高三上學(xué)期數(shù)學(xué)一輪學(xué)案+基本立體圖形及直觀圖

三數(shù)學(xué)一輪學(xué)案自學(xué)互助，導(dǎo)學(xué)精練第頁基本立體圖形及直觀圖組編劉杰審核劉學(xué)娟【學(xué)習(xí)目標】1.借助特殊幾何體，掌握錐體、柱體、臺體的結(jié)構(gòu)特點；2.結(jié)合圖形特點，會畫其直觀圖，掌握直觀圖的畫法；3.將展開圖還原為直觀圖，借助直觀圖和展開圖，解決直觀圖中的相關(guān)問題；【知識梳理】一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征eq\a\vs4\al(1.簡單幾何體,1多面體的結(jié)構(gòu)特征)名稱棱柱棱錐棱臺圖形底面互相且多邊形互相且側(cè)棱互相且相交于,但不一定延長線交于側(cè)面形狀①特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(平行四邊形))eq\x(\a\al(平行,六面體))eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(\a\al(直平行,六面體))eq\o(→,\s\up7(底面為),\s\do5(矩形))eq\x(長方體)eq\o(→,\s\up7(底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(側(cè)棱與底面),\s\do5(邊長相等))eq\x(正方體)上述四棱柱有以下集合關(guān)系:{正方體}{正四棱柱}{長方體}{直平行六面體}{平行六面體}{四棱柱}．②多面體的關(guān)系:eq\x(棱柱)eq\o(→,\s\up7(一個底面退化),\s\do5(為一個點))eq\x(棱錐)eq\o(→,\s\up7(平行于底面的),\s\do5(平面截得))eq\x(棱臺)(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺球▲圖形母線互相且,于底面長度且相交于延長線交于軸截面全等的全等的全等的側(cè)面展開圖二、直觀圖1、畫法：常用2、規(guī)則：（1）在平面圖形中取互相垂直的軸和軸，兩軸相交于點,畫直觀圖時，把它們分別畫成對應(yīng)的軸與軸，兩軸交于點,且使,它們確定的平面表示水平面；（2）已知圖形中，平行于軸軸或軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于軸、軸或軸的線段；（3）已知圖形中平行于軸或軸的線段，在直觀圖中長度，平行于軸的線段，長度變?yōu)樵瓉淼?；?）連線成圖以后，擦去作為輔助線的坐標軸，就得到了空間圖形的直觀圖.簡記為：①；②；③；④.思考：斜二測畫法中，直觀圖與原圖有什么變化嗎？ 【診斷自測與教材衍化】（教材必修第二冊101頁及其衍化題）判斷（1）長方體是四棱柱，直四棱柱是長方體；（）（2）四棱柱、四棱臺、五棱錐都是六面體；（）（3）圓柱的每個軸截面都是全等矩形（）（4）用一個平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺（）2.（教材必修第二冊101頁）填空（1）一個幾何體由7個面圍成，其中兩個面是互相平行且全等的五邊形，其他面都是全等的矩形，則這個幾何體是；（2）一個多面體最少有個面，此時這個多面體是．3．（2022·河南商丘·高三期末）下列關(guān)于棱錐?棱臺的說法正確的是A．有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體是棱臺B．用一個平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺C．棱臺的側(cè)面展開圖是由若干個等腰梯形組成的D．棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點4.（教材必修第二冊105頁第3題）充滿氣的車輪內(nèi)胎可由下面哪個平面圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成A． B． C． D．【考點檢測】考點一、基本立體圖形的結(jié)構(gòu)特征5.（教材必修第二冊106頁第6題）下面給出的命題中，正確的個數(shù)是①一個棱柱至少有5個面②平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形④有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺=5\*GB3⑤有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐A．