數(shù)字信號處理第4版課件 第3章

數(shù)字信號處理

通信工程學(xué)院

叢玉良、林琳、樸美蘭、王波

2023.08學(xué)習(xí)要求：

（1）掌握離散傅里葉級數(shù)的定義、計算與性質(zhì)（2）掌握離散傅里葉變換的定義、計算與性質(zhì)（3）理解離散傅里葉變換與其它變換之間的關(guān)系

3.1離散傅里葉級數(shù)設(shè)是周期為N

的周期序列，可以表示為周期為N的周期序列可以表示為N個正弦序列/復(fù)指數(shù)序列和。

（1）

（2）離散傅里葉級數(shù)正變換離散傅里葉級數(shù)反變換

3.1.1傅里葉級數(shù)定義

Xp(k)的周期性周期序列及其DFSxp(n)Xp(k)1.線性特性設(shè)周期序列xp(n)和yp(n)的周期都為N

，且則有3.1.2傅里葉級數(shù)的性質(zhì)，當(dāng)m和l為任意整數(shù)時，則2.序列位移特性設(shè)3.周期卷積特性設(shè)周期序列xp1(n)和xp2(n)的周期都為N

，有

則交換律求和僅在一個周期內(nèi)完成稱為周期卷積。線性卷積在-∞~+∞求和。

時域：頻域周期卷積將有限長序列延拓成周期序列xp(n)xp(n)3.2離散傅里葉變換

有限長序列周期延拓的數(shù)學(xué)表示

同理有符號((n))N表示n對模N的余數(shù)，即其中，離散傅里葉變換

一般情況下延拓截斷DFSDFTIDFTIDFS

DFT和DFS之間的關(guān)系

3.3離散傅里葉變換的性質(zhì)如果x1(n)長為N1，x2(n)長為N2，則y(n)長為N=max[N1,N2]。X1(k)是x1(n)補(bǔ)N2-N1個零后的離散傅里葉變換。設(shè)N1<N2，則3.3.1線性特性3.3.2圓周位移特性1.圓周位移定義有限長序列x(n)的圓周位移定義為

3.3.2圓周位移特性

同理2.圓周位移定理若則它的離散傅里葉變換為

1.循環(huán)(圓周)卷積

令

3.3.3循環(huán)卷積特性2.循環(huán)卷積定理或循環(huán)卷積計算的圓形示意同樣

特性1：

是關(guān)于k的偶函數(shù)是關(guān)于k的奇函數(shù)3.3.4對稱性

特性2：奇偶虛實對稱性這意味著或x(n)X(k)實函數(shù)實部為偶、虛部為奇實偶函數(shù)實偶函數(shù)實奇函數(shù)虛奇函數(shù)虛函數(shù)實部為奇、虛部為偶虛偶函數(shù)虛偶函數(shù)虛奇函數(shù)實奇函數(shù)表3-1DFT的奇偶虛實特性3.3.5相關(guān)特性1.離散（線性）相關(guān)函數(shù)對于離散序列x1(n)和x2(n)，則離散相關(guān)定義為

2.循環(huán)（圓周）相關(guān)設(shè)x1(n)和x2(n)都是長度為N的有限長實序列，則已知長為N的序列x(n)，X(k)=DFT[x(n)]，則

如果x(n)為實序列，則3.3.6DFT形式下的巴塞伐爾定理3.4離散傅里葉變換與其他變換之間的關(guān)系1.離散傅里葉變換與z變換之間的關(guān)系

2.用有限長恢復(fù)內(nèi)插函數(shù)3.離散傅里葉變換表示序列傅里葉變換

3.5線性卷積與線性相關(guān)的DFT算法3.5.1計算循環(huán)卷積和線性卷積1.循環(huán)卷積的快速計算

2.循環(huán)卷積與線性卷積的關(guān)系

3.線性卷積的快速計算y(n)=x(n)*h(n)

設(shè)x(n)、h(n)均為因果序列，h(n)長N

，x(n)長N1，N1>>N。將x(n)分為M的p段，每小段長與h(n)接近，將x(n)的每小段與h(n)進(jìn)行卷積，最后取和。4.重疊相加法

NMMMN+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+M-1N+N1-1N1相鄰兩段序列有個點發(fā)生重疊。重疊相加法的快速算法1.循環(huán)相關(guān)的快速計算3.5.2計算循環(huán)相關(guān)和線性相關(guān)2.線性相關(guān)的快速