高中數(shù)學人教B版選擇性第一冊課件第二章平面解析幾何章末整合

章末整合第二章2021內容索引0102知識網(wǎng)絡系統(tǒng)構建題型突破深化提升知識網(wǎng)絡系統(tǒng)構建題型突破深化提升專題一用待定系數(shù)法求直線或圓的方程例1過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|=(

)答案

C解析

設圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,將點A,B,C代入,得

則圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0.令x=0得y2+4y-20=0,設M(0,y1),N(0,y2),則y1,y2是方程y2+4y-20=0的兩根,由根與系數(shù)的關系,得例2若一條直線經(jīng)過兩條直線x+3y-10=0和3x-y=0的交點,且原點到它的距離為1,求該直線的方程.解

設過兩條直線交點的直線方程為x+3y-10+λ(3x-y)=0,即(1+3λ)x+(3-λ)y-10=0.因為原點到所求直線的距離為1,解得λ2=9,即λ=±3.故所求直線的方程為x=1或4x-3y+5=0.方法技巧1.求直線的方程、圓的方程的方法主要有兩種:直接法和待定系數(shù)法,其中待定系數(shù)法應用最廣泛,它是指首先設出所求直線的方程或圓的方程,然后根據(jù)題目條件確定其中的參數(shù)值,最后代入方程即得所要求的直線方程或圓的方程.2.選擇合適的直線方程、圓的方程的形式是很重要的.一般情況下,與截距有關的,可設直線的斜截式方程或截距式方程;與斜率有關的,可設直線的斜截式或點斜式方程等.與圓心和半徑相關時,常設圓的標準方程,其他情況下設圓的一般方程.變式訓練1求經(jīng)過點A(-2,-4)且與直線l:x+3y=26相切于點B(8,6)的圓C的一般方程.解

設圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0,因為點A(-2,-4),B(8,6)在圓C上,CB⊥l,所以故圓C的一般方程為x2+y2-11x+3y-30=0.專題二用圖示法解決圓中的最值或范圍問題方法技巧1.數(shù)形結合思想,其實質是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結合起來,即把代數(shù)中的“數(shù)”與幾何中的“形”結合起來認識問題,理解問題并解決問題的思維方法.數(shù)形結合一般包括兩個方面,即以“形”助“數(shù)”,以“數(shù)”解“形”.2.本章直線的方程和直線與圓的位置關系中有些問題,如距離、傾斜角、斜率、直線與圓相切等都很容易轉化成“形”,因此這些問題若利用直觀的幾何圖形處理會得到很好的效果.變式訓練2(1)已知B(3,4),求圓x2+y2=4上的點與B的最大距離和最小距離.(2)已知P(x,y)為圓x2+y2-6x-4y+12=0上的點.求x2+y2的最大值和最小值.(1)解

如圖所示,設直線BO與圓交于P,Q兩點,P'是圓上任意一點.則|BP'|+|P'O|≥|BO|=|OP|+|BP|,∴|BP'|≥|BP|.∴P是圓上與B距離最近的點.∵|BP'|≤|BO|+|OP'|=|BO|+|OQ|=|BQ|,∴Q是圓上與B距離最遠的點.∴|BP|=3,|BQ|=7.∴圓上的點與B的最大距離為7,最小距離為3.(2)解

