分式方程應(yīng)用題常見錯(cuò)例分析

分式方程應(yīng)用題常見錯(cuò)例分析

分段方程式（應(yīng)用程序）是考試中必要的內(nèi)容，也是易于丟失的內(nèi)容。通過學(xué)生的練習(xí),我在日常教學(xué)中發(fā)現(xiàn)了一些典型錯(cuò)例,現(xiàn)呈現(xiàn)如下:一、典型錯(cuò)誤和分析(一)理解的錯(cuò)誤和分析這里涉及到分式方程的概念。例1.下列各式中哪些是分式方程?錯(cuò)解1:分式方程有12456;錯(cuò)解2:分式方程有:2346。(二)程序知識(shí)的錯(cuò)誤和分析程序性知識(shí)錯(cuò)誤是指解方程過程中出現(xiàn)的一些錯(cuò)誤。主要有如下六種錯(cuò)誤:2.原方程的解—去分母時(shí),漏乘常數(shù)項(xiàng)。得x-3+1=--3.x=-1.檢驗(yàn):當(dāng)x=-1時(shí),x-2≠0,∴x=-1是原方程的解。錯(cuò)例分析:將分式方程化為整式方程時(shí),需要去分母,本例中去分母時(shí)沒有遵守等式的基本性質(zhì),不含分母的項(xiàng)沒有乘以最簡(jiǎn)公分母。3.原方程的解檢驗(yàn):當(dāng)x=4時(shí),x-2≠0,∴x=4是原方程的解。錯(cuò)例分析:本例中將2-x和x-2視為相等的量,造成這個(gè)錯(cuò)誤的原因是審題不仔細(xì)或者不清楚二者之間的聯(lián)系。4.視了線條作用錯(cuò)例分析:分?jǐn)?shù)線可以表示除號(hào)、比號(hào)或括號(hào)。本題的錯(cuò)解正是忽視了分?jǐn)?shù)線的括號(hào)作用。當(dāng)分子是多項(xiàng)式,分?jǐn)?shù)線前面是負(fù)號(hào)時(shí),必須將題目中分?jǐn)?shù)線隱含的作用——括號(hào)作用顯象出來,即去分母時(shí),將分子用括號(hào)括起來,然后再按照去括號(hào)法則去括號(hào)。5.最簡(jiǎn)公分母為0錯(cuò)例分析:將分式方程化為整式方程時(shí),整式方程的解有可能使得最簡(jiǎn)公分母為0。若最簡(jiǎn)公分母為0,則這個(gè)解不是原方程的解;否則是原方程的解。此錯(cuò)解中x=4使得最簡(jiǎn)公分母x-4=0,此時(shí)分式?jīng)]有意義,故x=4不是原方程的解。(三)戰(zhàn)略知識(shí)的錯(cuò)誤和分析策略性知識(shí)是關(guān)于如何學(xué)習(xí)、如何思維的知識(shí),它體現(xiàn)問題解決的過程。在這個(gè)過程中,學(xué)生易犯的錯(cuò)誤有以下三條:1.甲騎自行車和乙騎自行車進(jìn)出了1公里的速度例8.列方程(組)解應(yīng)用題:某鄉(xiāng)村距城市50千米,甲騎自行車從鄉(xiāng)村出發(fā)進(jìn)城,出發(fā)1小時(shí)30分鐘后,乙騎摩托車也從鄉(xiāng)村出發(fā)進(jìn)城,結(jié)果比甲先到1小時(shí).已知乙的速度是甲的速度的2.5倍,求甲、乙兩人的速度。2.下走路段速度例9.甲、乙兩人分別從距目的地6千米和10千米的兩地同時(shí)出發(fā),甲每小時(shí)走的路程是乙每小時(shí)所走路程的,結(jié)果比乙提前20分鐘到達(dá)目的地。求甲、乙的速度。錯(cuò)例分析:錯(cuò)誤的原因是審題不仔細(xì),忽視“甲每小時(shí)走的路程是乙每小時(shí)所走路程的”中用的單位是小時(shí),所以沒有將20分鐘化為小時(shí)。3.求原計(jì)劃鋪設(shè)管道x米例10.列方程或方程組解應(yīng)用題:某市為了治理城市污水,需要鋪設(shè)一段全長(zhǎng)為300米的污水排放管道,鋪設(shè)120米后,為了盡可能減少施工對(duì)城市交通所造成的影響,后來每天的工作量比原計(jì)劃增加20%,結(jié)果共用了27天完成了這一任務(wù),求原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道多少米?