數(shù)學(xué)模型-數(shù)學(xué)論文指導(dǎo)-傳染病模型1

傳染病模型王秀蓮一、問題在人類的生活中，一直受傳染病的困繞，盡管諸如霍亂、天花等曾經(jīng)肆虐全球的疾病已經(jīng)得到有效的控制，但是一些新的、不斷變異著的傳染病卻悄悄向人類襲來，如20世紀(jì)80年代開始的十分險(xiǎn)惡的愛滋?。?1世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的SARS（俗稱非典型肺炎）等等，給人們的生命財(cái)產(chǎn)帶來極大的危害。長期以來，建立傳染病模型，描述傳染病的傳播過程，分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，探索制止傳染病蔓延的手段等，一直是各國專家和官員關(guān)注的課題。研究傳染病模型，不可能通過實(shí)驗(yàn)獲取數(shù)據(jù)，而從醫(yī)療部門得到的資料也是不完全和不充分的，同時(shí)不同的傳染病的傳播過程各有不同的特點(diǎn)，所以，我們在這里只能是按照機(jī)理分析的方法，按一般的傳播機(jī)理建立幾種簡單的模型。*機(jī)理分析法根據(jù)對現(xiàn)實(shí)對象特性的認(rèn)識(shí)，分析其因果關(guān)系，找出反映內(nèi)部機(jī)理的規(guī)律.１、模型的假設(shè)1、在疾病傳播期內(nèi)，所考察地區(qū)的總?cè)藬?shù)N不變。人群分為健康人（易感染者Susceptible）和病人（已感染者Infective）。設(shè)在t時(shí)刻它們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）和i（t）2、每個(gè)病人在t時(shí)刻有效接觸的人數(shù)為，在較短時(shí)間內(nèi)，可以設(shè)為常數(shù)（成為日接觸率）。3、在開始時(shí)刻病人數(shù)為模型1（SI模型）（控制前自然傳播）每個(gè)病人每天可使個(gè)健康人變?yōu)椴∪?，所以有?/p>

（此模型為阻滯增長

logistic）模型）解此微分方程組得

此式中當(dāng)時(shí)，，說明在不進(jìn)行控制的情況下，最終所有人全變?yōu)椴∪?。同時(shí)由（1）式知，當(dāng)時(shí)，達(dá)到最大，這個(gè)時(shí)刻為這時(shí)病人增加得最快，預(yù)示著傳染病高潮的到來，是醫(yī)療部門關(guān)注的時(shí)刻。與成反比。說明的值越大，該地區(qū)的衛(wèi)生水平越高，傳染病高峰期的到來越遲。模型2（SIS模型）（控制后的傳播模型）有些傳染病如傷風(fēng)、痢疾等，病人治愈后又成為病人，所以應(yīng)考慮治療情況。設(shè)每天治愈的病人數(shù)占病人總數(shù)的比例為（稱為日治愈率）。顯然，為這種傳染病的平均傳染期。于是模型變?yōu)椋?/p>

（2）此微分方程的解為（3）定義（整個(gè)傳染期內(nèi)每個(gè)病人有效接觸的平均人數(shù)，稱為接觸數(shù)）。此時(shí)方程組（2）的第一、二式可以改寫為（4）此時(shí)（3）式變?yōu)椋寒?dāng)時(shí)，由（4）可以看出，時(shí)，達(dá)到最大，預(yù)示著傳染病高潮的到來；同時(shí)當(dāng)時(shí)，病人比例越來小?？梢娛且粋€(gè)閾值。模型3（SIR模型）有一些傳染病如天花、肝炎等治愈后具有很強(qiáng)的免疫能力，所以治愈的人既非健康人又非病人，他們已經(jīng)退出了傳染系統(tǒng)，此時(shí)，人群分為三類，健康人、病人和治愈后的移出者。設(shè)他們所占總?cè)藬?shù)的比例分別為s（t）、i（t）、r（t）。又設(shè)開始時(shí)病人數(shù)，移出者數(shù)為，于是所建立模型為：方程（5）無法求出相應(yīng)的解析解，我們利用相軌線討論解的性質(zhì)。平面稱為相平面，相軌線在相平面上的定義域?yàn)椋?）

若微分方程組其右端的函數(shù)不顯含自變量t，稱為一階n維駐定系統(tǒng)(自治系統(tǒng)、動(dòng)力系統(tǒng)).一般二維駐定系統(tǒng)形式為存在且唯一，則在三維空間(x,y,t)中有且僅有一條解曲線通過點(diǎn)(x0,y0,t0).基本思想將空間曲線投影到平面上進(jìn)行分析.

定義：稱平面(x,y)為相平面，稱解曲線在相平面上的投影為相軌線，相軌線族稱為相位圖.xyt