專題02集合的基本運算

20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊20232024高一數(shù)學(xué)必修第一冊專題02集合的基本運算專題02集合的基本運算№考向解讀?考點精析?真題精講?題型突破?專題精練第一章集合與常用邏輯用語專題02集合的基本運算→?考點精析←1并集、交集、補集并集交集補集概念由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集.由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，稱為集合A與B的交集.對于集合A，由全集U中不屬于集合A的所有元素組成的集合，稱為集合A相對于全集U的補集.記號A?B(讀作:A并A?B(讀作:A交CUA(讀作:A符號AAC圖形表示2結(jié)論若A?B=A，則A?B；3運算律①交換律A?B=②結(jié)合律A?B?③分配律A?B?④德摩根律?UA?→?真題精講←1.（2023新高考Ⅰ卷）已知集合，，則（）A. B. C. D.2【答案】C【解析】【分析】方法一：由一元二次不等式的解法求出集合，即可根據(jù)交集的運算解出．方法二：將集合中的元素逐個代入不等式驗證，即可解出．【詳解】方法一：因為，而，所以．故選：C．方法二：因為，將代入不等式，只有使不等式成立，所以．故選：C．2.（2023天津卷）已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】對集合B求補集，應(yīng)用集合的并運算求結(jié)果；【詳解】由，而，所以.故選：A3.（2023北京卷）已知集合，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】先化簡集合，然后根據(jù)交集的定義計算.【詳解】由題意，，，根據(jù)交集的運算可知，.故選：A4.（2023全國文科乙卷）設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意可得的值，然后計算即可.【詳解】由題意可得，則.故選：A.5.（2023全國理科乙卷）設(shè)集合，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為即可.【詳解】由題意可得，則，選項A正確；，則，選項B錯誤；，則或，選項C錯誤；或，則或，選項D錯誤；故選：A.6.（2023全國文科甲卷）設(shè)全集，集合，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用集合的交并補運算即可得解.【詳解】因為全集，集合，所以，又，所以，故選：A.7.（2023全國理科甲卷）設(shè)全集,集合，（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)整數(shù)集的分類，以及補集的運算即可解出．【詳解】因為整數(shù)集，，所以，．故選：A．→?題型突破←題型一集合的混合運算1．（2023·江蘇·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先通過一元二次不等式的解法求出集合，再通過集合的交集運算求解即可.【詳解】因為，所以．故選：B.2．（2023·廣東梅州·統(tǒng)考一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可知，解集合對應(yīng)的不等式可得，即；所以.故選：B3．（2023·江蘇·二模）已知全集，集合，，則（

）A．或 B．或C． D．【答案】A【分析】先求出集合A的補集，再與集合求并集．【詳解】或，，所以或，故選：A．4．（2023·山東濟(jì)南·統(tǒng)考三模）已知全集，則圖中陰影部分代表的集合為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)Venn圖，由集合運算可解.【詳解】由題意，而陰影部分為.故選：C5．（山東師范大學(xué)附屬中學(xué)2021屆高三數(shù)學(xué)打靶模擬試題）己知全集，集合，，則下列Venn圖中陰影部分的集合為（）A． B． C． D．【答案】C【詳解】集合，Venn圖中陰影部分表示的集合是.故選C6．已知全集,集合,（1）求和（2）求【答案】(1),;(2)【分析】根據(jù)集合的基本運算求解即可.【詳解】(1)由,得,

