示中的具體事務(wù)，例如立體坐標(biāo)系可以看做是一個(gè)教室的墻角有關(guān)外接圓問題：一般圖形可以采用補(bǔ)形法，將幾何體補(bǔ)成正方體或者是長方體，再利用不在同一個(gè)平而的四點(diǎn)確定一個(gè)立體平面原理，從而去求.內(nèi)切圓問題：轉(zhuǎn)化成正方體的內(nèi)切圓去求?求點(diǎn)到平面的距離問題：采用等體積法?求幾何體的表而枳體積問題：應(yīng)注意巧妙選取底面積與高?對于二而角問題應(yīng)采用建立立體坐標(biāo)系去求?但是坐標(biāo)系要注意采用左手系務(wù)必要標(biāo)記準(zhǔn)確對應(yīng)點(diǎn)以及法向量對應(yīng)的坐標(biāo)?【常見題型限時(shí)檢測】（建議用時(shí)：35分鐘）一、單選題（2020-全國高三專題練習(xí)（理））已知三棱錐O-ABC,點(diǎn)MN分別為肋，OC的中點(diǎn)，且OA=a.OB=b,OC=c,用a,b,c表示顧，則顧等于（）

0A.押+一0A.押+一B.*（N+b+8）【答案】D【分析】碩刀+P+師冷曲辦+揮=|（OA-OB）-OA十4+*oc故選：D(2020全國髙三專題練習(xí)(理))如圖所示，正方體ABCD-AgD、的棱長為1,E、F、G分別為BC、CC,3坊的中點(diǎn)，貝IJ()BBA.直線QD與直線AF垂直直線￡G與平而4EF平行平而截正方體所得的截而而積為1點(diǎn)C和點(diǎn)G到平而AEF的距離相等【答案】B【分析】以D點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA.DC、DDJ」y9z軸建系,則D（0AO）.A（1,O,O）.C（0丄0）、^（lAl）.9（001）、E（丄兒0）、F（O,1丄），G（l,l丄），222則DQ=則DQ=（0,0,1）.二直線RD対直線4F不垂直，A錯(cuò)誤；則卒=(0,1,-!〉疋=(一*,1,0),喬=(_1丄設(shè)平而AEF設(shè)平而AEF的法向屋為n=(X,v，AEn=O則〈一=>AFn=O一一x+y=02-x+y+—z=O令x=2,則y=1,乙=2,則n=(2,1,2),人6?”=0，::譏線\G^jTifiiAEFTtr.B止確;易知四邊形AEF0為TMiAEF截正方體所得的截而，且D、F、DC、AE共點(diǎn)于H，D、H=AH=*?AD、=邁.專，C錯(cuò)決8二S沖〃=*"xjn冬）=2，則專，C錯(cuò)決8AC=（-1,1,0），點(diǎn)C到T：而AEF的距離％=巴貿(mào)=-同3AG=fo,l,l,點(diǎn)G到平面AEF的距離乩=吧也=-.則％H厶，D錯(cuò)；：■';AG=fo,l,l-z3故選:B.（2020黑龍江哈爾濱市哈師大附中髙三期中（理））如圖，在底而為正方形的四棱錐R曲CD中，已知刃丄平而ABCD,KPA=AB.若點(diǎn)M為”中點(diǎn)，則直線CM與所成角的大小為（）60° B.45。 C?30° D?90°【答案】c【分析】如圖所示：以A為坐標(biāo)原占，以而，aDf麗為單位向量建立空間直角坐標(biāo)設(shè)網(wǎng)=1,則A(0,0,0),C(1,1,O),M(0,雪],P(O,O,1),B(1,O,O),、乙乙)故海=(1,0,_1)\pb[\mc~PBMC故海=(1,0,_1)\pb[\mc~PBMC由異面直線夾角的范|1；1是（0°,90。］?故直線CM9P8所成角的大小為30。.故選：C.（2020渦陽縣育萃髙級中學(xué)高三月考（理））邊長為4的正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在球0上，OA與平面ABCD所成角為丄，則球。的表面積為（）4A.64兀 B.32〃 C.16龍 D.128龍【答案】A【，析】朗勺.