1 B．2 C．3 D．46.（教材必修第二冊106頁第10題衍生）下列命題正確的是A．所有棱長都相等的直四棱柱一定是正方體 B．長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體 C．有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形的多面體是棱柱 D．有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺7（多選）（2022·江西上饒·高三期末）下列命題正確的是A．棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形B．棱錐是由一個底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點的三角形圍成的幾何體C．底面是正多邊形的棱柱是正棱柱；D．球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面考點二、直觀圖8.用斜二測畫法畫下列圖形的直觀圖；（1）（教材必修第二冊108頁例題）水平放置的正六邊形．（2）（教材必修第二冊112頁第5題）用斜二測畫法畫出水平放置的一角為60°、邊長為4cm的菱形的直觀圖．（3）（教材必修第二冊112頁第7題）一個幾何體的三視圖如圖所示畫出這個幾何體的直觀圖9．（2022·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）如果一個水平放置的圖形用斜二測畫法畫出的直觀圖是一個底角為45°，腰和上底均為1的等腰梯形，那么原平面圖形的面積是______.10．（2022·全國·高三專題練習(xí)）水平放置的的斜二測直觀圖如圖所示,已知,則中邊上的中線的長度為_______.考點三、展開圖11.（教材必修第二冊106頁第7題）如圖，長方體中由下面的平面圖形圍成的是A．B．C．D．12．多選題（2022·全國·模擬預(yù)測）如圖是一個邊長為1的正方體的側(cè)面展開圖，將其還原成正方體后，下列說法中正確的是A．AB⊥CEB．C．EF與AB所成角為60°D．AB與平面CEF所成角的大小為30°13．（2022·山東聊城·）某同學(xué)勞動課上制作了一個圓錐形禮品盒，其母線長為40cm，底面半徑為10cm，從底面圓周上一點A處出發(fā)，圍繞禮品盒的側(cè)面貼一條金色彩線回到A點，則所用金色彩線的最短長度為___________cm.14.如圖，已知正三棱柱ABC—A1B1C1的底面邊長為2cm，高為5cm，則一質(zhì)點自點A出發(fā)，沿著三棱柱的側(cè)面繞行兩周到達點A1的最短路線的長為______cm.15.（英才）如圖所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝BC＝eq\r(2)，BB1＝2，∠ABC＝90°，E，F(xiàn)分別為AA1，C1B1的中點，則沿棱柱的表面從點E到點F的最短路徑為．16.（英才）如圖所示，圓臺母線AB長為20cm，上、下底面半徑分別為5cm和10cm，從母線AB的中點M拉一條繩子繞圓臺側(cè)面轉(zhuǎn)到B點，則這條繩長的最小值為cm．【高考鏈接】17．（2020·全國·高考真題（理））如圖，在三棱錐P–ABC的平面展開圖中，AC=1，，AB⊥AC，AB⊥AD，∠CAE=30°，則cos∠FCB=______________.18．答案：立體圖形及直觀圖1.解析：（1）長方體是四棱柱，直四棱柱的底面不一定是長方形，故不一定是長方體，錯誤；（2）正確；對于（3）圓柱的每一個截面都是全等的矩形，故正確；對于（4）用一個平行于底面的平面截圓錐，必得到一個圓錐和一個圓臺，故錯誤．2.解：（1）兩個面互相平行且全等的五邊形，則這兩個面肯定是幾何體的上、下底面，其余各面是全等的矩形，則這些矩形是側(cè)面，符合直五棱柱的定義和結(jié)構(gòu)特點，故幾何體的名稱：直五棱柱；（2）4；四面體；3.【答案】D對于A，棱臺的各側(cè)棱的延長線交于一點，因此有兩個面平行且相似，其他各面都是梯形的多面體不一定是棱臺，故A錯；對于B，用一個平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間部分所圍成的幾何體叫做棱臺，故B錯誤；對于C，棱臺的側(cè)面展開圖不一定是由若干個等腰梯形組成的，故C錯誤；對于D，棱臺是由平行于棱錐底面的平面截得的，故棱臺的各側(cè)棱延長后必交于一點，故D正確.4.【答案】C車輪內(nèi)胎截面為圓形，故車輪內(nèi)胎是由圓形繞車輪軸所在直線旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體．