第一課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法

第四章

數(shù)列4．1數(shù)列的概念第一課時(shí)數(shù)列的概念與簡(jiǎn)單表示法1.了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式).2.了解數(shù)列是一種特殊函數(shù)，會(huì)求數(shù)列的通項(xiàng)公式.3.在學(xué)習(xí)數(shù)列概念的過程中，提升數(shù)學(xué)抽象、直觀想象素養(yǎng).4.通過對(duì)數(shù)列通項(xiàng)公式的學(xué)習(xí)，增強(qiáng)邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)一數(shù)列的概念(一)教材梳理填空1．?dāng)?shù)列的概念 (1)定義：一般地，按照確定的

排列的一列數(shù)稱為數(shù)列． (2)項(xiàng)：數(shù)列中的

叫做這個(gè)數(shù)列的項(xiàng)．第一個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第1項(xiàng)(或稱為

)，第二個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第2項(xiàng)，……，第n個(gè)位置上的數(shù)叫做這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng)． (3)數(shù)列的表示：數(shù)列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡(jiǎn)記為

，其中n∈N*.順序每一個(gè)數(shù)首項(xiàng){an}2．?dāng)?shù)列與函數(shù)的關(guān)系

從函數(shù)觀點(diǎn)看，數(shù)列{an}是從正整數(shù)集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到實(shí)數(shù)集R的

，其自變量是

，對(duì)應(yīng)的函數(shù)值是數(shù)列的第n項(xiàng)

，記為

．函數(shù)序號(hào)nanan＝f(n)(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)數(shù)列1,3,5,7可表示為{1,3,5,7}．

(

)(2)數(shù)列1,0，－1，－2與數(shù)列－2，－1,0,1是相同的數(shù)列．

(

)(3)數(shù)列的項(xiàng)可以相等．

(

)(4)數(shù)列a，b，c和數(shù)列c，b，a一定不是同一數(shù)列．

(

)答案：(1)×

(2)×

(3)√

(4)×知識(shí)點(diǎn)二數(shù)列的分類與通項(xiàng)公式(一)教材梳理填空1．?dāng)?shù)列的分類分類標(biāo)準(zhǔn)名稱含義按項(xiàng)的個(gè)數(shù)有窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

的數(shù)列無窮數(shù)列項(xiàng)數(shù)

的數(shù)列按項(xiàng)的變化趨勢(shì)遞增數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)都

它的前一項(xiàng)的數(shù)列遞減數(shù)列從第__項(xiàng)起，每一項(xiàng)都

它的前一項(xiàng)的數(shù)列常數(shù)列

的數(shù)列有限無限大于小于各項(xiàng)都相等222．?dāng)?shù)列的通項(xiàng)公式如果數(shù)列{an}的第n項(xiàng)an與它的

之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系可以用

來表示，那么這個(gè)

叫做這個(gè)數(shù)列的通項(xiàng)公式．序號(hào)n一個(gè)式子式子(二)基本知能小試1．判斷正誤(1)數(shù)列1,1,1，…是無窮數(shù)列．

(

)(2)所有的自然數(shù)構(gòu)成的數(shù)列均為遞增數(shù)列．

(

)(3)數(shù)列0,1,0,1，…是常數(shù)列．

(

)(4)有些數(shù)列沒有通項(xiàng)公式．

(

)(5)數(shù)列的通項(xiàng)公式是唯一的．

(

)答案：(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

(5)×題型一數(shù)列的概念及分類

[學(xué)透用活](1)數(shù)列的定義中要把握兩個(gè)關(guān)鍵詞：“確定的順序”與“一列數(shù)”．也就是說，構(gòu)成數(shù)列的元素是數(shù)，并且這些數(shù)是按照“確定的順序”排列著的，即確定的數(shù)在確定的位置上．(2)數(shù)列的項(xiàng)與它的項(xiàng)數(shù)是兩個(gè)不同的概念：項(xiàng)是指出現(xiàn)在這個(gè)數(shù)列中的某一個(gè)確定的數(shù)，它是一個(gè)函數(shù)值，即an＝f(n)；項(xiàng)數(shù)是指這個(gè)數(shù)列共有多少項(xiàng)．[典例1]

下列說法正確的是

(

)A．{0,1,2,3,4,5}是有窮數(shù)列B．所有有理數(shù)能構(gòu)成數(shù)列C．－2，－1,1，x,3,4,5是一個(gè)項(xiàng)數(shù)為7的數(shù)列D．?dāng)?shù)列1,2,3,4，…，2n是無窮數(shù)列[解析]緊扣數(shù)列的有關(guān)概念，驗(yàn)證每一個(gè)說法是否符合條件．因?yàn)閧0,1,2,3,4,5}是集合，而不是數(shù)列，故A錯(cuò)誤；所有有理數(shù)能構(gòu)成數(shù)列，故B正確；當(dāng)x代表數(shù)時(shí)，它是項(xiàng)數(shù)為7的數(shù)列；當(dāng)x不代表數(shù)時(shí)，它不是數(shù)列，故C錯(cuò)誤；數(shù)列1,2,3,4，…，2n，共有2n項(xiàng)，是有窮數(shù)列，所以D錯(cuò)誤．[答案]