沒匸方形ABCD外接圓的鬪心為q,由題意，AOAO^-.4則心町球的表而積S=4/r?4‘=64兀?故選：A.（2020-廣東湛江市髙三二模（理））已知正方體ABCD^B^D,的棱長為2，E為Ad的中點(diǎn)，下列說法中正確的是（ ）A.與BQ所成的角大于60點(diǎn)E到平而ABCQ、的距離為1三棱錐E-ABC.的外接球的表而積為空￡兀24直線CE與平而ADB.所成的角為空4【答案】D【分析】：如圖，對于A,取DC的中點(diǎn)F,連接EF，QF,則牛EF為E?與所成的角，TDf=D]E=>/5,EF=2>/2，tanZD、EF=-j=<7故A錯(cuò)誤：對于B,由于AdH平面ABC}D}t故B,到平而ABC\D\的距離即點(diǎn)E到平面ABCQ的距離,連接B{C交Bq干G,可得丄平而ABC.D,,而= ，:.點(diǎn)E到平面ABCQ的汁皮為5/2，故B*丹誤:對于C,三棱錐E-ABG的外接球即四棱錐E-ABC4的外接球，?:ABCp為矩形，且AB=2,BC、=2近,EA=EB=EC\=EU=丘、四棱錐E-ABCQ的高為設(shè)四棱錐E-ABC.D,的外接球的半徑為R,則R】=(?+"_R)2,解得R=f.4???三棱錐的外接球的表而積S=4”X(上返)2=空，故C忙:4 2對于D,連接DC,,取DC】的中點(diǎn)H,連接》坊交磴于K.連接CH，HK.VEB.HDC,.?.ZCKH是直線CE1j平而所成的角，任直角三角形CKH中.2CK=—CE=2,CH=yfl,AsinACKH=—=2/I,故D正確.CK2故選：D

（2020-四川涼山彝族自治州?髙三一模（理））日常生活中，有各式各樣精美的糖果包裝禮盒某個(gè)鐵皮包裝禮盒的平而展開圖是由兩個(gè)全等的矩形，兩個(gè)全等的三角形和一個(gè)正方形所拼成的多邊形（如圖），矩形的長為12cm,矩形的寬和正方形的邊長均為8cm.若該包裝盒內(nèi)有一顆球形硬糖的體積為Vcm'，則V的最大值為（）A.64^2 兀3C?32龍A.64^2 兀3C?32龍D.256【答案】A【分析】根據(jù)題意作出禮盒的直觀圖如下圖所示:由圖可知該幾何體為直三棱柱,設(shè)等腰三角形的內(nèi)切鬪半彳彳為/r乂因?yàn)榈妊切蔚捏{為J/—軍=%邁、所以根據(jù)等面積法可知：12"12+s-/?=^^l,所以R=2邁,22又因?yàn)檎叫蔚倪呴L為8?所以/?=2V2<-=4,2所以球形硬糖的半徑最大值為2血，所以體積V的最大值為蘭;r（2血）'二坐2穴，3故選：A.（2020±海長寧區(qū)高三一模）設(shè)加、”為兩條直線，a、卩為兩個(gè)平而，則下列命題中假命題是（）若加丄n,加丄a,"丄0,則a丄0若m//n,in丄a,nlIp,則a丄0若加丄n,mlla.”//0,則alIp若miln,加丄a,"丄0,則a//0【答案】C【分析］A.若皿丄mml.a.n丄0,相當(dāng)于兩平而的法向量垂直，兩個(gè)平而垂直,A正確；B.若mHn,m丄a,則“丄a,又"http://0,則平而0內(nèi)存在直線c〃”，所以c丄a,所以a丄0.B正確；若加丄n，m//a?”//0,則a,0可能相交，叫■能平行，c錯(cuò)；若m丄a，n丄0,則久0的法向呈:平行，所以all卩、D正確.故選：C.（2020四川省瀘縣第一中學(xué)高三月考（理））棱長為2的正方體ABCD-A^CXD｝內(nèi)有一個(gè)內(nèi)切球O,過正方體中兩條異而直線AB,人9的中點(diǎn)P0作直線，則該直線被球而截在球內(nèi)的線段的長為（）A.至 B.72-1 C.V2 D.12【答案】C【分析】如圖，胚V為該直線被球而截在球內(nèi)的線段連結(jié)并延長PO.交對棱C1D于則代為對棱的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)則OH丄：.OH//RO,SlOH=^RO=：.OH//RO,SlOH=^RO=V22:?