(2)由得,故【點睛】本題主要考查了集合的基本運算,屬于基礎(chǔ)題型.題型二、集合運算中的含參問題類型一已知運算結(jié)果求參數(shù)7.已知集合A={x|ax=1}，，1，2}，若A?B，則實數(shù)a可以為（）A．12 B．C．0 D．以上選項都不對【答案】ABC【分析】由子集定義得A=?或A={1}或A={2}，從而1a不存在，1a=1，1【詳解】解：∵集合A={x|ax=1}，，1，2}，A?B，∴A=?或A={1}或A={2}，1a不存在，1a=1，解得，或，或a=12．故選：ABC．類型二已知運算結(jié)果求參數(shù)取值范圍8.設(shè)集合A={x|x2-(a+3)x+3a=0},B={x|x2-5x+4=0}，集合A∪B中所有元素之和為【答案】{0,1,3,4}【解析】求解一元二次方程x2-(a+3)x+3a=0可得x1當(dāng)a=1，3或4時，結(jié)合集合的互異性，可知A∪B中所有元素之和為否則a+1+3+4=8，解得：a=0，綜上可得，實數(shù)a的取值范圍是{0,1,3,4}．9.設(shè)A=xx2+8x=0,B={x|x2+2【解析】∵x2+8x=0，∴x(x+8)=0，解得x=0∴A={0,-8}．∵A∪B=A，∴B?A,(利用venn圖理解下這個結(jié)論)∴B可能為?,{0},{－方程x2+2a+2①當(dāng)△=0，即a=②當(dāng)△＜0，即a＜－③當(dāng)△＞0，即a＞－2時，方程則必須滿足-8+0=-2(a+2)-8×0=a2-綜上可知：實數(shù)a的取值范圍是{a|a=2或【點撥】遇到子集的問題:B?A，不要漏了B=?的情況.10.設(shè)A={x|x2+4x=0},B={x|x2+2(a+1)x+a2-1=0},其中【答案】(-∞,-1]∪{1}【解析】由A中方程變形得：x(解得：x=0或x=-4，即A={-4,0}，由B={x|x2分兩種情況考慮：若B=?時，Δ=4(a+1)若B≠?時，Δ=4(a+1)2此時把x=-4代入得：16-8a-8+a2-1=0，即a=-1或a=-7把x=0代入得：a=1或-1綜上，a的范圍為(-∞,-1]∪{1}．類型三利用補集思想求參數(shù)11.設(shè)集合A=x（1）若A∩B={2}，求實數(shù)（2）若U=R，A∩CU【答案】(1)-1或-3【解析】由x2-3x+2=0得x=1或x=2，故集合（1）∵A∩B={2}∴2∈∴a=-1或a=-3當(dāng)a=-1時，當(dāng)a=-3時，綜上，a的值為-1或-3．（2）∵A∩CUB=A①若B=?，則Δ②若B≠?，則a=-3時，B={2}當(dāng)a>-3，此時需1將2代入B的方程得a=-將1代入B的方程得a∴a綜上，a的取值范圍是a<-或-1<a<-1+3題型三集合運算在實際問題中的應(yīng)用12．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．62% B．56% C．46% D．42%【解答】解：設(shè)只喜歡足球的百分比為x，只喜歡游泳的百分比為y，兩個項目都喜歡的百分比為z，由題意，可得x+z＝60，x+y+z＝96，y+z＝82，解得z＝46．∴該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是46%．故選：C．題型四與集合運算有關(guān)的創(chuàng)新問題類型一新定義13．已知非空集合是集合的子集，若同時滿足兩個條件：（1）若，則；（2）若，則；則稱是集合的“互斥子集”，并規(guī)定與為不同的“互斥子集組”，則集合的不同“互斥子集組”的個數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】按所含元素的個數(shù)分為“1+1型”、“1+2型”、“1+3型”、“2+2型”，分別求出相應(yīng)的“互斥子集組”數(shù).【詳解】①若、中各含一個元素時，“互斥子集組”數(shù)：個②若含一個、含兩個元素時，“互斥子集組”數(shù):個③若含一個、含三個元素時，“互斥子集組”數(shù):個④若、中各含兩個元素時，“互斥子集組”數(shù)：個.綜上共有“互斥子集組”數(shù)50個.故選:D【點睛】此題關(guān)鍵在于恰當(dāng)分類，屬于中檔題.14．已知集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B為集合M的非空子集，若?x∈A、y∈B，x＜y恒成立，則稱（A，B）為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”共有17個．【解答】解：由集合M＝{1，2，3，4}，集合A、B為集合M的非空子集，若?x∈A、y∈B，x＜y恒成立，則稱（A，B）為集合M的一個“子集對”，則集合M的“子集對”有：當(dāng)A＝{1}，B＝{2}或{3}或{4}或{2，3}或{2，4}或{3，4}或{2，3，4}；當(dāng)A＝{2}時，B＝{3}或{4}或{3，4}當(dāng)A＝{3}時，B＝{4}A＝{1，2}時，B＝{3}或{4}或{3，4}A＝{1，3}時，B＝{4}，A＝{2，3}，B＝{4}A＝{1，2，3}，B＝{4}故答案為：17．