舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第八章立體幾何第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖

第1講空間幾何體的結(jié)構(gòu)及其三視圖和直觀圖1．空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征(1)多面體的結(jié)構(gòu)特征名稱棱柱棱錐棱臺(tái)圖形底面互相eq\o(□,\s\up3(01))平行且eq\o(□,\s\up3(02))全等多邊形互相eq\o(□,\s\up3(03))平行且eq\o(□,\s\up3(04))相似側(cè)棱eq\o(□,\s\up3(05))平行且相等相交于eq\o(□,\s\up3(06))一點(diǎn)，但不一定相等延長(zhǎng)線交于eq\o(□,\s\up3(07))一點(diǎn)側(cè)面形狀eq\o(□,\s\up3(08))平行四邊形eq\o(□,\s\up3(09))三角形eq\o(□,\s\up3(10))梯形(2)旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征名稱圓柱圓錐圓臺(tái)球圖形母線互相平行且相等，eq\o(□,\s\up3(11))垂直于底面相交于eq\o(□,\s\up3(12))一點(diǎn)延長(zhǎng)線交于eq\o(□,\s\up3(13))一點(diǎn)—軸截面全等的eq\o(□,\s\up3(14))矩形全等的eq\o(□,\s\up3(15))等腰三角形全等的eq\o(□,\s\up3(16))等腰梯形eq\o(□,\s\up3(17))圓側(cè)面展開(kāi)圖eq\o(□,\s\up3(18))矩形eq\o(□,\s\up3(19))扇形eq\o(□,\s\up3(20))扇環(huán)—(3)特殊的四棱柱2．直觀圖(1)畫法：常用eq\o(□,\s\up3(21))斜二測(cè)畫法．(2)規(guī)則①原圖形中x軸、y軸、z軸兩兩垂直，直觀圖中，x′軸、y′軸的夾角為eq\o(□,\s\up3(22))45°(或135°)，z′軸與x′軸和y′軸所在平面eq\o(□,\s\up3(23))垂直．②原圖形中平行于坐標(biāo)軸的線段，直觀圖中仍eq\o(□,\s\up3(24))平行于坐標(biāo)軸．平行于x軸和z軸的線段在直觀圖中保持原長(zhǎng)度eq\o(□,\s\up3(25))不變，平行于y軸的線段長(zhǎng)度在直觀圖中eq\o(□,\s\up3(26))變?yōu)樵瓉?lái)的一半．3．三視圖(1)幾何體的三視圖包括正視圖、側(cè)視圖、俯視圖，分別是從幾何體的eq\o(□,\s\up3(27))正前方、eq\o(□,\s\up3(28))正左方、eq\o(□,\s\up3(29))正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．說(shuō)明：正視圖也稱主視圖，側(cè)視圖也稱左視圖．(2)三視圖的畫法①基本要求：eq\o(□,\s\up3(30))長(zhǎng)對(duì)正，eq\o(□,\s\up3(31))高平齊，eq\o(□,\s\up3(32))寬相等．②畫法規(guī)則：eq\o(□,\s\up3(33))正側(cè)一樣高，eq\o(□,\s\up3(34))正俯一樣長(zhǎng)，eq\o(□,\s\up3(35))側(cè)俯一樣寬；重疊的線只畫一條，看不到的線畫eq\o(□,\s\up3(36))虛線．1．常見(jiàn)旋轉(zhuǎn)體的三視圖(1)球的三視圖都是半徑相等的圓．(2)水平放置的圓錐的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰三角形．(3)水平放置的圓臺(tái)的正視圖和側(cè)視圖均為全等的等腰梯形．(4)水平放置的圓柱的正視圖和側(cè)視圖均為全等的矩形．2．三視圖的繪制在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的虛線．3．斜二測(cè)畫法中的“三變”與“三不變”“三變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(坐標(biāo)軸的夾角改變，,與y軸平行的線段的長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半，,圖形改變.))“三不變”eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(平行性不改變，,與x，z軸平行的線段的長(zhǎng)度不改變，,相對(duì)位置不改變.))4．直觀圖與原圖形面積的關(guān)系S直觀圖＝eq\f(\r(2),4)S原圖形(或S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖)．1．