錯(cuò)解:設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道x米,則實(shí)際上每天鋪設(shè)(x+20%)米,根據(jù)題意得錯(cuò)例分析:錯(cuò)解的原因是學(xué)生沒有理解“比原計(jì)劃增加20%”的含義,頭腦中沒有理解百分?jǐn)?shù)的意義。實(shí)際上把這句話可以翻譯成“比原計(jì)劃增加原計(jì)劃的20%”,學(xué)生就不會(huì)出錯(cuò)了。二、營造良好的教學(xué)心理如果把教材看作一種靜態(tài)的教學(xué)資源,那么學(xué)生作業(yè)中的錯(cuò)誤則是一種動(dòng)態(tài)的教學(xué)資源,它可以讓老師們從中發(fā)現(xiàn)學(xué)生哪些知識(shí)沒掌握好。面對(duì)各種各樣的錯(cuò)誤,老師們應(yīng)以一種冷靜平和的心態(tài)去面對(duì)它,去反思自己的備課環(huán)節(jié)和課堂教學(xué)環(huán)節(jié)中的不足,去鉆研教材,研究學(xué)生的心理、研究學(xué)生知識(shí)的薄弱點(diǎn)并制定進(jìn)一步的教學(xué)對(duì)策。在這個(gè)過程中,學(xué)生的思維得到發(fā)展了,老師的教學(xué)技能也加強(qiáng)了,這就是教學(xué)相長(zhǎng)的道理所在。以下是我針對(duì)上述典型錯(cuò)例制定的一些教學(xué)對(duì)策。(一)加強(qiáng)概念教育為了明確分式方程和整式方程的區(qū)別,我設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)步驟:1.首先，讓學(xué)生回顧整個(gè)和分段風(fēng)格的概念，然后給學(xué)生們提供一組練習(xí)，以真正體驗(yàn)分工和風(fēng)格之間的差異練習(xí):下列式子中,哪些是分式?哪些是整式?兩類式子的區(qū)別是什么?2.生成母中含有對(duì)數(shù)的理解讓學(xué)生分組討論分析分式方程必須滿足的兩個(gè)條件:⑴帶有“=”。⑵分母中含有未知數(shù)。這兩個(gè)條件是判斷一個(gè)方程是否為分式方程的標(biāo)準(zhǔn)。為了強(qiáng)化這個(gè)概念,有效降低錯(cuò)誤的發(fā)生率,出示一組練習(xí):下列各式中哪些是分式方程?哪些是整式方程?并說出整式方程和分式方程的區(qū)別?(二)分式方程的步驟解分式方程的基本思想是將分式方程化為整式方程,具體做法是“去分母”,即方程兩邊同乘最簡(jiǎn)公分母。應(yīng)給學(xué)生充分滲透這種化歸思想的教學(xué)。通過前面的錯(cuò)例發(fā)現(xiàn)學(xué)生在去分母時(shí)容易發(fā)生各種各樣的錯(cuò)誤,為避免這種錯(cuò)誤,我認(rèn)為,在教學(xué)中課前應(yīng)先復(fù)習(xí)最簡(jiǎn)公分母,然后再引導(dǎo)學(xué)生歸納解分式方程的步驟:1.將分母分解因式,達(dá)到更準(zhǔn)確快捷地找出最簡(jiǎn)公分母;2.去分母,將分式方程化為整式方程,讓學(xué)生充分體會(huì)化歸思想;根據(jù)等式的基本性質(zhì),將分式方程中的每一項(xiàng)必須同時(shí)乘以最簡(jiǎn)公分母;特別注意:(1)不要漏乘不含分母的項(xiàng);(2)當(dāng)分式的分子是多項(xiàng)式時(shí),將分?jǐn)?shù)線看作括號(hào),將分子括起來。3.求解整式方程;解完后,老師可以提出問題:整式方程的解一定是分式方程的解嗎?學(xué)生小組充分討論后得出:整式方程的解不一定是分式方程的解,如果整式方程的解使得分母不為0,那它是原分式方程的解,否則就不是原方程的解。因此最后必須驗(yàn)根;4.檢驗(yàn)整式方程的解是否是原方程的解。特別注意:這個(gè)檢驗(yàn)是包含兩方面的:(1)首先檢驗(yàn)整式方程的解是否使得原方程左右兩邊相等,這個(gè)過程不需要寫在答題紙上;(2)檢驗(yàn)整式方程的解是否使得最簡(jiǎn)公分母為0,從而確定是否是原分式方程的解,這個(gè)過程需要寫在答題紙上。