第10章空間直線與平面（知識歸納題型突破）（原卷版）

第10章空間直線與平面（知識歸納+題型突破）一、點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系㈠平面的基本性質(zhì)1立體幾何中圖形語言、文字語言和符號語言的轉(zhuǎn)化圖形語言文字語言符號語言點(diǎn)A在直線a上點(diǎn)B在直線a外A∈aBa點(diǎn)A在平面α內(nèi)點(diǎn)B在平面α外A∈αBα直線a在平面α內(nèi)直線b在平面α外aαbα直線a與平面α相交于點(diǎn)Aa∩α=A直線a與直線b相交于點(diǎn)Aa∩b=A平面α與平面β交于直線aα∩β=a★2平面的基本性質(zhì)公理一：如果一條直線上有兩點(diǎn)在一個平面內(nèi)，那么直線在平面內(nèi)。公理二：不共線的三點(diǎn)確定一個平面。推論一：直線與直線外一點(diǎn)確定一個平面。推論二：兩條相交直線確定一個平面。推論三：兩條平行直線確定一個平面。公理三：如果兩個平面有一個公共點(diǎn)，那么它們還有公共點(diǎn)，這些公共點(diǎn)的集合是一條直線(兩個平面的交線)。㈡空間圖形的位置關(guān)系1空間直線的位置關(guān)系(相交、平行、異面)平行線的傳遞公理：平行于同一直線的兩條直線相互平行。即：a∥b，b∥ca∥c等角定理：如果一個角的兩邊與另一個角的兩邊分別平行，那么這兩個角相等或互補(bǔ)。異面直線⑴定義：不在任何一個平面內(nèi)的兩條直線稱為異面直線。⑵判定定理：連平面內(nèi)的一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線與這個平面內(nèi)不過此點(diǎn)的直線為異面直線。圖1圖11異面直線異面直線所成的角⑴異面直線成角的范圍：(0°，90°].⑵作異面直線成角的方法：平移法。注意：找異面直線所成角時，經(jīng)常把一條異面直線平移到另一條異面直線的特殊點(diǎn)(如中點(diǎn)、端點(diǎn)等)，形成異面直線所成的角。2直線與平面的位置關(guān)系(直線在平面內(nèi)、相交、平行)圖圖12直線與平面的位置關(guān)系3平面與平面的位置關(guān)系(平行、斜交、垂直)㈢平行關(guān)系(包括線面平行和面面平行)1線面平行線面平行的定義：平面外的直線與平面無公共點(diǎn)，則稱為直線和平面平行。判定定理：性質(zhì)定理：判斷或證明線面平行的方法⑴利用定義(反證法)：l∩α=ф，l∥α(用于判斷)；⑵利用判定定理：線線平行線面平行(用于證明)；⑶利用平面的平行：面面平行線面平行(用于證明)；圖1圖13線面角2線面斜交和線面角：l∩α=A直線與平面所成的角(簡稱線面角)：若直線與平面斜交，則平面的斜線與該斜線在平面內(nèi)射影的夾角θ。線面角的范圍：θ∈[0°，90°]注意：當(dāng)直線在平面內(nèi)或者直線平行于平面時，θ=0°；當(dāng)直線垂直于平面時，θ=90°3面面平行面面平行的定義：空間兩個平面沒有公共點(diǎn)，則稱為兩平面平行。面面平行的判定定理：圖1圖14面面平行推論：一個平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個平面的兩條線段，那么這兩個平面平行。即：⑵判定定理2：垂直于同一條直線的兩平面互相平行。即：面面平行的性質(zhì)定理⑴(面面平行線面平行)⑵⑶夾在兩個平行平面間的平行線段相等。圖1圖15判定21線面垂直線面垂直的定義：若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于平面。線面垂直的判定定理：線面垂直的性質(zhì)定理：⑴若直線垂直于平面，則它垂直于平面內(nèi)任意一條直線。即：⑵垂直于同一平面的兩直線平行。即：常用的判定或證明線面垂直的依據(jù)⑴利用定義，用反證法證明。⑵利用判定定理證明。⑶一條直線垂直于平面而平行于另一條直線，則另一條直線也垂直與平面。⑷一條直線垂直于兩平行平面中的一個，則也垂直于另一個。⑸如果兩平面垂直，在一平面內(nèi)有一直線垂直于兩平面交線，則該直線垂直于另一平面?！锶咕€定理及其逆定理⑴斜線定理：從平面外一點(diǎn)向這個平面所引的所有線段中，斜線相等則射影相等，斜線越長則射影越長，垂線段最短。圖1圖16斜線定理⑵三垂線定理及其逆定理已知PO⊥α，斜線PA在平面α內(nèi)的射影為OA，a是平面α內(nèi)的一條直線。①三垂線定理：若a⊥OA，則a⊥PA。即垂直射影則垂直斜線。②三垂線定理逆定理：若a⊥PA，則a⊥OA。即垂直斜線則垂直射影。⑶三垂線定理及其逆定理的主要應(yīng)用圖1圖17三垂線定理②作出和證明二面角的平面角；③作點(diǎn)到線的垂線段。