下列結(jié)論正確的是()A．側(cè)面都是等腰三角形的三棱錐是正三棱錐B．六條棱長(zhǎng)均相等的四面體是正四面體C．有兩個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱D．用一個(gè)平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫圓臺(tái)答案B解析底面是等邊三角形，且各側(cè)面三角形全等，這樣的三棱錐才是正三棱錐，A錯(cuò)誤；斜四棱柱也可能有兩個(gè)側(cè)面是矩形，C錯(cuò)誤；截面平行于底面時(shí)，底面與截面之間的部分才叫圓臺(tái)，D錯(cuò)誤．2．如圖，下列幾何體各自的三視圖中，有且僅有兩個(gè)視圖相同的是()A．①② B．②③C．②④ D．③④答案C解析由幾何體的結(jié)構(gòu)可知，如題圖放置的圓錐、正四棱錐各自的正視圖和側(cè)視圖相同，且其不與俯視圖相同；正方體的三個(gè)視圖都相同；正三棱臺(tái)的三個(gè)視圖都不相同，故選C.3.(2022·天水模擬)一水平放置的平面圖形，用斜二測(cè)畫法畫出它的直觀圖如圖所示，此直觀圖恰好是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方形，則原平面圖形的面積為()A．2eq\r(3) B．2eq\r(2)C．4eq\r(3) D．8eq\r(2)答案D解析由斜二測(cè)畫法可知，原平面圖形是一個(gè)平行四邊形，且平行四邊形的一組對(duì)邊長(zhǎng)為2.在斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖中，∠B′O′A′＝45°且O′B′＝2eq\r(2)，那么在原圖形中，∠BOA＝90°且OB＝4eq\r(2)，因此，原平面圖形的面積為2×4eq\r(2)＝8eq\r(2).故選D.4．(2020·全國(guó)Ⅱ卷)如圖是一個(gè)多面體的三視圖，這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M，在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N，則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為()A．E B．FC．G D．H答案A解析根據(jù)三視圖，畫出多面體立體圖形，如圖所示，正視圖中M點(diǎn)即為端點(diǎn)所在位置，其在側(cè)視圖中所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.故選A.5．若某幾何體的三視圖如圖所示，則這個(gè)幾何體的直觀圖可以是()答案D解析由三視圖知該幾何體的上半部分是一個(gè)三棱柱，下半部分是一個(gè)四棱柱．故選D.6．(2021·全國(guó)乙卷)以圖①為正視圖，在圖②③④⑤中選兩個(gè)分別作為側(cè)視圖和俯視圖，組成某個(gè)三棱錐的三視圖，則所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次為_(kāi)_______(寫出符合要求的一組答案即可)．答案②⑤(或③④)解析根據(jù)“長(zhǎng)對(duì)正，高平齊，寬相等”及圖中數(shù)據(jù)，可知②③只能是側(cè)視圖，④⑤只能是俯視圖，則組成某個(gè)三棱錐的三視圖，所選側(cè)視圖和俯視圖的編號(hào)依次是②⑤或③④.若為②⑤，則如圖1；若為③④，則如圖2.考向一空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征例1(1)給出下列命題：①在圓柱的上、下底面的圓周上各取一點(diǎn)，則這兩點(diǎn)的連線是圓柱的母線；②直角三角形繞其任一邊所在直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體都是圓錐；③棱臺(tái)的上、下底面可以不相似，但側(cè)棱長(zhǎng)一定相等．其中正確命題的個(gè)數(shù)是()A．0 B.1 C.2 D.3答案A解析①不一定，只有當(dāng)這兩點(diǎn)的連線平行于軸時(shí)才是母線；②不一定，當(dāng)以斜邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸時(shí)，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的面所圍成的幾何體不是圓錐，如圖所示，它是由兩個(gè)同底圓錐組成的幾何體；③錯(cuò)誤，棱臺(tái)的上、下底面相似且是對(duì)應(yīng)邊平行的多邊形，各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)，但是側(cè)棱長(zhǎng)不一定相等．