B[方法技巧]1．有窮數(shù)列與無窮數(shù)列的判斷判斷給出的數(shù)列是有窮數(shù)列還是無窮數(shù)列，只需考察數(shù)列是有限項(xiàng)還是無限項(xiàng)．若數(shù)列含有限項(xiàng)，則是有窮數(shù)列；否則為無窮數(shù)列．2．?dāng)?shù)列單調(diào)性的判斷判斷數(shù)列的單調(diào)性，則需要從第2項(xiàng)起，觀察每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的大小關(guān)系，若滿足an<an＋1，則是遞增數(shù)列；若滿足an>an＋1，則是遞減數(shù)列；若滿足an＝an＋1，則是常數(shù)列．

題型二由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式

[學(xué)透用活](1)數(shù)列的通項(xiàng)公式實(shí)際上是一個(gè)以正整數(shù)集N*或它的有限子集{1,2,3，…，n}為定義域的函數(shù)表達(dá)式．(2)像不一定所有的函數(shù)關(guān)系都有解析式一樣，并不是所有的數(shù)列都有通項(xiàng)公式．(3)掌握以下數(shù)列的通項(xiàng)公式：[方法技巧]1．由數(shù)列前幾項(xiàng)歸納通項(xiàng)公式的常用方法觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數(shù)列)、歸納、轉(zhuǎn)化(轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列)、聯(lián)想(聯(lián)想常見的數(shù)列)等方法．同時(shí)也可以使用添項(xiàng)、還原、分割等方法，轉(zhuǎn)化為一個(gè)常見數(shù)列，通過常見數(shù)列的通項(xiàng)公式求得所給數(shù)列的通項(xiàng)公式．2．由數(shù)列的前幾項(xiàng)求通項(xiàng)公式的解題策略(1)對(duì)于分式形式的數(shù)列，可以分子、分母分別求通項(xiàng)，較復(fù)雜的還要考慮分子、分母的關(guān)系．(2)若第n項(xiàng)和第n＋1項(xiàng)正負(fù)交錯(cuò)，那么符號(hào)用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1來調(diào)控．(3)熟悉一些常見數(shù)列的通項(xiàng)公式．(4)對(duì)于復(fù)雜數(shù)列的通項(xiàng)公式，其項(xiàng)與序號(hào)之間的關(guān)系不容易發(fā)現(xiàn)，要將數(shù)列各項(xiàng)的結(jié)構(gòu)形式加以變形，將數(shù)列的各項(xiàng)分解成若干個(gè)常見數(shù)列對(duì)應(yīng)項(xiàng)的“和”“差”“積”“商”后再進(jìn)行歸納．

2．如圖所示的圖案中，白色正六邊形的個(gè)數(shù)依次構(gòu)成一個(gè)數(shù)列的前3項(xiàng)，則這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為________．解析：

我們把圖案按如下規(guī)律分解.這三個(gè)圖案中白色正六邊形的個(gè)數(shù)依次為6,6＋4,6＋4×2，所以這個(gè)數(shù)列的一個(gè)通項(xiàng)公式為an＝6＋4(n－1)＝4n＋2.答案：an＝4n＋2題型三數(shù)列通項(xiàng)公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用

[學(xué)透用活][典例3]已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝2n2－n.(1)求這個(gè)數(shù)列的第5項(xiàng)，第10項(xiàng)．(2)試問：15是不是{an}中的項(xiàng)？3是不是{an}中的項(xiàng)？[方法技巧]1．利用數(shù)列的通項(xiàng)公式求某項(xiàng)的方法數(shù)列的通項(xiàng)公式給出了第n項(xiàng)an與它的位置序號(hào)n之間的關(guān)系，只要用序號(hào)代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項(xiàng)．2．判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項(xiàng)的方法先假定它是數(shù)列中的第n項(xiàng)，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項(xiàng)；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項(xiàng)．

2．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.(1)求實(shí)數(shù)q的值；(2)判斷－81是否為此數(shù)列中的項(xiàng)．解：(1)由題意知q4－q2＝72，則q2＝9或q2＝－8(舍去)，∴q＝±3.(2)當(dāng)q＝3時(shí)，an＝3n，顯然－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)；當(dāng)q＝－3時(shí)，an＝(－3)n，令(－3)n＝－81，無解．∴－81不是此數(shù)列中的項(xiàng)．[課堂思維激活]一、綜合性——強(qiáng)調(diào)融會(huì)貫通1．在數(shù)列{an}中，a1＝2，a17＝66，通項(xiàng)公式是關(guān)于n的一次函數(shù)．(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；(2)求a2021；(3)判斷2021是否為數(shù)列{an}中的項(xiàng)．二、應(yīng)用性——強(qiáng)調(diào)學(xué)以致用2．第七屆國際數(shù)學(xué)教育大會(huì)(簡(jiǎn)稱ICME-7)的會(huì)徽?qǐng)D案如圖1所示

，會(huì)徽的主體