故選：C．5.【答案】D①三棱柱有5個面組成，所以一個棱柱至少有5個面，所以①正確；②平行六面體中相對的兩個面是全等的平行四邊形，滿足平行六面體的結(jié)構(gòu)特征，所以②正確；③正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，滿足正棱錐的定義，所以③正確；④有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺，不滿足棱臺的定義，所以④不正確．對于=5\*GB3⑤：有一個面是平行四邊形的棱錐一定是四棱錐，符合四棱錐的定義，故=5\*GB3⑤正確；故選：D6.【答案】B所有棱長相等的直四棱柱，若底面是菱形，則它不是正方體；所以A不正確；長方體一定是直四棱柱，正四棱柱一定是長方體，滿足長方體的定義，所以B正確；有兩個面平行，其他各個面都是平行四邊形兩個扣在一起的斜棱柱組成的多面體就不是棱柱，故C錯誤；有兩個面平行且相似，其他各個面都是梯形的多面體是棱臺，不滿足棱臺的定義，所以D不正確．故選：B．7.【答案】BD對于A，棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形但不一定全等，A錯；對于B，由棱錐的定義知由一個底面為多邊形，其余各面為具有公共頂點的三角形圍成的幾何體是棱錐，正確；對于C，底面是正多邊形，側(cè)棱與底面垂直的棱柱是正棱柱，所以C不正確；對于D，球面可以看作一個圓繞著它的直徑所在的直線旋轉(zhuǎn)180°所形成的曲面，正確；故選：BD.8.（1）解：如圖，在正六邊形ABCDEF中，以FC所在直線為x軸，以FC的中垂線為y軸建立平面直角坐標系，設(shè)正六邊形交y軸于G，H，畫相應(yīng)的x′，y′軸，使得∠x′O′y′＝45°（或135°），在x′軸上截取F′C′＝FC，且使O′為F′C′的中點，在y′軸上截取H′G′，且=12HG，使O′為H′分別過H′，G′作E′D′∥x′，A′B′∥x′，且E′D′＝ED，A′B′＝AB，H′為E′D′的中點，G′為A′B′的中點．連接A′F′、F′E′、D′C′、B′C′，則六邊形A′B′C′D′E′F′為正六邊形ABCDEF的水平放置的直觀圖．（2）【解答】解：建立如圖所示的坐標系，在x軸上取點B（﹣23，0），D（23，0），在y軸上取點A（0，1），C（0，﹣1），依次連接AB，BC，DA，則四邊形ABCD為所求．（3）根據(jù)幾何體的三視圖可知，該幾何體由一個球體和一個圓錐構(gòu)成的組合體；直觀圖如圖所示： 9.【答案】##【詳解】直觀圖中，梯形的下底長為，作出原圖形如下圖所示：由圖可知，原圖形為直角梯形，且該梯形的上底長為，下底長為，高為，因此，原圖形的面積為10.【答案】【詳解】把直觀圖還原成平面圖形如圖所示：得為直角三角形，且兩條直角邊的長，由勾股定理可得，故三角形AB邊上的中線長為，故答案是.11.【答案】D，D折成的長方體有兩組對面是黑色的，一組對面是白色的．12.【答案】BD【詳解】將題中展開圖還原成正方體后的圖形如圖所示，連接AF，BF，由正方體的性質(zhì)可知，AF∥CE，AB＝BF＝AF，則∠FAB為異面直線AB與CE所成角，且∠FAB＝60°，故AB與CE不垂直，A錯誤；連接AE，由圖可知，AE為體對角線，因此，B正確；因為EF∥BT，所以∠ABT為異面直線EF與AB所成角，且∠ABT＝45°，所以EF與AB所成角為45°，C錯誤；過點B作CE的垂線，交CE于點O，連接OA，因為BO⊥平面CEF，平面CEF，所以BO⊥AO，∠BAO即為AB與平面CEF所成角，，，，所以∠BAO＝30°，D正確．故選：BD．13.【答案】由圓錐側(cè)面展開為半徑為40cm，弧長為cm的扇形，所以圓心角為，而該扇形圓心角所對的弦長為最短金色彩線長度，故所用金色彩線的最短長度為cm.故答案為：14.【答案】13將側(cè)面二次展開，得到長、寬各為12cm、5cm矩形，其對角線即為所求．15.【答案】eq\f(3\r(2),2)【解析】若將△A1B1C1沿A1B1折起，使得E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，則此時EF＝eq\r(\f(7,2)＋\r(2)).若將側(cè)面沿B1B展成平面，則此時EF＝eq\r(\f(11,2)).若將△A1B1C1沿A1C1折起使得E，F(xiàn)在同一平面內(nèi)，則此時EF＝eq\f(3\r(2),2).經(jīng)比較知沿棱柱的表面從點E到點F的最短為eq\f(3\r(2),2).16.【答案】50【解析】作出圓臺的軸截面與側(cè)面展開圖，如圖所示，如圖1，由其軸截面中Rt△OPA與Rt△OQB相似，得eq\f(OA,OA＋AB)＝