史上最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法13種

歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編最全的數(shù)列通項(xiàng)公式的求法時(shí)間：2021.03.02創(chuàng)作：歐陽(yáng)數(shù)數(shù)列是高考中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，每年的高考題都會(huì)考察到，小題一般較易，大題一般較難。而作為給出數(shù)列的一種形式一通項(xiàng)公式，在求數(shù)列問題中尤其重要。本文給出了求數(shù)列通項(xiàng)公式的常用方法。一、直接法根據(jù)數(shù)列的特征"使用作差法等直接寫出通項(xiàng)公式。二、公式法①利用等差數(shù)列或等比數(shù)列的定義求通項(xiàng)②若已知數(shù)列的前n項(xiàng)和s與0的關(guān)系，求數(shù)列^｝的通項(xiàng)〃TOC\o"1-5"\h\zn n n n可用公式a/S1 n=1求解.n[S-S n>2nn-1(注意：求完后一定要考慮合并通項(xiàng))例2?①已知數(shù)列｝的前n項(xiàng)和s滿足s=2a+(-1)n,n>1?求n n n n數(shù)列t｝的通項(xiàng)公式.n②已知數(shù)列｝的前n項(xiàng)和S滿足S二n2+n-1,求數(shù)n n n列t｝的通項(xiàng)公式.n③已知等比數(shù)列｝的首項(xiàng)a二1,公比0<q<1,設(shè)n 1數(shù)列心｝的通項(xiàng)為b=a+a，求數(shù)列b｝的通項(xiàng)公式。n nn+1n+2 n③解析：由題意，b二a+a，又｝是等比數(shù)列，n+1n+2n+3 n歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編歐陽(yáng)數(shù)創(chuàng)編公比為q,\公比為q,\b a +a?? n11=—n+2 n+3=qb a +an n+1 n+2,故數(shù)列心｝是等比數(shù)歹I」，nb=a+a=aq+aq2=q(q+1)，1231 1…b=q(q+1)-qn-1=qn(q+1)n三、歸納猜想法如果給出了數(shù)列的前幾項(xiàng)或能求出數(shù)列的前幾項(xiàng),我們可以根據(jù)前幾項(xiàng)的規(guī)律,歸納猜想出數(shù)列的通項(xiàng)公式,然后再用數(shù)學(xué)歸納法證明之。也可以猜想出規(guī)律,然后正面證明。四、累加（乘）法對(duì)于形如〃一〃+f3)型或形如〃.f⑺〃型的數(shù)列，我a—a+f\n a—fnboaTOC\o"1-5"\h\zn+1n n+1 n們可以根據(jù)遞推公式，寫出n取1到n時(shí)的所有的遞推關(guān)系式,然后將它們分別相加（或相乘）即可得到通項(xiàng)公式。例4.若在數(shù)列沖，a.3,a-a+n，求通項(xiàng)a。n 1 n+1n n例5.在數(shù)歹乩沖，a—1，a—2na（neN*），求通項(xiàng)a。n 1 n+1 n n五、取倒（對(duì)）數(shù)法a、a.par這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為n+1 n— +，再利用待定系數(shù)法求解a—pa+qn+1 nb數(shù)列有形如于（°,°,aa）.0的關(guān)系，可在等式兩邊同乘nn-1nn-1以1，先求出±,再求得a.aa a nnn-1 nC、0.f（〃）a 解法：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)a nn+1g（n）a+h（n）n