2面面斜交和二面角二面角的定義：兩平面α、β相交于直線l，直線a是α內(nèi)的一條直線，它過l上的一點(diǎn)O且垂直于l，直線b是β內(nèi)的一條直線，它也過O點(diǎn)，也垂直于l，則直線a、b所形成的角稱為α、β的二面角的平面角，記作∠αlβ。二面角的范圍：∠αlβ∈[0°,180°]二面角平面角的作法：⑴定義法：證明起來很麻煩，一般不用；⑵三垂線法：常用方法；圖1圖18面面垂直3面面垂直面面垂直的定義：若二面角αlβ的平面角為90°，則兩平面α⊥β。判定定理：如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。即：面面垂直的性質(zhì)定理⑴若兩面垂直，則這兩個平面的二面角的平面角為90°；⑵⑶⑷二、立體幾何主要難點(diǎn)1三種角的對比角的類型范圍解題步驟異面直線所成角0°～90°1找：利用平移法找出異面直線所成角；⑴固定一條直線，平移另一條直線，⑵將兩條直線都平移至一特殊位置。2證：證明所作出的角就是異面直線所成角或其補(bǔ)角，常需證明線線平行；3計(jì)算：通過解三角形，算出異面直線角的角度。直線與平面所成角0°～90°1找：作出斜線與其在平面內(nèi)射影的夾角，一般用三垂線定理；2證：證明所作出的角就是直線與平面所成角或其補(bǔ)角，常證明線面垂直；3計(jì)算：通過解三角形，求出線面角的角度。二面角的平面角0～π1作：根據(jù)二面角平面角的定義，作出這個平面角；2證：證明所作的角就是二面角的平面角，常用三垂線法和垂面法；3計(jì)算：通過解三角形，求出二面角平面角的角度。題型1：平面的基本性質(zhì)【例1】若點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則用符號表示??之間的關(guān)系可記作.【答案】，，【分析】根據(jù)點(diǎn)、線、面的定義，即可得到答案.【詳解】點(diǎn)在直線上，在平面內(nèi)，則，，故??之間的關(guān)系可記作，，.故答案為：，，鞏固訓(xùn)練：1．三條直線兩兩相交，由這三條直線所確定的平面的個數(shù)是．【答案】1個或3個【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)和公理即可求解.【詳解】三條直線兩兩相交，若三條直線交于同一點(diǎn)，則這三條直線確定的平面的個數(shù)是1個或3個，若三條直線兩兩相交于三個不同的點(diǎn)，則這三條直線確定1個平面．綜上，這三條直線所確定的平面的個數(shù)為1個或3個．故答案為：1個或3個.2．正方體的6個面無限延展后把空間分成個部分【答案】【分析】正方體的6個面無限延展后把空間分成個部分，得到答案.【詳解】正方體的6個面無限延展后把空間分成個部分.故答案為：題型2：直線與直線的位置關(guān)系【例2】．在正方體中，M、N分別是棱、的中點(diǎn)，則以下結(jié)論：①直線AM與直線相交；②直線AM與直線BN平行；③直線AM與直線異面；④直線BN與直線異面．正確的編號有【答案】③④【分析】根據(jù)直線與直線的位置關(guān)系對四個結(jié)論逐一分析，由此確定正確結(jié)論.【詳解】對于①，∵四點(diǎn)不共面，∴根據(jù)異面直線的定義可得直線AM與是異面直線，故選項(xiàng)①錯誤；對于②，取的中點(diǎn)E，連接AE、EN、，則有，所以四邊形是平行四邊形，所以，∵AM與AE交于點(diǎn)A，∴AM與AE不平行，則AM與BN不平行，故選項(xiàng)②錯誤；對于③，平面，平面，且，根據(jù)異面直線的定義可得，直線與直線異面，故③正確；對于④，平面，平面，且，根據(jù)異面直線的定義可得，直線BN與直線異面，故④正確；故選：③④鞏固訓(xùn)練：1．已知，，，則與的位置關(guān)系是.【答案】異面【分析】畫出符合要求的圖形，推出兩者的位置關(guān)系.【詳解】如圖所示，因?yàn)?，，故與不相交，又與不平行，故與的位置關(guān)系是異面.故答案為：異面2．在四棱臺中的12條棱所在直線中，與直線是異面直線的共有條【答案】6【分析】根據(jù)異面直線的定義來確定正確答案.【詳解】根據(jù)異面直線的定義可知，與直線是異面直線的有：，共條，故答案為：題型3：直線與直線所成角【例3】在空間中，直線平行于直線，直線為異面直線，若，則異面直線所成角的大小為．【答案】【分析】根據(jù)異面直線所成角的定義，即可求得答案.【詳解】直線為異面直線，且直線平行于直線，所以與所成角即為異面直線、所成角，因?yàn)?，且異面直線所成角的范圍是，所以異面直線、所成角的大小為,故答案為：鞏固訓(xùn)練：1．