(三)分式方程學(xué)習(xí)藝術(shù)新課標(biāo)提出要培養(yǎng)學(xué)生的建模意識(shí),發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。其實(shí),用方程解應(yīng)用題本身就是一個(gè)建模的過程,方程的建模仍是一個(gè)難點(diǎn)。困難在于:一大堆的文字語言敘述,看著就頭疼,不愿意讀,更不愿意思考;條件很多,不知該如何聯(lián)系和運(yùn)用;可以設(shè)出未知數(shù),卻不知如何去找等量關(guān)系?鑒于上述困難,我著手從以下六個(gè)方面來訓(xùn)練學(xué)生用分式方程解應(yīng)用題的能力:審、設(shè)、列、解、驗(yàn)、答。錯(cuò)例分析:造成錯(cuò)誤的本質(zhì)原因是對(duì)概念理解不透徹。對(duì)于什么是分式,什么是方程,什么是分式方程,學(xué)生理解不到位。例如錯(cuò)解1,學(xué)生將視為分式方程,原因是分式的概念在頭腦中沒有建構(gòu),從而將分式和分?jǐn)?shù)混淆。對(duì)于錯(cuò)解2,學(xué)生誤將認(rèn)為是分式方程,原因是只認(rèn)識(shí)到分式,而忽略方程的概念,實(shí)際上方程是一個(gè)等式,沒有等號(hào)的式子是不能叫方程的,更不是分式方程了。1.u3000常見錯(cuò)誤錯(cuò)解:方程兩邊都乘以x(x+3),得x+3=2x,解得x=3.檢驗(yàn):當(dāng)x=3時(shí),x(x+3)≠0.∴x=3是原方程的解。錯(cuò)例分析:分式方程化為整式方程時(shí),需要去分母,去分母關(guān)鍵就是找出最簡(jiǎn)公分母。本例錯(cuò)誤的原因就是不會(huì)找最簡(jiǎn)公分母,忽略了分母中的常數(shù)因子2,另外2不知不覺消失了。錯(cuò)解:方程兩邊同時(shí)乘以x-2得x-3+x-2=3.x=4.錯(cuò)解:去分母,得5-x+2=3(x-7),解得x=7。檢驗(yàn):當(dāng)x=7時(shí),x-7=0,所以原方程無解。錯(cuò)解:去分母得5-x-1=x-4,解得x=4。錯(cuò)解:設(shè)甲的速度是x千米/時(shí),則乙的速度為2.5x千米/時(shí),根據(jù)題意得(其余步驟略)錯(cuò)例分析:錯(cuò)解中沒有理清在進(jìn)城過程中,甲比乙多用了2.5個(gè)小時(shí)。錯(cuò)誤的本質(zhì)原因是沒有仔細(xì)審題,不會(huì)運(yùn)用數(shù)形結(jié)合(畫圖)的思想去思考問題。1.先讓學(xué)生仔細(xì)讀題,圈畫關(guān)鍵詞或有用的信息點(diǎn)(包括已知和未知),然后將這些關(guān)鍵詞重新再梳理一遍,理清題目中的變量和不變量;如:例8中鄉(xiāng)村和城市之間的距離是隱含的不變量。同時(shí),對(duì)于行程問題,可以提醒學(xué)生用畫圖去解決問題,體現(xiàn)數(shù)形結(jié)合的思想。3.明確一些公式;如:路程=速度×?xí)r間,工作量=工作效率×工作時(shí)間等等。4.從多個(gè)等量關(guān)系中挑選出合適的等量關(guān)系;如例8,通過讀題發(fā)現(xiàn)是追及問題,因此可以通過畫圖來分析題目中的重要信息點(diǎn),從而得出兩個(gè)等量關(guān)系:1甲用的時(shí)間=乙用的時(shí)間+1.5+1,2乙的速度=甲的速度×2.5。本題所求是兩人的速度,所以選擇1作為等量關(guān)系來列方程。5.根據(jù)題意,設(shè)未知數(shù)x;注意:一般題目中的所求可直接設(shè)為未知數(shù),有時(shí)也可間接設(shè);如例9中,根據(jù)等量關(guān)系2,一般“設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)”更合適。6