后換元轉(zhuǎn)化為a=pa+q。TOC\o"1-5"\h\zn+1 n例6.?設(shè)數(shù)"」｛,｝滿足a=工a='(“e叫求「.n 1 n+1a+3 nn例7設(shè)正項(xiàng)數(shù)列｝滿足a=1,。=2°2(n>2).求數(shù)列n 1 n n-1解：兩邊取對(duì)數(shù)得：log｛a｝解：兩邊取對(duì)數(shù)得：logan=1+2loga〃1'loga”+1=2(log*1+1)，2 22 2設(shè)b=logan+1'n2則b=2b%｝是以2為公比的等比數(shù)列,b=log1+1=1.n n-1n 1 2'loga=2n-1—1 '2nb=1x2n-1=2'loga=2n-1—1 '2nn2*a=22n-1-1n變式:1.已知數(shù)列1.已知數(shù)列｛an｝滿足：al=3,且an二23na n=1—(n22,n￡N*)2a+n—1n－1求數(shù)列｛an｝的通項(xiàng)公式;2、若數(shù)列的遞推公式為a=3,A=1-2(n￡),則求1aan+1nN這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式。3、已知數(shù)列｛a｝滿足a=1,n22時(shí),a-a=2aa，n 1 n-1n n-1n求通項(xiàng)公式。4、已知數(shù)列」｛3「｝滿足：〃=a- =1,求數(shù)列」a-n-1,a-n3?a+11n-1｛an｝的通項(xiàng)公式。5、若數(shù)列｛a｝中，3=1,a=2an￡N,求 n—n 1 n+1a+2 +n通項(xiàng)3.六、迭代法迭代法就是根據(jù)遞推式，采用循環(huán)代入計(jì)算.七、待定系數(shù)法：1、通過分解常數(shù)，可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列｛a+k｝的形式求解。一般地，形如a=pa+q(p，1,pqH0)型的遞推式均可通過待定系數(shù)法對(duì)常數(shù)q分解法：設(shè)a+k=p(a+k)與原式比較系數(shù)可得pk-k=q，即k=工，從而得等比數(shù)PT歹i」｛a+k｝。例9、數(shù)列」｛3｝滿足a=1,a=1a+1(n^2),求數(shù)n 1 n2n-1列｛a｝的通項(xiàng)公式。說明n：通過對(duì)常數(shù)1的分解，進(jìn)行適當(dāng)組合，可得等比數(shù)列｛an－2｝，從而達(dá)到解決問題的目的。TOC\o"1-5"\h\z練習(xí)、1數(shù)列｛a｝滿足a=1,3〃+a-7=0，求數(shù)列｛a｝n 1 n+1n n的通項(xiàng)公式。2、已知數(shù)列｝滿足a二1,且a二3a+2，求a.n 1 n+1 n n2、遞推式為a=pa+qn+1(p、q為常數(shù))時(shí)，可同除qn+1,n+1 n得M.，+1，令b二匕從而化歸為a二pa+q(P、q為qn+1qqn nqn n+1 n常數(shù))型．、例10?已知數(shù)列t｝滿足a:1,a二3n+2a(n>2)，求n 1 n n-1a．n解：將a二3n+2a 兩邊同除3n，得n n-1

a2aa2a―n=1+n1―^——n=1+n13n3n 3n 33n-1b^b=人，貝Ub=1+—b ?令b—t=—(b—t)nb=—b+—tn3n n3n—1 n3n—1 n3n—13TOC\o"1-5"\h\znt=3?條件可化成b—3=2(b—3)，數(shù)歹1」b—3｝是以n 3n—1 nb-3=L-3.8為首項(xiàng)，1 3 32為公比的等比數(shù)列b—3二—工(2)n-1?因b二匕,3 n3 3 n3n,c c/82 c、 「 小...a=b3n=3n(——X(—)n-1+3)na=3n+1—2n+2?n n33 n3、開少如a=pa+an+b(p于1、0,aw0)n+1 n解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令a+x(n+1)+kp(a+xn+y)，與已知遞推式比較，解出x,y，n+1 n從而轉(zhuǎn)化為\+xn+J是公比為p的等比數(shù)列。n例11：設(shè)數(shù)列 ｝：a=4,a=3a+2n-1,(nN2)，求a.n 1 n n—1 n解：令a,+x(n+1)+y=3(a+xn+y)

n+1 n化簡(jiǎn)得：a.=3a+2xn+2y—xn+1 nJ2x=2 x=1所以I2y—x=-1解得:y=0a+(n+1)=3(a+n)n+1 n=5x3n-1-n又因?yàn)閍1+1=5，所以數(shù)列｛=5x3n-1-n從而可得a+n=5x3n-1,所以anna=pa+an2+bn+c(p中1、0,aw0)n+1 n解法：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列，即令a+x(n+1)2+y(n+1)+c=p(a+xn2+yn+c)，與已知遞推n+1 n式比較，解出X,y,Z.從而轉(zhuǎn)化為+⑼2+yn+J是公比為np的等比數(shù)列。例12：設(shè)數(shù)歹叫｝：a=4,a=3a+2n2-1,(n>2)，求a.n 1 n n-1 n八：不動(dòng)點(diǎn)法，形如〃.pa+qa-n

n+1ra+hn解法：如果數(shù)列｛a｝滿足下列條件：已知a的值且對(duì)于neN,n1都有 —pa“+q(其中p、q、r、h均為常數(shù)，且O- nn+1ra+hnph豐qr,r20,a=一h)，那么，可作特征方程x=竺±1，當(dāng)特征方