、、、分別是空間四邊形邊、、、的中點(diǎn)，異面直線與所成角大小為，則.【答案】或【分析】連接、，利用異面直線所成角的定義可得出的大小.【詳解】連接、，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，同理可知，，所以，直線與所成角為或其補(bǔ)角，又因?yàn)榕c所成角為，若為銳角，則；若為鈍角，則.綜上所述，或.故答案為：或.2．已知異面直線、所成角為，過空間定點(diǎn)與、成角的直線共有3條，則的大小是.【答案】【分析】根據(jù)條件先將直線得到，使得經(jīng)過點(diǎn)，再根據(jù)直線所成的角以及直線所在平面的垂線分析與直線所成角均為的直線的情況即可得答案.【詳解】解：分別將直線平移得到，使得經(jīng)過點(diǎn)，如圖所示，設(shè)所成角的角平分線為，過點(diǎn)垂直于所在平面的直線為，因?yàn)楫惷嬷本€、所成角為，所以直線所成角為，所以，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)且直線在直線所在平面，垂直于直線時，直線與直線所成角相等，為時，成角為，即；當(dāng)直線在直線平面內(nèi)時，若直線繞著點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，此時直線與直線所成角相等，且所成角從變化到，再從變化到，此時滿足條件的直線有兩條，所以，，解得.所以，過空間定點(diǎn)與、成角的直線共有3條時，.故答案為：題型4：直線與平面的位置關(guān)系【例4】．是空間兩條不同直線，是兩個不同平面，下面有四個命題：①，則，②，則，③，則，④，則，其中真命題的編號是.（寫出所有真命題的編號）【答案】①④【分析】根據(jù)立體幾何相關(guān)定理逐項(xiàng)分析.【詳解】對于①，，必然存在一個平面使得，并且，又，正確；對于②，如果，則結(jié)論不成立，錯誤；對于③，如圖：，構(gòu)造平面，使得，并且，則，在平面內(nèi)，作直線n，使得，顯然，錯誤；對于④，，又，正確；故答案為：①④.鞏固訓(xùn)練：“若直線平面，直線在平面上，則直線直線”是命題（填“真”或“假”）.【答案】假【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)橹本€平面，直線在平面上，則可得直線直線或直線與直線異面.故答案為：假2．經(jīng)過正方體的兩個頂點(diǎn)的所有直線中，異面并且相互垂直的直線有多少對.【答案】78【分析】經(jīng)過正方體的兩個頂點(diǎn)的所有直線有棱、面對角線以及體對角線，結(jié)合垂直關(guān)系運(yùn)算求解.【詳解】若其中一條直線為棱，比如，因?yàn)槠矫?，平面，則異面并且相互垂直的直線的有，共4條棱、2條面對角線，所以與棱垂直的直線共有對；若其中一條直線為面對角線，比如，因?yàn)槠矫?，平面，則，且平面，所以平面，則異面并且相互垂直的直線的有，共1條面對角線、2條體對角線，所以與面對角線垂直的直線（棱除外）共有對；且體對角線不相互垂直，所以符合題意共有對.故答案為：78.題型5：直線與平面所成角【例5】．如圖，在棱長為2的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)是BB1的中點(diǎn)，則直線EF與平面ABCD所成角的正切值為.【答案】/【分析】根據(jù)平面可知即為所求角，利用可求得結(jié)果.【詳解】連接，平面，即為直線與平面所成角，在中，，，.故答案為：.鞏固訓(xùn)練：1．在正四棱柱中，對角線，且與底面ABCD所成角的余弦值為，則異面直線與所成角的大小為．【答案】【分析】根據(jù)平面，可得即為與底面ABCD所成角的平面角，由此可求得，從而可求得正棱柱的棱長，再根據(jù)，可得即為異面直線與所成角的平面角，再解即可.【詳解】如圖，在正四棱柱中，因?yàn)槠矫妫约礊榕c底面ABCD所成角的平面角，則，解得，所以，所以，因?yàn)榍?，所以四邊形為平行四邊形，所以，所以即為異面直線與所成角的平面角，在中，，所以，所以，即異面直線與所成角的大小為.故答案為：.2．如圖的四面體中，所有棱長均相等，每個面都是全等的正三角形，分別是棱的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的大小為.【答案】【分析】由題意得，四面體為正四面體，進(jìn)而可以證明平面，求出線面角.【詳解】如圖，連接，由題意得，四面體為正四面體，所以，，因?yàn)榕c點(diǎn)，平面，平面，所以平面，所以直線與平面所成角的大小為.故答案為：.3．直三棱柱中，平面平面，且，則與平面所成的角的取值范圍是.