曲JoW—oh=卞一闍呼':?MN=2MH=5/2?故選：C.二、填空題(2020-四川涼山彝族自治州高三一模(理))在空間中，過4點(diǎn)作平而卩的垂線，垂足為B,記作：B=￡(A).關(guān)于兩個(gè)不同的平而Q,0有如下四個(gè)命題：::若allp,則存在點(diǎn)P滿足fa(P)=ffi(P).□若Q丄0,則存在點(diǎn)P滿足fa(P)=fs(P).匚若all"則不存在點(diǎn)p滿足￡伉的)=乙(￡(円).::若對空間任意一點(diǎn)P,恒有￡(辦(P))=〃(￡(P))，則q丄0其中所有真命題的序號是 -【答案】二二□【分析】二設(shè)￡=￡(P)wa,用=/j(P)w0：：因?yàn)閍llp.所以=則￡(P)*$(P),故錯(cuò)誤;二設(shè)￡=￡(P)wa，呂=%(P)W0,若a丄0,當(dāng)點(diǎn)P4ac/3時(shí)，滿足￡(P)=辦(P),故正確：二設(shè)￡=￡(◎"蟲=%(P)w0，則￡伉(円)“4(￡(P))e0,.因?yàn)閍//0,所以ap|0=0,則￡(厶(円)工乙(￡(円)，故正確：匚設(shè)人=￡(P)",用=〃(P)w0,則?=￡伉(円)=￡(引，2=加￡(円)=力(刃，因?yàn)楹阌小?A(p))=D(￡(p))，則Q，Q重合與一點(diǎn)Q，則PPAQ為矩形’所以&丄0’故正確：故答案為：二二口(2020-全國高三專題練習(xí)(理))如圖，正三棱柱ABCJiBG的所有棱長都相等,E,F,G分別為腫…：Lg旳C】的中點(diǎn)，則場F與平而GEF所成角的正弦值為 .5【分析】設(shè)正三棱柱的棱長為2,取2C的中點(diǎn)ZX連接DG,DB.分別以ZU,DB,DG所在的宜線為X軸，＞，軸，Z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則51(0,?2),F(l,0,1),E(丄?遇.0),?0,0,2),22

喬=（1，一艮T）?麗=（丄，一迺,1）,GF=（1,O,-1）.22設(shè)平而GEF的法向蚩為齊=gy,z），則嚴(yán)"GF帀=0,則嚴(yán)"GF帀=0,即卜-￡0,x-Z=0,取x=l,則z=l,y=I"=（1,、/11）為丫而GEF的-?個(gè)所以lcos</i,B1F>l=l3所以BiF^平而G￡F所成角的正弦值為〒.3故答案為：5（2020安徽六安市六安一中高三月考（理））一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，該幾何體體積為 ■

僱視圖【解析】該幾何體町以看作是一個(gè)四棱錐.四棱錐底而是邊長為2的正方形，髙為館，因此體積4x/3"V三、解答題(2020-四川涼山彝族自治州?髙三一模(理))如圖，四棱錐P—ABCD中，P4丄底[filABCD,AD//BC,ZABC=-tAB=BC=-AD=29且PA=a.E,F分別22為PC,陽的中點(diǎn).(1)若a=2,求證：丄平而ADEF；

（2）若四棱錐P-ABCD的體積為2,求二而角A-PD-C的余弦值.【答案】（1）詳見解析：（2）旦6【分析】（1）當(dāng)a=2時(shí)，AP=AB^點(diǎn)F是腫的中點(diǎn),???4F丄陽又-AP又-AP丄平而ABCD...AD丄且AD丄AB、APC\AB=A.:.AD:.AD丄平而MB,BPu平而Q43,..AD丄陽又AFDAD=At..BP丄平而ADEFx（2）（2）=lx5..wc,xAP=lxlx(2+4)x2xAP=2??汕圖，以A為原點(diǎn)，AB.AD.AP^為兒軸的止方向.建立空間直角坐標(biāo)樂?4(000),P(O.OJ),C(2,2,0),0(040),PC=(2,2-1),PD=(0,4,-l),設(shè)平而PCD的法向雖m=（匕”z）?