1r rX+h程有且僅有一根X時(shí)，則|，1是等差數(shù)列;當(dāng)特征方程有兩0 1=小個(gè)相異的根八x時(shí)，則|a=1是等比數(shù)列。1 2 1a-x|n2例15:已知數(shù)列I」｛a｝滿足性質(zhì):對(duì)于neN,a二3，且a二3,n n-12a+3 1n求｛a｝的通項(xiàng)公式.n九：換元法：類比函數(shù)的值域的求法有三角代換和代數(shù)代換兩種，目的是代換后出現(xiàn)的整體數(shù)列具有規(guī)律性。例16已知數(shù)列｛a｝滿足a=1(1+4a+產(chǎn)后),a=1，求n n+116 n、 n1數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n解：令b=產(chǎn)/，則a=-1(b2-1)n' n n24n故a=—(b2-1)，代入a=—(1+4a+1+24a)得

n+124n+1 n+116 n n即4b2=(b+3)2n+1 n

因?yàn)閎=IT24F>0，故b=.1+24a>0n… n n+1、 n+1則2b=b+3，即b=1b+3，n+1 n n+12n2可化為b-3=1（b-3），n+1 2n{b^^^{b—3}以b—3=J1+24a—3=1++24x1—3=2為首項(xiàng)，以1為公比的域比數(shù)列，因此bj3=2（2）n—1=（2）n—2,則b=（2）n-2+3，即/+24a=（2）n-2+3，得=2=2（1）n+34評(píng)注：本題解題的關(guān)鍵是通過將:中4廠的換元為b,使% n n得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化b」+3形式，從而可知數(shù)列n+1 2n2｛b—3｝為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列｛b—3｝的通項(xiàng)公式，最nn后再求出數(shù)列｛a｝的通項(xiàng)公式。n例18.已知數(shù)列摘足a二1，a?三，求a。n 12 n+112 n解析：設(shè)aa解析：設(shè)aa11 —?！猚os—，2 3? ■1+a?a—、、 nn+1 2兀a—兀a—cos n 2n—1.3a—cos—，a—cos 2 6 3 22?3總之，求數(shù)列的通項(xiàng)公式，就是將已知數(shù)列轉(zhuǎn)化成等差（或等比）數(shù)列，從而利用等差（或等比）數(shù)列的通項(xiàng)公式求其通項(xiàng)。十、雙數(shù)列解法：根據(jù)所給兩個(gè)數(shù)列遞推公式的關(guān)系，靈活采用累加、

累乘、化歸等方法求解。TOC\o"1-5"\h\z例19.已知數(shù)列｝中，a=1；數(shù)歹此｝中，b=0。當(dāng)n22時(shí)，n 1 n1a=—(2a+b),b=-(a+2b)，求a,b?

n3n-1 n-1 n 3n-1 n-1 n n解：因a+b=1(2a+b)+1(a+2b)=a+bnn3 n-1 n-1 3n-1n-1 n-1 n-1所以a+b所以a+b=a+b=a+bnn n-1 n-1 n-2 n-2即a+b=1

nn??=a+b=a+b=12211 (1)所以3)n-1(a1-b1)1)n-所以3)n-1(a1-b1)1)n-1.即a-bnn1)n-1（2）由（1）、（2）得：一、周期型a=1[1+(1)n-1],b=1[1-(1)n-1]n2 3 n2 3解法：由遞推式計(jì)算出前幾項(xiàng)，尋找周期。例20：若數(shù)列｝滿足a=\n n+12a,(0<a<2a-1,(1<a<1)

2n2）若，a6，則a7 20又因?yàn)閍-b=1(2a +b)--(a +2b)=—(a-b)nn3 n-1 n-1 3 n-1 n-1 3n-1 n-1a-b=—(a-b)=(—)2a -b)=nn3 n-1 n-1 3 n-2 n-2的值為變式:（2005，湖南,文，5）已知數(shù)列｛a｝滿足已知數(shù)列｛a｝滿足a=0,a

n1n+1a一%；3——n 、右a+1n(neN*)則a20A．A．0C?戶十二、分解因式法

當(dāng)數(shù)列的關(guān)系式較復(fù)雜，可考慮分解因式和約分化為較簡(jiǎn)形式，再用其它方法求得an.例21.已矢口/(x)—(x_1)4,g(x)-r.(x-1)3,(r00,D,婁攵歹U{a}；兩^足na-2,a-1 (