【答案】【分析】作于D.判斷出即為與平面，，利用幾何性質(zhì)得到，進(jìn)而.證明出.解得，即可求出的取值范圍【詳解】作于D.因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平面，所以即為與平面所成的角，.設(shè)，，則.在直角三角形中，由正弦的定義：.在直角三角形中，由等面積可得：，所以，所以.在直三棱柱中，.因?yàn)槠矫?，所?因?yàn)槠矫?，平面，，所以平面，故，從而，?于是，解得：.又，解得：.故答案為：.題型6：平面與平面的位置關(guān)系【例6】．下列四個命題：①平行于同一平面的兩個平面平行；②一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線都平行于另一個平面，則這兩個平面平行；③垂直于同一平面的兩個平面平行；④若直線平面，直線平面，則．（是不同的平面）其中正確命題的序號是．【答案】①④【分析】①④可通過平面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)可證得，②③可舉出反例.【詳解】①根據(jù)平面平行的性質(zhì)可得，平行于同一平面的兩個平面平行，①正確；②一個平面內(nèi)的無數(shù)條直線若都為平行直線，則兩平面不一定平行，②錯誤；③垂直于同一平面的兩個平面可能相交，也可能平行，③錯誤；④直線平面，直線平面，由線面垂直的性質(zhì)可得．（是不同的平面），④正確.故答案為：①④鞏固訓(xùn)練：1．已知三條不同的直線，，和兩個不同的平面，滿足以下條件：①，；②；③，，，，則與的位置關(guān)系是．（填“相交”，“平行”或“異面”）【答案】平行【分析】由面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理得到結(jié)論.【詳解】由題意可知，直線與直線不平行，過上一點(diǎn)作與直線，如圖所示，則與確定一個平面，由，，則，由，，則，又，則，由，得，由，得，又，，，所以，，，所以.故答案為：平行.2．設(shè)，是兩條不同的直線，，.①若，，，則

②若，，，則③若，，，則

④若，，，則【答案】②【分析】舉例說明判斷①③④；利用相關(guān)性質(zhì)推理判斷②作答.【詳解】對于①，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，顯然有，，，而，①錯誤；對于②，因?yàn)?，，?dāng)時，由，得，當(dāng)n不在平面內(nèi)時，則存在過直線的平面與都相交，令交線分別為，則有，而，，于是，因此，②正確；對于③，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，滿足，，，而，③錯誤；對于④，在長方體中，平面，平面分別為，直線分別為直線，滿足，，，而，④錯誤，所以正確命題的序號是②.故答案為：②題型7：二面角【例7】．在正方體中，二面角的余弦值為．【答案】/【分析】連接和交于點(diǎn)，可證得平面，則，又，所以為二面角的平面角，在直角中，解三角形即可求出結(jié)果.【詳解】如圖，連接和交于點(diǎn)，連接．∵平面，平面，∴，又平面，∴平面，又平面，∴，又，∴為二面角的平面角，在直角中，設(shè)，則，故．故答案為：.鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，側(cè)面是正三角形，平面平面，則二面角的大小是．【答案】【分析】由定義作出二面角的平面角，然后解三角形即可.【詳解】

過作，垂足為，過作，垂足為，連接.平面平面，平面平面，又，平面，根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理可得，平面，又平面，故，又，，平面，故平面，由平面，故，于是二面角的平面角為，根據(jù)題目數(shù)據(jù)，在中，，，則，則.故答案為：2．已知在矩形中，，，P為AB的中點(diǎn)，將沿DP翻折，得到四棱錐，則二面角的余弦值最小是.【答案】【分析】作出輔助線，證明線面垂直，找到即為二面角的平面角，設(shè)，表達(dá)出各邊長，得到，求出，由函數(shù)單調(diào)性得到余弦值的最小值.【詳解】矩形，連接，與相交于點(diǎn)，因?yàn)?，，P為AB的中點(diǎn)，所以，則∽，所以，則，故⊥，將將沿DP翻折，則由⊥，⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，則⊥，又，平面，所以⊥平面，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，連接，因?yàn)槠矫?