則彳m~PC=0m?PD=02x+2y-z=0即＜則彳m~PC=0m?PD=02x+2y-z=0即＜4y_z=0令y=i,則x=i,z=4,???用=（1丄4）,顯然AB丄平而PAD，設(shè)平而PAD的法向雖亓=（1,0,0）,一一nvn 1 \[1???二而角A—PD—C是銳二而角，?「二而角A—PD—C的余弦值是遲6（2020-全國髙三專題練習(xí)（理））如圖所示，在梯形?毎CD中,AB//CD、ZBCD=120°,四邊形ACFE為矩形，且CF丄平面ABCD,AD=CD=BC=CF.（1） 求證：EF丄平而BCF；（2） 點(diǎn)M在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)M在什么位置時(shí)，平面妣拐與平而FCE所成的銳二而角最大，并求此時(shí)二面角的余弦值?【答案】（1〉證明見解析；（2）點(diǎn)M導(dǎo)點(diǎn)F7【分析】（1）證明：設(shè)AD=CD=BC=1,9：AB//CD.Z5CD=120%:.AB=2,:.AC1=AB2+BC1-11BBCcos60°=3,:.AB^ACr+BC1.則EC丄,』C????CF丄平而ABCD,4Cu平而ABCD,77???JC丄CF.而CFC\BC=CtCF,ECu平而BCF,:.AC丄平而BCF.9：EF//AC,???EF丄平而ECF（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以直線CJ,CB,CF為x軸、y軸、z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)?=x(0＜；＜73)＞則C(0,0.0), 0?0),B(0,b0).M(z,0,1),?'?而=(一 1，0),BM=(兒~b1).設(shè)n=（A>y.二）為平而的法向量,n-AB=O由S—亓?n-AB=O由S—亓?3M=O取x=l.則/i=(b書_力）易知用=（1,0,0）是平而FCE的一個(gè)法向或冋網(wǎng)1冋網(wǎng)1/.當(dāng)久=0時(shí).COSV洛材〉取得最小值,7???當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)F重介時(shí)，平而NL1B平而FC0所成的銳二而角垠大，此時(shí)二面角的余弦值為(2020-河北邯鄲市?髙三期末)如圖，在四棱錐P—ABCD中，PD丄平面ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形AB//DC.BC=CD=AD=2,AB=4MN分別是AB.AD的中點(diǎn).證明：平而PMN丄平面PAD.若二面角C—PN—D的大小為60°,求四棱錐P-ABCD的體積一【答案】(1)證明見解析：(2)1.【分析】(1)連接DW,顯然DCIIBM且=???四邊形BCDM為平行四邊形，..DMIIBC且 = .△AMD是正三角形、仁MN丄又???PD丄平而ABCD,MNu平而ABCD,:.PD1MN、PDcAD=D;MN丄平而PAD^又MNu平而PMN,.?.平而PMN丄平而PAD.(2)連接3￡>，易知BDHMN,:.BD丄ADBD丄PD.建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則D(0,0,0),7V(1,0,0),C(-l,y/3,0)，設(shè)P(0,0,肋(加>0),???顧=(1,0,-m\頁=(2,—75,0)?

設(shè)平而PNC的法向雖為設(shè)平而PNC的法向雖為a=(k”z)?aPN=Oa-cw=ox一mz=0.即< 廠2x-V3y=0,令乙=羽、a=(2m.J5)?而平而PND的一個(gè)法向量為5=(0J,0).2m丁3〃?2+4〃八+3解得加=—，所以V=—x—x(2+4)x>/3x—=13 32 315