同角三角函數(shù)基本關(guān)系教案

2012年青年教師課堂大賽評選教案1.2.2同角三角函數(shù)基本關(guān)系.教學(xué)分析：教材分析同角三角函數(shù)基本關(guān)系式是學(xué)習(xí)三角函數(shù)定義后，安排的一節(jié)繼續(xù)深入學(xué)習(xí)的內(nèi)容，三角函數(shù)值、化簡三角函數(shù)式、證明三角恒等式的基本工具，是整個三角函數(shù)的基礎(chǔ)，在教材中起承上啟下的作用.同時，它體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想與方法在整個中學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中起重要作用.學(xué)情分析學(xué)生從認(rèn)知角度上看，已經(jīng)比較熟練的掌握了三角函數(shù)定義.從方法上看，學(xué)生已經(jīng)對數(shù)形結(jié)合，猜想證明有所了解.從能力上看，學(xué)生主動學(xué)習(xí)能力、探究能力有待于提高..教學(xué)目標(biāo).通過三角函數(shù)的定義導(dǎo)出同角三角函數(shù)基本關(guān)系式,并能運用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式進(jìn)行三角函數(shù)的求值..同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式主要有兩個方面的應(yīng)用:(1)求值(知一求二);(2)證明三角恒等式.本節(jié)主要學(xué)習(xí)三角函數(shù)的求值,通過這節(jié)課學(xué)生應(yīng)明了如何進(jìn)行三角函數(shù)的求值..通過同角三角函數(shù)關(guān)系的應(yīng)用使學(xué)生養(yǎng)成探究、分析的習(xí)慣,提高三角恒等變形的能力,樹立轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法..教學(xué)重點與難點教學(xué)重點：公式sin2α+cos2α=1及S吧=tanα的推導(dǎo)及運用.CoSa教學(xué)難點：公式sin2a+cos2a=1及曰吧=tana的推導(dǎo)，運用同角三角函cosa數(shù)基本關(guān)系求三角函數(shù)值..教學(xué)基本流程(1)情境引入：大家都聽過一句話：南美洲亞馬遜河雨林中的一只蝴蝶，偶爾扇動幾下翅膀，可能在兩周后引起美國德克薩斯州的一場龍卷風(fēng).這就是著名的“蝴蝶效應(yīng)”，兩個似乎毫不相干的事物，卻有著這樣的聯(lián)系.那么我們來看看前些天我們所學(xué)習(xí)的三角函數(shù).在三個式子中有著“同一個角”其中的聯(lián)系應(yīng)該更為緊密！(2)回顧復(fù)習(xí)：三角函數(shù)定義、三角函數(shù)線設(shè)任意角α的頂點在原點0,始邊與X軸非負(fù)半軸重合，終邊與單位圓相交與點P(X,y)，過P作X軸的垂線，垂足為M；過點A(1,0)作單位圓的切線，它與角α的終邊或其反向延長線交與點T.y叫做α的正弦，記做Sinα，即sinα=yX叫做α的余弦，記做CoSα，即CoSα=X上叫做α的正切，記做tanα,即X ytanα二一X我們就分別稱有向線段MP、OM、AT為正弦線、余弦線、正切線.初中時我們學(xué)過以下兩個公式：sin2α+cos2α=1sinα=tanα

cosα請同學(xué)們思考：這兩個等式是否對任意角ɑ都成立？怎么證明，在三角函數(shù)中有什么作用？這就是本節(jié)課要學(xué)習(xí)的內(nèi)容：同角三角函數(shù)基本關(guān)系.(3)新課：如圖：以正弦線MP,余弦線OM和半徑OP三者的長構(gòu)成直角三角形，而且OP=1.問1：MP，OM與OP長度有什么關(guān)系？答：在RtNOMP中，由勾股定理得：MP2+OM2=OP2=1問2：有向線段MP，OM分別對應(yīng)點P的哪個坐標(biāo)？這個等式可轉(zhuǎn)化成什么形式？X2+y2=1問3：y與x分別是α的哪個三角函數(shù)值？上述等式又可以轉(zhuǎn)化成什么形式？sin2α+cos2α=1問4：α終邊與坐標(biāo)軸重合時，點P坐標(biāo)是？這個公式是否成立？答：ɑ終邊與坐標(biāo)軸重合時，P（1,0）或P（-1,0）或P（0,1）或P（0,-1）X2+y2=1sin2ɑ+cos2ɑ=1也成立即同一個的正弦、余弦的平方和等于1問5根據(jù)三角函數(shù)定義sinα=,cosα=,tanα=_