，所以⊥，因?yàn)?，平面，所以⊥平面，因?yàn)槠矫?，所以⊥，故即為二面角的平面角，顯然為銳角，在矩形中，，故，，設(shè)，則，，故，因?yàn)?，所以，則，設(shè)，，則，所以，即，解得，即，因?yàn)椋裕?dāng)時，，因?yàn)椋裕?，時，等號成立，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以二面角的余弦值最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：在解決平面圖形的翻折問題時，應(yīng)找出其中變化的量和沒有變化的量，包括位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，通常翻折后還在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系不發(fā)生變化，不在同一平面上的元素之間的位置關(guān)系發(fā)生變化，解題時應(yīng)抓住不變量，利用解三角形知識或建立空間直角坐標(biāo)系進(jìn)行求解.題型8：異面直線的距離【例8】．邊長為1的正方體中，直線和之間的距離為.【答案】1【分析】把直線和之間的距離轉(zhuǎn)化為公垂線問題，即可求解．【詳解】如圖所示，連接，因?yàn)槠矫?，平面，所以，又，則直線和之間的距離為，又，即直線和之間的距離為1.故答案為：.鞏固訓(xùn)練：1．四面體中，，，，則異面直線與的距離為．【答案】【分析】將四面體補(bǔ)成長方體，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，推導(dǎo)出，，并計(jì)算出的長，即可得解.【詳解】將四面體補(bǔ)成長方體，連接交于點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，連接，則、分別為、的中點(diǎn)，由已知可得，可得，因?yàn)榍?，故四邊形為平行四邊形，則且，又因?yàn)椤⒎謩e為、的中點(diǎn)，所以，且，故四邊形為平行四邊形，故且，平面，平面，，即，同理可得，故異面直線與的距離為.故答案為：.2．如圖所示，在直角梯形中，，，，，，邊上一點(diǎn)滿足．現(xiàn)將沿折起到的位置，使平面平面，如圖所示，則異面直線與的距離是．【答案】/【分析】作的中點(diǎn)，連接，，，過作于點(diǎn)，由條件證明平面，進(jìn)而得到，即得出為異面直線與的公垂線段，通過解直角三角形得到的線段長度即可.【詳解】作的中點(diǎn)，連接，，，因?yàn)椋?，，所以，又因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，，，所以，且，所以平行四邊形為邊長為2的菱形，且，所以和都是正三角形，所以，，又因?yàn)?，、平面，所以平面，過作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫?，所以，則為異面直線與的公垂線段，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，，平面，所以平面，平面，則，又因?yàn)?，所以為等腰直角三角形，所以，即異面直線與的距離為，故答案為：.題型9：空間距離問題綜合【例9】．已知垂直于所在的平面，，則點(diǎn)到的距離為．【答案】【分析】作出到的垂線，利用勾股定理求得到的距離?！驹斀狻咳〉闹悬c(diǎn)，連接，∵平面，∴為在平面內(nèi)的投影，又，∴，由三垂線定理得，，又，∴.故答案為:鞏固訓(xùn)練：1．在直三棱柱中，平面，且，為中點(diǎn)，當(dāng)時，則點(diǎn)到平面的距離為.【答案】/【分析】利用等體積法求點(diǎn)到平面的距離即可.【詳解】如圖所示，，，，為中點(diǎn)，,平面,,,,設(shè)點(diǎn)到平面的距離為h，,,,故答案為：2．已知長方體ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是邊長為1的正方形，側(cè)棱AA1＝，過BD1作平面α分別交棱AA1，CC1于E，F(xiàn)，則四邊形BFD1E面積的最小值為.【答案】【分析】法一：過點(diǎn)F作FH⊥BD1交BD1于H，設(shè)FH＝h，由求解；法二(射影面積法)：設(shè)平面BFD1E與底面ABCD的交線為l，過D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1-l-D的平面角，設(shè)為θ，由求解.