圓的方程化為(x-3)2+(y-2)2=1,圓心為(3,2),半徑為1.專題三對稱問題例5已知直線l:y=3x+3,求:(1)點P(4,5)關于l的對稱點的坐標;(2)直線l1:y=x-2關于l的對稱直線的方程.把(x1,y1)代入y=x-2,整理得7x2+y2+22=0,所以l2方程為7x+y+22=0.例6已知圓C:x2+y2+Dx-6y+1=0上有兩點P,Q關于直線x-y+4=0對稱.(1)求圓C的半徑;(2)若OP⊥OQ,其中O為坐標原點,求直線PQ的方程;(3)直線l:(2m-1)x-(m-1)y+8m-6=0被圓C截得弦長最短時,求m的值.所以x1·x2+(-x1+b)(-x2+b)=0.所以2x1·x2-b(x1+x2)+b2=0.則b2-6b+1+b(4-b)+b2=0,即b2-2b+1=0,解得b=1.經(jīng)檢驗滿足Δ=4(4-b)2-4×2×(b2-6b+1)>0.所以直線PQ的方程為y=-x+1.(3)直線l的方程可化為m(2x-y+8)=x-y+6,方法技巧1.中心對稱(1)兩點關于點對稱:設P1(x1,y1),P(a,b),則P1(x1,y1)關于P(a,b)對稱的點為P2(2a-x1,2b-y1),即P為線段P1P2的中點;特別地,P(x,y)關于原點對稱的點為P'(-x,-y).(2)兩條直線關于點對稱:設直線l1,l2關于點P對稱,這時其中一條直線上任一點關于P對稱的點都在另外一條直線上,并且l1∥l2,P到l1,l2的距離相等.2.軸對稱(1)兩點關于直線對稱:設P1,P2關于直線l對稱,則直線P1P2與l垂直,且P1P2的中點在l上,解決這類問題的關鍵是由“垂直”和“平分”列方程.(2)兩條直線關于直線對稱:設l1,l2關于直線l對稱.①當三條直線l1

,l2,l共點時,l上任意一點到l1,l2的距離相等,并且l1,l2中一條直線上任意一點關于l對稱的點在另外一條直線上;②當l1∥l2∥l時,l1到l的距離等于l2到l的距離.3.涉及圓的對稱問題,主要把握住圓心;涉及的計算公式,同直線中的計算公式.特別地,直線f(x,y)=0關于直線y=x+a的對稱直線方程為f(y-a,x+a)=0,直線f(x,y)=0關于直線y=-x+a的對稱直線方程為f(a-y,a-x)=0,可以很方便地求解很多對稱問題.(2)已知圓x2+y2+4x-8y+a=0關于直線y=2x+b成軸對稱,則a-b的取值范圍是

.

答案

(1)D

(2)(-∞,12)解析

(1)設兩圓的圓心分別為A,B,因此原題可轉化為在直線y=x上找一個點P,使|PB|-|PA|最大,即只需作點B關于直線y=x的對稱點B',顯然B'的坐標是(0,2),從而可知原點即為要求的點.故|PN|-|PM|的最大值為(2)圓方程可化為(x+2)2+(y-4)2=20-a,則圓心為(-2,4),且20-a>0,即a<20.又圓關于y=2x+b成軸對稱,所以點(-2,4)在直線y=2x+b上,所以b=8,所以a-b<12.專題四求軌跡方程問題例7已知A(0,7),B(0,-7),C(12,2),以C為一個焦點作過A,B的橢圓,求橢圓的另一個焦點F的軌跡方程.分析先根據(jù)橢圓的定義列出關系式,再將其坐標化即可.解

∵|AC|=13,|BC|=15,|AB|=14,又|AF|+|AC|=|BF|+|BC|,∴|AF|-|BF|=|BC|-|AC|=2,故點F的軌跡是以A,B為焦點,實軸長為2的雙曲線的一支.又c=7,a=1,b2=48,例8設A(-c,0),B(c,0)(c>0)為兩定點,動點P到A點的距離與到B點的距離的比為定值a(a>0),求P點的軌跡.解設動點P的坐標為(x,y).當a=1時,P點的軌跡為直線x=0,即y軸.方法技巧