乂≠Mx答：sinα=y，cosα=X，tanα=sinα所以Sinα，cosα，tanα之間的關(guān)系是=tanα，cosα這個等式成立需要α滿足什么條件；~ 7“兀7α≠k兀+—,k∈Z2即同一個角的正弦、余弦的商等于該角的正切同角三角函數(shù)基本關(guān)系式：①平方關(guān)系：sin2α+cos2a=1公式變形：sin2α=1-cos2acos2α=1-sin2α商數(shù)關(guān)系：Sin°=tanα，α≠kπ+—（k∈z）cosα 2注意以下三點：1o關(guān)系式是對于同角而言的，“同角”的概念與角的表達(dá)形式無關(guān).例如:sin24α+cos24α=1，sin2Q+β)+cos2Q+β)=12osin2α是(sina)2的縮寫，讀作“sina的平方”，不能將sin2α寫成Sina2.3。注意公式成立的條件.(4)典例剖析…一, 3例1已知Sinα=--,α為第二象限角，求cosα與tana的值.^5問題1.條件“α為第三象限角”有什么作用？答：確定cosα、tanα的符號.問題2.如何建立cosa與sina的聯(lián)系？答：利用平方關(guān)系：由sin2α+cos2α=1得cos2α=1-sin2α.問題3.如何建立弦、切之間的聯(lián)系？答：利用商數(shù)關(guān)系：?吧=tana求出tanαcosα請同學(xué)們自己做出解答.解：由sin2α+cos2a=1得16cos2α=1-sin2α=一25ɑ是第三象限角，???cosα<0,于是記4cosα=-■——=——??? \,25 5.把上題中“α為第三象限角”去掉，改為變式已知Sinα=-3,求cosα與tanα.問題1.比較本題與例1條件不同之處.答：不知α是第幾象限角.問題2.這個條件會對cosa、tana的值產(chǎn)生怎樣的影響？答：符號無法確定.問題3.如何解決這個問題？根據(jù)什么條件確定cosα、tanα的符號？答：由sinα<0且sinɑ豐-1得α為第三或第四象限角.問題4.求值過程中要先利用什么關(guān)系？先求cosa還是tanα？答：先利用平方關(guān)系求cosα3解：Sina=--<0且Sinα≠-15所以α是第三或第四象限角，又因為sin2α+cos2α=116.?.cos2α=1-sin2α=——25如果α是第三象限角，那么cosα<0,于是cosα45從而sina/3、/5、3tanα= =(―—)X(——)=—cosa5 4 4如果α是第四象限角，那么4 sina 3cosα=—,tanα= =——5' cosα 4總結(jié)：本題是已知角α的正弦值，求ɑ的其他三角函數(shù)值.由sin2α+cos2a=1我們可以先求出cos2α，要確定cosα的符號，關(guān)鍵是確定角ɑ所在象限，應(yīng)根據(jù)所給三角函數(shù)值的符號確定α所在象限.應(yīng)根據(jù)sina的符號確定，這是本題的關(guān)鍵，對于這種“知一求二”型問題，一定要“先定象限，再求值”.鞏固練習(xí)已知cosα=——,求sina，tanα的值.13本題讓學(xué)生獨立完成.上面兩個題是已知sina或cosα的值，求α的其他三角函數(shù)值，若已知α的正切值如何求sinα與cosa呢？我們看個例子.例2已知tanα=2,求sinα,cosa的值.問題1.前面題目的思路是先用平方關(guān)系求弦，再用商數(shù)關(guān)系求切，反過來，已知切，應(yīng)該按照怎樣的思路求弦呢？答：先利用商數(shù)關(guān)系化切為弦，把sinα用cosα表示，然后再代入sin2α+cos2α=1中，求出cos2α問題2.本題中如何確定sinα、cosα的符號?答：根據(jù)tana的符號確定α為第一或第三象限角.解：tanα=2>0,.?.α為第一或第三象限角sinαtanα= ?.?COSa=2「.sina=2cosasin2a+cos2a=1.?.sin2a+cos2a=5cos2a=1如果a是第一象限角則cosa=亙，sina=2cosa=受55如果a是第四象限角，則cosa=—亙,sina=—空

5 5鞏固練習(xí)已知tana=―、/3,求sina,cosa的值.本題讓學(xué)生獨立完成.(5)方法總結(jié)與課堂練習(xí)：方法總結(jié)一若已知Sina或cosα,先通過平方關(guān)系得出另外一個三角函數(shù)值，再用商數(shù)關(guān)系求得tana二若已知12口。，先通過商數(shù)關(guān)系確定Sina與cosa的聯(lián)系，再代入平方關(guān)系求得Sina與CoSa.注意：若a所在象限未定，應(yīng)討論a所在象限課堂練習(xí)4已知CoSa=_5