【詳解】法一：根據(jù)題意作圖，如圖①所示，過點(diǎn)F作FH⊥BD1交BD1于H，設(shè)FH＝h.由題意得BD1＝2.因?yàn)殚L方體對面平行，所以截面BFD1E為平行四邊形，則，當(dāng)h取最小值時四邊形BFD1E的面積最小.易知h的最小值為直線CC1與直線BD1間的距離.易知當(dāng)F為CC1的中點(diǎn)時，h取得最小值，hmin＝，.故四邊形BFD1E面積的最小值為.法二(射影面積法)：設(shè)平面BFD1E與底面ABCD的交線為l.如圖②，過D1作D1H⊥l交l于H.連接DH，則∠D1HD為二面角D1-l-D的平面角，設(shè)為θ.根據(jù)射影面積公式,得,則當(dāng)cosθ最大時，最小.當(dāng)cosθ最大時，分析易知DHDH最長為DB＝，所以cosθ最大值為，因?yàn)?，所以四邊形BFD1E面積的最小值為.故答案為：3．已知四棱雉的底面是邊長為4的正方形，面，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn)，為上一點(diǎn)，且，為正方形內(nèi)一點(diǎn)，若面，則的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合圖形找出與平面平行的平面，由平面以及平面可知，由垂直關(guān)系找到的位置，再計(jì)算的最小值．【詳解】解：如圖所示：取的中點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)，連接，則，所以；又平面，平面，所以平面．因?yàn)?，分別是，的中點(diǎn)，所以，平面，平面，所以平面，，則平面平面，因?yàn)槊?，為正方形?nèi)一點(diǎn)，所以，又平面，平面，所以，，在正方形中，，所以，則.故答案為：．題型10：幾何圖形截面問題【例10】．如圖，在棱長為4的正方體中，的中點(diǎn)是P，過直線作與平面平行的截面，則該截面的面積為．【答案】【分析】取，的中點(diǎn)分別為，連接，先證明四邊形是平行四邊形，再利用面面平行的判斷定理證明平面平面，可得平行四邊形即為所求的截面，再計(jì)算其面積即可.【詳解】取，的中點(diǎn)分別為，連接，因?yàn)?，所以四邊形是平行四邊形，所以，因?yàn)樗运倪呅问瞧叫兴倪呅?，所以，所以，所以四邊形是平行四邊形，因?yàn)?，平面，平面，所以平面，同理可證平面，因?yàn)?，平面，所以平面平面，因此過點(diǎn)作與平面平行的截面，即是平行四邊形，連接，作于點(diǎn)，由，，可得，所以，所以平行四邊形的面積為，故答案為：.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵點(diǎn)是找出過與平面平行的截面，所以想到作平行線，利用面面平行的判斷定理證明所求的截面即是平行四邊形，先求四邊形一半的面積，乘以即可得所求平行四邊形的面積，也可以直接求菱形的面積.鞏固訓(xùn)練：1．如圖，在長方體中，，，為的中點(diǎn)，過的平面分別與棱，交于點(diǎn)E，F(xiàn)，且，則截面四邊形的面積為.【答案】【分析】利用平面的基本性質(zhì)作出截面，然后求解面積即可.【詳解】如圖：過點(diǎn)B作的平行線分別與，的延長線交于G，H，連接，，并分別與，交于E，F(xiàn)，因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，所以平面即為平面，因?yàn)?，，所以，所以四邊形為菱形，且，，所?故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解決截面問題的關(guān)鍵是根據(jù)平面的性質(zhì)結(jié)合題意作截面圖形，一般作平面內(nèi)與已知直線的平行線或者相交線，考查學(xué)生的空間想象能力.2．如圖，三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且．點(diǎn)是側(cè)面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)作一個既平行于側(cè)棱，又平行于底邊的三棱錐的截面，則該截面面積的最大值為．【答案】【分析】利用作平行線的辦法先作出符合題意的截面，根據(jù)三棱錐側(cè)棱兩兩垂直推導(dǎo)出截面是矩形，在用相似三角形的關(guān)系表示出矩形的面積進(jìn)行求解.【詳解】