變式訓練4(1)設A為圓(x-1)2+y2=1上的動點,PA是圓的切線,且|PA|=1,則P點的軌跡方程是(

)A.(x-1)2+y2=4 B.(x-1)2+y2=2C.y2=2x

D.y2=-2x(2)過雙曲線x2-y2=1上一點Q引直線x+y=2的垂線,垂足為N.求線段QN的中點P的軌跡方程.(1)答案

B(2)解

設動點P的坐標為(x,y),點Q的坐標為(x1,y1),則點N的坐標為(2x-x1,2y-y1).因為點N在直線x+y=2上,所以2x-x1+2y-y1=2.①又因為PQ垂直于直線x+y=2,將③④代入⑤,得動點P的軌跡方程是2x2-2y2-2x+2y-1=0.專題五離心率問題例9已知中心在坐標原點的雙曲線C與拋物線x2=2py(p>0)有相同的焦點F,點A是兩曲線的交點,且AF⊥y軸,則雙曲線的離心率為(

)答案

B解析

因為雙曲線與拋物線有相同的焦點,所以2c=p.①設雙曲線的另一焦點為F1,則AF=p,FF1=p,答案

D方法技巧

變式訓練5(1)2019年1月3日10點26分(北京時間),“嫦娥四號”探測器成功著陸月球背面東經(jīng)177.6度、南緯45.5度附近的預選著陸區(qū),并通過“鵲橋”中繼星傳回了月背影像圖,揭開了古老月背的神秘面紗.如圖所示,假設“嫦娥四號”衛(wèi)星沿地月轉移軌道飛向月球后,在月球附近一點P變軌進入以月球球心F為一個焦點的橢圓軌道Ⅰ繞月飛行,之后衛(wèi)星在P點第二次變軌進入仍以F為一個焦點的橢圓軌道Ⅱ繞月飛行.若用e1和e2分別表示橢圓軌道Ⅰ和Ⅱ的離心率,則(

)A.e1>e2 B.e1<e2C.e1=e2 D.不能確定解析

(1)設橢圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ的長軸長分別為2a1,2a2,焦距分別為2c1,2c2,由題意知a1>a2,c1>c2,且a1-c1=a2-c2.令a1-c1=a2-c2=t,t>0,∴a1=t+c1,a2=t+c2,(2)如圖所示.根據(jù)余弦定理|AF|2=|BF|2+|AB|2-2|AB|·|BF|cos∠ABF,即|BF|2-16|BF|+64=0,得|BF|=8.又|OF|2=|BF|2+|OB|2-2|OB|·|BF|cos∠ABF,得|OF|=5.根據(jù)橢圓的對稱性|AF|+|BF|=2a=14,得a=7.(3)由圓x2+y2=a2+b2,得x2+y2=c2,∴圓過焦點F1和F2.∴∠F1PF2=90°.又2∠PF1F2=∠PF2F1,專題六圓錐曲線中的定點、定值、最值或探索類問題1.定點問題例11已知A(-2,0),B(2,0),點C是動點,且直線AC和直線BC的斜率之積為-.(1)求動點C的軌跡方程;(2)設直線l與(1)中軌跡相切于點P,與直線x=4相交于點Q,判斷以PQ為直徑的圓是否過x軸上一定點.消去y并整理,得(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.依題意得Δ=(8km)2-4(3+4k2)(4m2-12)=0,即3+4k2=m2.即x0(1-t)+t2-4t+3=0.由x0的任意性,得1-t=0且t2-4t+3=0,解得t=1.綜上可知,以PQ為直徑的圓過x軸上一定點(1,0).方法技巧圓錐曲線中定點問題的兩種解法(1)引進參數(shù)法:引進動點的坐標或動線中系數(shù)為參數(shù)表示變化量,再研究變化的量與參數(shù)何時沒有關系,找到定點.(2)特殊到一般法:根據(jù)動點或動線的特殊情況探索出定點,再證明該定點與變量無關.變式訓練6已知拋物線C的頂點在原點,焦點在坐標軸上,點A(1,2)為拋物線C上一點.(1)求拋物線C的方程;(2)若點B(1,-2)在拋物線C上,過點B作拋物線C的兩條弦BP與BQ,若kBP·kBQ=-2,求證:直線PQ過定點.(2)證明