類型二存在性問題15.已知集合A={x|2m-1<x<3m+2}，B={x|x≤-2,或x≥5}，是否存在實數(shù)m，使A∩B≠?？若存在，求實數(shù)m的取值范圍；若不存在，請說明理由．【答案】m>1或-【解析】若A?B=?，分(1)若A=?，則2m-1≥3m+2，解得m≤-3，此時(2)若A≠?，要使A&2m-1<3m+2&2m-1≥-2&3m+2≤5即&m>-3綜上，當(dāng)A?B=?時，當(dāng)m>1或-3<m<-題型五分類新思想16．設(shè)集合A＝{x|x2－3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0}．（1）若A∩B＝{2}，求實數(shù)a的值；（2）若A∪B＝A，求實數(shù)a的取值范圍；（3）若U＝R，A∩(?UB)＝A，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）－1或－3；（2）a≤－3；（3）a<－3或－3<a<－1－或－1－<a<－1或－1<a<－1＋或a>－1＋.【分析】（1）根據(jù)題意可知，將代入方程求出a，再求出集合，根據(jù)集合的運算結(jié)果驗證a的值即可.（2）根據(jù)題意可得，討論或，利用判斷式求出實數(shù)a的取值范圍即可.（3）根據(jù)題意可得，討論或，解方程組即可求解.【詳解】由題意知A＝{1，2}．（1）∵A∩B＝{2}，∴2∈B，將x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a2＋4a＋3＝0，所以a＝－1或a＝－3.當(dāng)a＝－1時，B＝{－2，2}，滿足條件；當(dāng)a＝－3時，B＝{2}，也滿足條件．綜上可得，a的值為－1或－3.（2）∵A∪B＝A，∴B?A.對于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①當(dāng)Δ＝4(a＋1)2－4(a2－5)＝8(a＋3)<0，即a<－3時，B＝?，滿足條件；②當(dāng)Δ＝0，即a＝－3時，B＝{2}，滿足條件；③當(dāng)Δ>0，即a>－3時，B＝A＝{1，2}才能滿足條件，這是不可能成立的．綜上可知，a的取值范圍是a≤－3.（3）∵A∩(?UB)＝A，∴A??UB，∴A∩B＝?.對于方程x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，①當(dāng)Δ<0，即a<－3時，B＝?，滿足條件．②當(dāng)Δ＝0，即a＝－3時，B＝{2}，A∩B＝{2}，不滿足條件．③當(dāng)Δ>0，即a>－3時，只需1?B且2?B即可．將x＝2代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1或a＝－3；將x＝1代入x2＋2(a＋1)x＋a2－5＝0，得a＝－1±，∴a≠－1，a≠－3且a≠－1±，綜上，a的取值范圍是a<－3或－3<a<－1－或－1－<a<－1或－1<a<－1＋或a>－1＋.→?專題精練←1．（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由，即，所以不等式的解集為，所以，又，所以.故選：D2．（2023·山東濟(jì)寧·嘉祥縣第一中學(xué)統(tǒng)考三模）若集合，，則集合中的元素個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】用列舉法表示集合，再根據(jù)交集的定義求出，即可判斷.【詳解】因為，又，所以，即集合中含有個元素.故選：C3．已知，若，則實數(shù)a的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)并集的結(jié)果，可得集合B，進(jìn)而得到參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：∵，，∴∴．故選：D．4．（2023·廣東茂名·統(tǒng)考一模）設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意可得：.故選：D.5．（2023·山東日照·三模）設(shè)集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求集合，再應(yīng)用交集運算即可.【詳解】由題意得，，，∴，故選：A.6．已知數(shù)集A＝{a1，a2，…，an}(1≤a1<a2<…<an，n≥2)具有性質(zhì)P：對任意的i，j(1≤i≤j≤n)，aiaj與兩數(shù)中至少有一個屬于A，則稱集合A為“權(quán)集”，則()A．