(2)給出下列命題：①棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是全等的平行四邊形；②在四棱柱中，若兩個(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面都垂直于底面，則該四棱柱為直四棱柱；③存在每個(gè)面都是直角三角形的四面體；④棱臺(tái)的側(cè)棱延長(zhǎng)后交于一點(diǎn)．其中正確命題的序號(hào)是________．答案②③④解析①不正確，根據(jù)棱柱的定義，棱柱的各個(gè)側(cè)面都是平行四邊形，但不一定全等；②正確，因?yàn)閮蓚€(gè)過(guò)相對(duì)側(cè)棱的截面的交線平行于側(cè)棱，又垂直于底面；③正確，如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中的三棱錐C1－ABC，四個(gè)面都是直角三角形；④正確，由棱臺(tái)的概念可知．識(shí)別空間幾何體的兩種方法(1)定義法：緊扣定義，由已知構(gòu)建幾何模型，在條件不變的情況下，變換模型中的線面關(guān)系或增加線、面等基本要素，根據(jù)定義進(jìn)行判定．(2)反例法：通過(guò)反例對(duì)結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行辨析，要說(shuō)明一個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，只要舉出一個(gè)反例即可．1.下列結(jié)論正確的是()A．各個(gè)面都是三角形的幾何體是三棱錐B．夾在圓柱的兩個(gè)平行截面間的幾何體還是一個(gè)旋轉(zhuǎn)體C．正棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)與底面多邊形的邊長(zhǎng)相等，則此棱錐可能是六棱錐D．圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任意一點(diǎn)的連線都是母線答案D解析由圖1知，A錯(cuò)誤；如圖2，當(dāng)兩個(gè)平行平面與底面不平行時(shí)，截得的幾何體不是旋轉(zhuǎn)體，B錯(cuò)誤；若六棱錐的所有棱長(zhǎng)都相等，則底面多邊形是正六邊形，由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長(zhǎng)必然要大于底面邊長(zhǎng)，C錯(cuò)誤；由母線的概念知，D正確．考向二平面圖形與其直觀圖的關(guān)系例2(1)(2021·四川瀘州診斷考試)如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個(gè)平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝2，則原圖形OABC的面積為()A．24eq\r(2) B．12eq\r(2)C．48eq\r(2) D．20eq\r(2)答案A解析解法一：由題意知原圖形OABC是平行四邊形，且OA＝BC＝6，設(shè)平行四邊形OABC的高為OE，則OE×eq\f(1,2)×eq\f(\r(2),2)＝O′C′，∵O′C′＝2，∴OE＝4eq\r(2)，∴S?OABC＝6×4eq\r(2)＝24eq\r(2).故選A.解法二：由題意可知，S四邊形O′A′B′C′＝O′A′·O′C′＝2×6＝12，∴S原＝2eq\r(2)S四邊形O′A′B′C′＝24eq\r(2).故選A.(2)在等腰梯形ABCD中，上底CD＝1，腰AD＝CB＝eq\r(2)，下底AB＝3，以下底所在直線為x軸，則由斜二測(cè)畫法畫出的直觀圖A′B′C′D′的面積為_(kāi)_______．答案eq\f(\r(2),2)解析解法一：因?yàn)镺E＝eq\r(\r(2)2－12)＝1，所以O(shè)′E′＝eq\f(1,2)，E′F′＝eq\f(\r(2),4)，所以直觀圖A′B′C′D′的面積為S′＝eq\f(1,2)×(1＋3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(2),2).解法二：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H，∵CD＝1，AD＝CB＝eq\r(2)，AB＝3，∴CH＝1，∴S四邊形ABCD＝eq\f(1,2)×(1＋3)×1＝2.∴直觀圖A′B′C′D′的面積為S＝eq\f(\r(2),4)×2＝eq\f(\r(2),2).畫幾何體的直觀圖一般采用斜二測(cè)畫法，其規(guī)則可以用“斜”(兩坐標(biāo)軸成45°或135°)和“二測(cè)”(平行于y軸的線段長(zhǎng)度減半，平行于x軸和z軸的線段長(zhǎng)度不變)來(lái)掌握．對(duì)直觀圖的考查有兩個(gè)方向，一是已知原圖形求直觀圖的相關(guān)量，二是已知直觀圖求原圖形中的相關(guān)量．2.