如圖所示，在平面內(nèi)，過點(diǎn)作分別交于．在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，在平面內(nèi)過點(diǎn)作交于點(diǎn)，連接，由，，故，于是共面，由，平面，平面，故//平面，同理可說明//平面，則四邊形是過點(diǎn)既平行于直線又平行于直線的截面．由//平面，平面平面，平面，故，又，則，結(jié)合可得，四邊形是平行四邊形．因?yàn)?，，，平面，所以平面，又平面，所以．又，所以，所以平行四邊形是矩形．因?yàn)?，所以，設(shè)相似比為，則，因?yàn)椋裕驗(yàn)?，所以，則，因?yàn)椋?，即，故，所以?dāng)時，取得最大值.故答案為：3．已知長方體中，，，用過該長方體體對角線的平面去截該長方體，則所得截面的面積最小值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】分類討論截面的位置，利用異面直線的距離計(jì)算截面面積即可.【詳解】假設(shè)截面為，易知截面為平行四邊形，過點(diǎn)作，垂足為，則截面面積，因?yàn)闉槎ㄖ?，所以只要最小，?dāng)F在BC上（不含兩端點(diǎn)）時，如圖所示建立空間直角坐標(biāo)系，則為異面直線和的公垂線時，EF最小，易知異面直線和的距離即到平面的距離，，設(shè)面的法向量為，則，則，令，則，即，所以BC到面的距離為；當(dāng)F在上（不含兩端點(diǎn)）時，如圖所示，此時為和的公垂線時，最?。峡傻煤偷墓咕€長為；當(dāng)F在上（不含兩端點(diǎn)）時，如圖所示，此時EF為和的公垂線，最?。峡傻煤偷墓咕€長為；故，此時，易得特殊截面，，，比較所得.故選：C.題型11：空間夾角問題綜合【例11】．在長方體中，已知點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)，且，，，則直線與AP所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意分析可知直線與AP所成的角即為（或其補(bǔ)角），進(jìn)而在中，運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)椤?，則直線與AP所成的角即為直線與AP所成的角，如圖，連接，可知直線與AP所成的角即為（或其補(bǔ)角），則，因?yàn)槠矫?，平面，則，在，可知，且為銳角，則，所以直線與AP所成的角為.故選：B.鞏固訓(xùn)練：如圖，是所在平面外一點(diǎn)，，，且面，，則與平面的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由棱錐體積公式可求得，結(jié)合解三角形的知識可求得，由體積橋可求得點(diǎn)到平面的距離，進(jìn)而得到所求角的正弦值，即可求得結(jié)果.【詳解】，，，；平面，平面，，，又，，，，，，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，與平面的夾角為，，解得：，，又，，即直線與平面的夾角為.故選：C.2．如圖，在正方體中，下列結(jié)論錯誤的為（

）A．直線與直線所成的角為B．直線與平面所成的角為C．直線平面D．平面與平面所成的二面角為【答案】D【分析】對A，證明直線平面即可；對B，根據(jù)線面角的定義，根據(jù)直線與平面所成的角為即可；對C，根據(jù)線面垂直的判定證明即可；對D，根據(jù)二面角的定義可得平面與平面所成的二面角為即可.【詳解】對A，連接如圖，由正方體性質(zhì)可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.故直線與直線所成的角為，故A正確；對B，因?yàn)槠矫?，故直線與平面所成的角為，故B正確；對C，連接如圖，由正方體性質(zhì)可得，且平面，平面，故.又，平面，故平面.又平面，故.同理，又，平面，故平面，故C正確；對D，平面與平面交于，且，，故平面與平面所成的二面角為，故D錯誤.故選：D3．如圖，在正三棱柱中，已知，D在棱上，且，則與平面所成角的正弦值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用正三棱柱的性質(zhì)找出在平面內(nèi)的射影，進(jìn)而得到線面角，解直角三角形求出此角的正弦值.【詳解】取的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：由正三棱柱性質(zhì)易知平面，過D作，則平面，則即為與平面所成的角，易得，所以.故選：A.4．由空間一點(diǎn)出發(fā)不共面的三條射線，，及相鄰兩射線所在平面構(gòu)成的幾何圖形叫三面角，記為．其中叫做三面角的頂點(diǎn)，面，，叫做三面角的面，，，叫做三面角的三個面角，分別記為，，，二面角、、叫做三面角的二面角，設(shè)二面角的平面角大小為，則一定成立的是（）A． B．