{1,3,4}為“權(quán)集” B．{1,2,3,6}為“權(quán)集”C．“權(quán)集”中元素可以有0 D．“權(quán)集”中一定有元素1【答案】B【分析】利用“權(quán)集”的定義對每一個選項逐一判斷得解.【詳解】由于3×4與均不屬于數(shù)集{1,3,4}，故A不正確；由于1×2,1×3,1×6,2×3，，，，，，都屬于數(shù)集{1,2,3,6}，故B正確；由“權(quán)集”的定義可知需有意義，故不能有0，同時不一定有1，故C，D錯誤．故答案為B【點睛】(1)本題主要考查新定義，意在考查學(xué)生對新定義的理解掌握和運用能力.(2)判斷類似的題目，方法要靈活，可以舉反例說明命題是錯誤的，也可以舉例說明它是正確的，也可以直接證明.7．（2023·廣東肇慶·統(tǒng)考二模）已知集合，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】因為集合，所以.故選：B．8．（2021年全國高考甲卷數(shù)學(xué)（文）試題）設(shè)集合，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】，故，故選B.9．設(shè)集合，．若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)集合，，知集合與沒有共同元素，再根據(jù)數(shù)軸列出關(guān)系式，求解即可．【詳解】因為，所以，又，所以如圖可得或，解得或，即的取值范圍是．故選：C【點睛】本題主要考查集合間的基本關(guān)系及簡單運算，屬于基礎(chǔ)題．10．（甘肅省靖遠(yuǎn)縣2021屆高三高考考前全真模擬數(shù)學(xué)（理）試題）已知，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由，解得，所以，所以.故選B11．（2021年全國新高考Ⅰ卷數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】由題設(shè)有，故選B.12．（2021年浙江省高考數(shù)學(xué)試題）設(shè)集合，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由交集的定義結(jié)合題意可得：.故選D.13.（2023·廣東廣州·統(tǒng)考二模）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題可知：，所以．故選：B．14．（2023·山東淄博·山東省淄博實驗中學(xué)校考三模）已知集合，，則為（

）A． B．或C．或 D．或【答案】C【分析】先化簡集合B，再利用集合的交集和補集運算求解.【詳解】解：因為，則或，所以或，或故選：C15.設(shè)M={x|m≤x≤m+13},N={x|n-34≤x≤n}都是{x|0≤x≤1}的子集，如果b-a叫做集合{x|a≤x≤b}的長度，則集合A．13 B．14 C．16【答案】D【解析】由m≥0，且m+1由n-34≥0分別把m,n的兩端值代入求出：或M={x|所以M∩N={所以b-a綜上所述，集合M∩N的長度的最小值是故選：D．16.（多選題）已知集合A=-2,-1,0,1A．A∩B=-2,-C．A∩B=-1,0,1 D【答案】AD【分析】先利用一元二次不等式的解法化簡集合B，再利用交集和并集的運算求解.【詳解】因為x-1x+2≤0所以B=所以A∩B=-2,-故選：AD.17．（2023·廣東東莞·校考模擬預(yù)測）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由集合的并運算可知，.故選：B.18．（2023·廣東汕頭·統(tǒng)考一模）設(shè)全集，集合則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，或，.故選：C.19．（2023·山東濰坊·三模）已知集合，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)交集與補集的定義求解.【詳解】，，，故選：C.20．（2023春·廣東韶關(guān)·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，，又，所以.故選：A21．（2023·山東煙臺·統(tǒng)考三模）已知全集，集合，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出再求即可.【詳解】由題知，，則.故選：B.22．（2023春·廣東·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因為，又因為，則由交集的定義可得：．故選．23．（2023春·廣東江門·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知集合，，則（