已知正三角形ABC的邊長(zhǎng)為a，那么△ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A.eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2C.eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2答案D解析解法一：如圖①②所示的平面圖形和直觀圖．可知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a，在圖②中作C′D′⊥A′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以S△A′B′C′＝eq\f(1,2)A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)×a×eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.解法二：由題意可知，S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，∴S△A′B′C′＝eq\f(\r(3),4)a2×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6),16)a2.3.用斜二測(cè)畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖，邊AB平行于y′軸，BC，AD平行于x′軸．已知四邊形ABCD的面積為2eq\r(2)cm2，則原平面圖形的面積為_(kāi)_______．答案8cm2解析解法一：依題意可知∠BAD＝45°，則原平面圖形為直角梯形，上、下底的長(zhǎng)分別與BC，AD相等，高為梯形ABCD的高的2eq\r(2)倍，所以原平面圖形的面積為8cm2.解法二：依題意可知，S直觀圖＝2eq\r(2)cm2，故S原圖形＝2eq\r(2)S直觀圖＝8cm2.精準(zhǔn)設(shè)計(jì)考向，多角度探究突破考向三空間幾何體的三視圖角度由空間幾何體的直觀圖識(shí)別三視圖例3(1)中國(guó)古建筑借助榫卯將木構(gòu)件連接起來(lái)，構(gòu)件的凸出部分叫榫頭，凹進(jìn)部分叫卯眼，圖中木構(gòu)件右邊的小長(zhǎng)方體是榫頭．若如圖擺放的木構(gòu)件與某一帶卯眼的木構(gòu)件咬合成長(zhǎng)方體，則咬合時(shí)帶卯眼的木構(gòu)件的俯視圖可以是()答案A解析觀察圖形易知卯眼處應(yīng)以虛線畫出，俯視圖為，故選A.(2)(2021·黃山一模)將正方體(如圖1所示)截去兩個(gè)三棱錐，得到如圖2所示的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖為()答案B解析截去兩個(gè)三棱錐后的幾何體的側(cè)視圖可以看見(jiàn)的實(shí)線段為AD1，AD，DD1，D1B1，AB1，而線段B1C被遮住，在側(cè)視圖中為虛線，所以側(cè)視圖為B.角度由空間幾何體的三視圖還原直觀圖例4(1)(2022·九江模擬)如圖是一個(gè)物體的三視圖，則此三視圖所描述物體的直觀圖是()答案D解析先觀察俯視圖，由俯視圖可知B和D中的一個(gè)正確，由正視圖和側(cè)視圖，可知D正確．(2)如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗線畫出的是某幾何體的三視圖，則此幾何體的所有面中直角三角形的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3C．4 D．5答案C解析由三視圖知，將此幾何體還原在正方體中，為如圖所示的四棱錐P－ABCD.易知四棱錐P－ABCD的四個(gè)側(cè)面都是直角三角形，所以此幾何體的所有面中直角三角形的個(gè)數(shù)是4，故選C.角度由兩個(gè)視圖補(bǔ)畫第三個(gè)視圖例5(1)(2022·綿陽(yáng)模擬)將一個(gè)長(zhǎng)方體沿相鄰三個(gè)面的對(duì)角線截去一個(gè)棱錐，得到的幾何體的正(主)視圖與俯視圖如圖所示，則該幾何體的側(cè)(左)視圖為()答案B解析由幾何體的正(主)視圖、俯視圖以及題意可畫出幾何體的直觀圖，如圖所示．從左側(cè)觀察直觀圖，可知截面體現(xiàn)為從左上到右下的虛線．故選B.(2)一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)小長(zhǎng)方體，所得幾何體的正視圖與側(cè)視圖分別如圖所示，則該幾何體的俯視圖為_(kāi)_______．答案③解析由三視圖中的正、側(cè)視圖得到幾何體的直觀圖如圖，所以該幾何體的俯視圖為③.三視圖問(wèn)題的常見(jiàn)類型及求解策略(1)在分析空間幾何體的三視圖時(shí)，先根據(jù)俯視圖確定幾何體的底面，然后根據(jù)正視圖或側(cè)視圖確定幾何體的側(cè)棱與側(cè)面的特征，調(diào)整實(shí)線和虛線所對(duì)應(yīng)的棱、面的位置，再確定幾何體的形狀，即可得到結(jié)果．