C． D．【答案】A【分析】運(yùn)用二面角的定義和直角三角形的勾股定理、三角形的余弦定理，化簡整理可得結(jié)論.【詳解】如圖，，，在上取一點(diǎn)，過在平面內(nèi)作，交于，過在平面內(nèi)作，交于，連接，則是二面角的平面角，即.設(shè)，在直角三角形中，，在直角三角形中，，，在中，，在中，，即為，所以.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用二面角的定義結(jié)合三角函數(shù)表示出相關(guān)線段的長，最后根據(jù)余弦定理有，再代入計(jì)算整理即可.題型12：空間直線與平面解答題綜合【例12】．如圖，圓柱的軸截面ABCD是正方形，點(diǎn)E在底面圓周上（點(diǎn)E異于A、B兩點(diǎn)），點(diǎn)F在DE上，且，若圓柱的底面積與△ABE的面積之比等于．(1)求證：；(2)求直線DE與平面ABCD所成角的正切值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）利用線面垂直的判定定理，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)線面角的定義，結(jié)合面面垂直性質(zhì)，利用幾何法，可得答案.【詳解】（1）根據(jù)圓柱性質(zhì)，平面．因?yàn)槠矫?，所以．因?yàn)槭菆A柱底面的直徑，點(diǎn)在圓周上，所以，又平面，故平面．因?yàn)槠矫鍰AE，所以．又，且平面，故平面．因?yàn)槠矫?，所以．?）因?yàn)槠矫嫫矫?，所以過作，由平面平面平面ABE，則平面，即為與平面所成角，設(shè)圓柱的底半徑為，因?yàn)閳A柱的軸截面是正方形，的面積為．圓柱的底面積，因?yàn)閳A柱的底面積與的面積之比等于，所以，解得，所以點(diǎn)為圓柱底面圓的圓心，則，即直線與平面所成角的正切值．鞏固訓(xùn)練：1．如圖，為平面外一點(diǎn)，底面，四邊形是矩形，，點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)在邊上移動．(1)當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，求證：平面；(2)求證：無論點(diǎn)在邊的何處，都有．【答案】(1)詳見解析.(2)詳見解析.【分析】（1）根據(jù)中位線平行于底邊知，,利用線面平行的判定定理即可證明；（2）先證明出平面,即可證明出結(jié)論.【詳解】（1）點(diǎn)是的中點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)為中點(diǎn)時，可得，又平面平面平面.（2）點(diǎn)是的中點(diǎn),又底面，平面,,又四邊形是矩形，又平面平面,又平面又平面,無論點(diǎn)在邊的何處，都有.2．如圖，在四棱錐中，平面平面，是正三角形，四邊形是正方形，是的中點(diǎn).(1)求證：平面；(2)求直線和平面所成角的大小【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）由線面平行的判定定理證明即可；（2）過點(diǎn)作，連接，由題意可證得平面，所以是直線和平面所成角，求解即可.【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，在中，，平面，平面，所以平面；（2）因?yàn)槭钦切?，是的中點(diǎn)，所以，設(shè)的邊長為，所以，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，因?yàn)樗倪呅问钦叫危?，所以平面，平面，所以，所以，，所以，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，過點(diǎn)作，連接，平面，所以，平面，所以平面，所以是直線和平面所成角，在，，所以，所以，所以.所以，所以直線和平面所成角的大小.3．如圖，在四棱錐中，底面為直角梯形，，，分別為棱中點(diǎn)．(1)求證：平面平面；(2)若平面平面，直線與平面所成的角為，且，求二面角的大小．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明平面，平面，即可證明結(jié)論；（2）根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理得，進(jìn)而得，再根據(jù)題意證明平面可得為直角三角形，再根