）A．或 B．C． D．或【答案】A【解析】集合，所以或，則或.故選：A.24．（2023春·廣東揭陽·高三?？奸_學(xué)考試）若集合，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，.故選：C25．（2020·揚州大學(xué)附屬中學(xué)東部分校月考）若集合，，若，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．【解析】因為，所以，所以或，所以或，當(dāng)時，不成立，所以，所以滿足，當(dāng)時，因為，所以，又因為，所以，所以，當(dāng)時，因為，所以，又因為，所以，所以，綜上可知：.故選：A.26．（2023·廣東廣州·高三廣東實驗中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】因為，所以，所以，所以，又，因此，.故選：C27．（2021·三門峽市第一高級中學(xué)月考）已知集合，，則使成立的實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】若滿足，由已知條件得，解得，故選：C．28．（2023·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知集合，，則的子集個數(shù)為（

）A．0 B．1 C．2 D．無窮多個【答案】C【解析】因為集合，，由可得，所以，只有一個元素，所以，的子集個數(shù)為2.故選：C29．（2020·山東高三零模）已知集合，，若，則由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為（）A． B． C． D．【解析】因為集合，，，若為空集，則方程無解，解得；若不為空集，則；由解得，所以或，解得或，綜上，由實數(shù)的所有可能的取值組成的集合為.故選D30．（2020·安徽省泗縣第一中學(xué)開學(xué)考試）若集合,則實數(shù)的取值范圍是()A．B．C．D．【解析】設(shè)當(dāng)時，，滿足題意；當(dāng)時，時二次函數(shù)因為，所以恒大于0，即所以，解得．31．（2020·江西南昌二中月考）已知集合，若集合有且僅有兩個子集，則的值是（）A．1B．1C．0，1D．1，0，1【解析】因為集合有且僅有兩個子集，即為和集合本身，故集合中的元素只有一個，即方程只有一個解，當(dāng)時，原方程為，即，符合題意；當(dāng)時，令，綜上，，或可符合題意.故選：D.32．（2020·宜賓市敘州區(qū)第一中學(xué)校月考）設(shè)，，且，求實數(shù)的取值范圍.【解析】或，，，且，當(dāng)時，，解得：當(dāng)時，，或即.綜上所述，實數(shù)的取值范圍為33．（2021·四川省瀘縣第四中學(xué)月考）已知集合，，若，則的取值范圍為__________．【解析】由解得或，所以，因為，所以可能，分別分析，當(dāng)即時，符合題意，再有根與系數(shù)的關(guān)系知，時，符合題意，不符合題意，故填或34.已知集合A={x|x2-x-2<0},B={x|a-2<x<a},若A∩B={x|-1<x<0}，則【答案】(-【解析】∵A={x∴a∴B∴A35．（2020·寶山·上海交大附中開學(xué)考試）設(shè)集合，若，則實數(shù)m的取值范圍是____________.【解析】∵，∴，解得．故答案為：．35.已知集合A=xx2-5x+6=0【答案】{-【解析】集合A={x|x2-5x+6=0}={x|x=∵A∪B=A，若B=?，即m=0時，滿足條件B?A．若B≠?，即m≠0時，集合B={x|x=-1要使B?A．則-解得m=-12或m故m=0或m=-12或36．設(shè)全集為，，.（1）求；（2）求.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）畫出數(shù)軸圖，數(shù)形結(jié)合即可求出；（2）畫出數(shù)軸圖，數(shù)形結(jié)合可求出，再利用補集定義即可求出.【詳解】（1）畫出集合A和集合B表示的數(shù)軸圖，則由圖可得；（2）觀察圖形可得或.37.已知集合A={x|-2<x-1<2}，集合B={x|x(1)若A∩B={2}，求a的值；(2)若A∪B=A，求a的取值范圍．【答案】(1)3(2)(0,3)【解析】(1)A={x|∵A∩B∴a=2或a-1=2，即a=2時，B={1,2}，∴A∩B∴a(2)∵