因為點B(1,-2)在拋物線C上,所以由(1)可得拋物線C的方程是y2=4x.易知直線BP,BQ的斜率均存在,設直線BP的方程為y+2=k(x-1),將直線BP的方程代入y2=4x,消去y,得k2x2-(2k2+4k+4)x+(k+2)2=0.設P(x1,y1),則在上述方程中,令x=3,解得y=2,所以直線PQ恒過定點(3,2).2.定值問題

(2)試探求△OPQ的面積S是否為定值,并說明理由.(1)證明

∵k1,k2均存在,∴x1x2≠0.②當直線PQ的斜率存在時,設直線PQ的方程為y=kx+b.聯(lián)立得方程組

消去y并整理得(4k2+1)x2+8kbx+4b2-4=0,其中Δ=(8kb)2-4(4k2+1)(4b2-4)=16(1+4k2-b2)>0,即b2<1+4k2.綜合①②,△POQ的面積S為定值1.方法技巧圓錐曲線中定值問題的兩大解法①從特殊入手,求出定值,再證明這個值與變量無關;②引起變量法:其解題流程為變式訓練7已知直線l過拋物線C:x2=2py(p>0)的焦點,且垂直于拋物線的對稱軸,l與拋物線兩交點間的距離為2.(1)求拋物線C的方程;(2)若點P(2,2),過點(-2,4)的直線m與拋物線C相交于A,B兩點,設直線PA與PB的斜率分別為k1和k2.求證:k1k2為定值,并求出此定值.(1)解

由題意可知,2p=2,解得p=1,則拋物線的方程為x2=2y.(2)證明

由題易知直線m的斜率存在,設直線m的方程為y-4=k(x+2),A(x1,y1),B(x2,y2),聯(lián)立拋物線x2=2y與直線y-4=k(x+2)的方程消去y得x2-2kx-4k-8=0,其中Δ=4(k2+4k+8)>0恒成立,可得x1+x2=2k,x1x2=-4k-8,則k1k2=-1.因此k1k2為定值,且該定值為-1.3.最值問題例13已知點A(4,-2),F為拋物線y2=8x的焦點,點M在拋物線上移動,當|MA|+|MF|取最小值時,點M的坐標為(

)答案

D解析

如圖,過點M作拋物線的準線l的垂線,垂足為E.由拋物線的定義知|MF|=|ME|.當點M在拋物線上移動時,|ME|+|MA|的值在變化,顯然當M移到M'時,A,M',E'三點共線,|M'E'|+|M'A|最小,此時AM'∥Ox.把y=-2代入y2=8x,例14已知F1,F2為橢圓x2+=1的兩個焦點,AB是過焦點F1的一條動弦,求△ABF2面積的最大值.分析△ABF2的面積是由直線AB的斜率k確定的,因此可構建以k為自變量的目標函數(shù),用代數(shù)的方法求函數(shù)的最大值.解

由題意,知|F1F2|=2.經(jīng)分析,當直線AB的斜率不存在時,不滿足題意.故設直線AB的方程為y=kx+1,方法技巧與圓錐曲線有關的最值問題,大都是些綜合性問題,解法靈活,技巧性強,涉及代數(shù)、三角、幾何諸方面的知識,這類問題的求解策略與方法如下:(1)平面幾何法.平面幾何法求最值問題,主要是運用圓錐曲線的定義和平面幾何知識求解.(2)目標函數(shù)法.建立目標函數(shù)解與圓錐曲線有關的最值問題,是常規(guī)方法,其關鍵是選取適當?shù)淖兞拷⒛繕撕瘮?shù).變式訓練8(1)長為3的線段AB的兩個端點在拋物線y2=2x上移動,M為AB的中點,則M點到y(tǒng)軸的最短距離為

.

(2)如圖,點P(0,-1)是橢圓C1:=1(a>b>0)的一個頂點,C1的長軸是圓C2:x2+y2=4的直徑,l1,l2是過點P且互相垂直的兩條直線,其中l(wèi)1交圓C2于A,B兩點,l2交橢圓C1于另一點D.①求橢圓C1的方程;②求△ABD面積取最大值時直線l1的方程.(1)答案

1②設A(x1,y1),B(x