(2)在由三視圖還原空間幾何體的實(shí)際形狀時(shí)，要從三個(gè)視圖綜合考慮，一般是以正視圖和俯視圖為主，結(jié)合側(cè)視圖進(jìn)行綜合考慮．(3)常見(jiàn)的三視圖對(duì)應(yīng)的幾何體①三視圖為三個(gè)三角形，對(duì)應(yīng)三棱錐；②三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)四棱錐；③三視圖為兩個(gè)三角形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓錐；④三視圖為一個(gè)三角形，兩個(gè)四邊形，對(duì)應(yīng)三棱柱；⑤三視圖為兩個(gè)四邊形，一個(gè)圓，對(duì)應(yīng)圓柱．4.若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的直觀圖是()答案A解析該幾何體是正方體的一部分，結(jié)合側(cè)視圖可知直觀圖為A中的圖．故選A.5．(2021·全國(guó)甲卷)在一個(gè)正方體中，過(guò)頂點(diǎn)A的三條棱的中點(diǎn)分別為E，F(xiàn)，G.該正方體截去三棱錐A－EFG后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應(yīng)的側(cè)視圖是()答案D解析根據(jù)已知條件作出所得多面體的直觀圖如圖所示，由直觀圖可知該多面體的側(cè)視圖為D.6．(2021·成都模擬)如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，高為2的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，點(diǎn)P是平面A1B1C1D1內(nèi)一點(diǎn)，則三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖的面積之和為()A．1 B．2C．3 D．4答案B解析設(shè)點(diǎn)P在平面A1ADD1的射影為P′，在平面C1CDD1的射影為P″，如圖所示．所以三棱錐P－BCD的正視圖與側(cè)視圖分別為△P′AD與△P″CD，因此所求面積S＝S△P′AD＋S△P″CD＝eq\f(1,2)×1×2＋eq\f(1,2)×1×2＝2.故選B.1.如圖所示，從三棱臺(tái)A′B′C′－ABC中截去三棱錐A′－ABC，則剩余部分是()A．三棱錐B．四棱錐C．三棱柱D．三棱臺(tái)答案B解析剩余部分是四棱錐A′－BB′C′C，故選B.2．(2021·江西新余模擬)如圖是一個(gè)空間幾何體的正視圖和俯視圖，則它的側(cè)視圖為()答案A解析由正視圖和俯視圖可知，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的，結(jié)合正視圖的寬及俯視圖的直徑可知側(cè)視圖應(yīng)為A，故選A.3．如圖，直觀圖所表示的平面圖形是()A．正三角形B．銳角三角形C．鈍角三角形D．直角三角形答案D解析直觀圖中，A′C′∥y′軸，B′C′∥x′軸，還原后如圖，AC∥y軸，BC∥x軸．所以△ABC是直角三角形．故選D.4.(2022·甘肅白銀模擬)如圖是正方體截去陰影部分所得的幾何體，則該幾何體的側(cè)視圖是()答案C解析該幾何體的側(cè)視圖是從左邊向右邊看．故選C.5．(2021·新高考Ⅰ卷)已知圓錐的底面半徑為eq\r(2)，其側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，則該圓錐的母線長(zhǎng)為()A．2 B．2eq\r(2)C．4 D．4eq\r(2)答案B解析設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r，因?yàn)閳A錐的側(cè)面展開(kāi)圖為一個(gè)半圓，所以2πr＝πl(wèi).所以l＝2r＝2eq\r(2).故選B.6．如圖是一個(gè)正方體，A，B，C為三個(gè)頂點(diǎn)，D是棱的中點(diǎn)，則三棱錐A－BCD的正視圖、俯視圖是(注：選項(xiàng)中的上圖為正視圖，下圖為俯視圖)()答案A解析正視圖中棱AD看不見(jiàn)，俯視圖中棱BD看不見(jiàn)，均為虛線，故選A.7.某幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，均如右圖所示，則該幾何體的俯視圖一定不可能是()答案D解析幾何體的正視圖和側(cè)視圖完全相同，則該幾何體從正面看和從側(cè)面看的長(zhǎng)度相等，只有等邊三角形不可能．故選D.8．(2022·江西吉安模擬)如圖甲，將一個(gè)正三棱柱ABC－DEF截去一個(gè)三棱錐A－BCD，得到幾何體BCDEF，如圖乙，則該幾何體的正(主)視圖是()答案C解析由于三棱柱為正三棱柱，故側(cè)面ADEB⊥底面DEF，△DEF是等邊三角形，所以CD在面ADEB上的投影為AB的中點(diǎn)與D的連線，CD的投影與底面DEF不垂直．故選C.9．一個(gè)三棱錐的正視圖和俯視圖如圖所示，則該三棱錐的側(cè)視圖可能為()答案D解析該幾何體為如圖所示的三棱錐，其中平面ACD⊥平面BCD.故選D.10.在如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，一個(gè)四面體的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是(0,0,2)，(2,2,0)，(1,2,1)，(2,2,2)．給出編號(hào)為①，②，③，④的四個(gè)圖，則該四面體的正視圖和俯視圖分別為()A．①和② B．③和①C．④和③ D．④和②答案D解析在空間直角坐標(biāo)系中構(gòu)建棱長(zhǎng)為2的正方體，設(shè)A(0,0,2)，B(2,2,0)，C(1,2,1)，D(2，2,2)，則空間幾何體ABCD即為滿足條件的四面體，得出其正視圖和俯視圖分別為④和②，故選D.11.某圓柱的高為2，底面周長(zhǎng)為16，其三視圖如圖．圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長(zhǎng)度為()A．2eq\r(17) B．2eq\r(5)C．3 D．2答案B解析根據(jù)圓柱的三視圖以及其本身的特征，可以確定點(diǎn)M和點(diǎn)N分別在以圓柱的高為長(zhǎng)方形的寬、圓柱底面圓周長(zhǎng)的四分之一為長(zhǎng)的長(zhǎng)方形的對(duì)角線的端點(diǎn)處，所以所求的最短路徑的長(zhǎng)度為eq\r(42＋22)＝2eq\r(5)，故選B.12．(2021·安徽馬鞍山模擬)某多面體的三視圖如圖所示，其中正視圖和側(cè)視圖都由正方形和等腰直角三角形組成，正方形的邊長(zhǎng)為2，俯視圖為等腰直角三角形．該多面體的各個(gè)面中有若干個(gè)是梯形，這些梯形的面積之和為()A．10 B．12C．14 D．6答案B解析由多面體的三視圖還原直觀圖如圖所示．該幾何體由上方的三棱錐A－BCE和下方的三棱柱BCE－B1C1A1構(gòu)成，其中側(cè)面CC1A1A和側(cè)面BB1A1A是梯形，則梯形的面積之和為2×eq\f(2＋4×2,2)＝12.故選B.13．中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”(圖1)．半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1.則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案26eq\r(2)－1解析先求面數(shù)，有如下兩種解法．解法一：由“半正多面體”的結(jié)構(gòu)特征及棱數(shù)為48可知，其上部分有9個(gè)面，中間部分有8個(gè)面，下部分有9個(gè)面，共有2×9＋8＝26個(gè)面．解法二：一般地，對(duì)于凸多面體，有頂點(diǎn)數(shù)(V)＋面數(shù)(F)－棱數(shù)(E)＝2.(歐拉公式)由題圖知，棱數(shù)為48的半正多面體的頂點(diǎn)數(shù)為24.故由V＋F－E＝2，得面數(shù)F＝2＋E－V＝2＋48－24＝26.再求棱長(zhǎng)．作中間部分的橫截面，由題意知該截面為各頂點(diǎn)都在邊長(zhǎng)為1的正方形上的正八邊形ABCDEFGH，如圖，設(shè)其邊長(zhǎng)為x，則正八邊形的邊長(zhǎng)即為棱長(zhǎng)．連接AF，過(guò)H，G分別作HM⊥AF，GN⊥AF，垂足分別為M，N，則AM＝MH＝NG＝NF＝eq\f(\r(2),2)x.又AM＋MN＋NF＝1，∴eq\f(\r(2),2)x＋x＋eq\f(\r(2),2)x＝1.∴x＝eq\r(2)－1，即半正多面體的棱長(zhǎng)為eq\r(2)－1.14．(2021·河南六校聯(lián)考)現(xiàn)有編號(hào)為①，②，③的三個(gè)三棱錐(底面水平放置)，其俯視圖分別為圖1，圖2，圖3，則至少存在一個(gè)側(cè)面與其底面互相垂直的三棱錐的所有編號(hào)是________．答案①②解析編號(hào)為①的三棱錐，其直觀圖可能是圖①，側(cè)棱VC⊥底面ABC，則側(cè)面VAC⊥底面ABC，滿足題意；編號(hào)為②的三棱錐，其直觀圖可能是圖②，側(cè)面PBC⊥底面ABC，滿足題意；編號(hào)為③的三棱錐，頂點(diǎn)的投影不在底面邊上(如圖③)，不存在側(cè)面與底面垂直．故答案為①②.15．若已知△ABC的直觀圖△A′B′C′是邊長(zhǎng)為a的正三角形，求△ABC的面積．解如圖所示是△ABC的直觀圖△A′B′C′.作C′D′∥y′軸交x′軸于點(diǎn)D′，則C′D′對(duì)應(yīng)△ABC的高CD，∴