工字形截面單跨超靜定深梁應(yīng)力分析

工字形截面單跨超靜定深梁應(yīng)力分析

隨著交通、土木工程和水電的發(fā)展，上翼邊緣承受均勻布局荷載的深拱被廣泛使用。在這種情況下，梁中同時(shí)存在正應(yīng)力和剪應(yīng)力。由于每個(gè)截面的切割力不同，水平截面的彎曲變形是不同步的。相鄰斷面的垂直纖維被拉伸或壓縮，從而影響曲線的分布，同時(shí)也對(duì)截面上的壓縮力起到了作用。材料力學(xué)中的細(xì)長(zhǎng)梁應(yīng)力計(jì)算公式忽略了以上所述因素從而造成了較大的誤差。深梁的應(yīng)力計(jì)算歷來(lái)是個(gè)復(fù)雜的問(wèn)題,且大多針對(duì)矩形截面深梁[1―7],對(duì)工字形截面深梁應(yīng)力計(jì)算的研究較少。這主要是因?yàn)楣ぷ中谓孛嫔盍航孛鎻?fù)雜,其所受影響因素較多,目前仍無(wú)正確反映其受力機(jī)理的理論解。筆者曾對(duì)組合截面深梁的應(yīng)力計(jì)算做過(guò)一些工作[8―10],本文在所做工作的基礎(chǔ)上,對(duì)均布荷載作用下單跨超靜定深梁應(yīng)力計(jì)算進(jìn)行研究,通過(guò)引入合理的參數(shù)及對(duì)原問(wèn)題做恰當(dāng)?shù)暮?jiǎn)化建立合理力學(xué)模型,得到各應(yīng)力分量的解析計(jì)算公式,并對(duì)彎應(yīng)力做進(jìn)一步的分析,希望得到一些有益的結(jié)論。1梁高、腹板厚度圖1為典型單軸對(duì)稱工字型截面。在圖1中:A1、A2分別為上下翼緣的面積;h1、h2分別為上下翼緣距中性軸的距離,并且:h1+h2=h,梁高為h;腹板厚度為δ;面積為Af。令I(lǐng)為工字形截面對(duì)中性軸的慣性矩,S1、S2分別為上下翼緣對(duì)中性軸靜矩的絕對(duì)值。由于工字形截面所含參數(shù)較多,為簡(jiǎn)化計(jì)算及讓公式更具通用性,引入下面的無(wú)量綱參數(shù):考慮到工程中用到的工字形截面深梁的翼緣都很薄,翼緣厚度和腹板高度之比大多介于1%―2%之間,故在本文的推導(dǎo)過(guò)程中近似認(rèn)為(h-h0)/h=0。則可算得:2應(yīng)力分量的計(jì)算工字形截面單跨超靜定深梁的典型結(jié)構(gòu)形式如圖2所示。單跨超靜定深梁跨長(zhǎng)為l,上翼緣承受荷載集度為q的均布荷載,為了反映工字形梁的受力機(jī)理,單獨(dú)研究腹板的受力機(jī)理,其計(jì)算簡(jiǎn)圖如圖3所示。建立圖3所示坐標(biāo)系,不計(jì)體力,τ1和τ2分別為上下翼緣施加給腹板的切應(yīng)力。經(jīng)計(jì)算,左右支座的支反力分別為3ql/8和5ql/8,單跨超靜定深梁橫截面的剪力和彎矩分別為:式(4)是切應(yīng)力的一次近似式,將其代入單元靜力平衡方程后,滿足平衡條件。由以上公式可知,在x=0.375l處的橫截面上的剪力為零,此截面為τ1和τ2的方向變化面,如計(jì)算簡(jiǎn)圖3中所示,并且此處具有最大的正彎矩。按照彈性力學(xué)中的記法,令σx表示彎應(yīng)力,τxy表示切應(yīng)力,σy表示擠壓應(yīng)力。由于翼緣很薄,認(rèn)為均布荷載傳至腹板頂部時(shí)大小不變,擠壓應(yīng)力σy是由橫向均布荷載q引起的,q不隨x而變,故可認(rèn)為σy只是y的函數(shù),即:σy=f(y),應(yīng)用彈性力學(xué)中的半逆解法求得各應(yīng)力分量的解答為:式(5)中各應(yīng)力分量的系數(shù)由邊界條件確定,在上下兩個(gè)主要邊界上,應(yīng)力邊界條件為:將式(5)中的相應(yīng)應(yīng)力分量代入到式(6)中并經(jīng)過(guò)變換得到:在次要邊界上x(chóng)=0上,σx所合成的主矢和主矩均為0,上下翼緣和腹板均對(duì)主矢和主矩有貢獻(xiàn)。剪應(yīng)力合成的剪力大小和左支座的支反力相同,根據(jù)圣維南原理得到次要邊界的應(yīng)力積分邊界條件為:根據(jù)以上各式解得各應(yīng)力分量系數(shù)的表達(dá)式為:其中:以上求解過(guò)程不作平截面假設(shè)和縱向纖維無(wú)擠壓假設(shè),得到了應(yīng)力分量更為精確的解答。但是對(duì)于本文所研究的工字形截面單跨超靜定深梁,由前所述原因可知各橫截面的翹曲不同步,橫截面上存在著不同步翹曲所產(chǎn)生的彎應(yīng)力(稱為彎剪耦合效應(yīng))。故實(shí)際的彎應(yīng)力應(yīng)為上面所求彎應(yīng)力和翹曲應(yīng)力之和。記翹曲應(yīng)力為σq,參考文獻(xiàn)得:式中:μ表示泊松比;S*表示距中性軸的距離為y以外部分的橫截面面積對(duì)中性軸的面積矩;b(y)表示距中性軸為y處的橫截面寬度,經(jīng)過(guò)計(jì)算可得:重新記由彈性力學(xué)中的半逆解法所求的得彎應(yīng)力為σe,則彎應(yīng)力的最終表達(dá)式為:3彎應(yīng)力沿梁高分布規(guī)律分析為了獲得彎應(yīng)力沿梁高及跨度的分布規(guī)律,下面將以雙軸對(duì)稱工字形截面單跨超靜定深梁為例進(jìn)行分析,為了簡(jiǎn)化分析過(guò)程,取腹板的厚度為單位厚度,即δ=1,易得:則各應(yīng)力分量的系數(shù)為:將各系數(shù)代入式(5)中可得到應(yīng)力分量的計(jì)算公式如下:為了便于分析,引入無(wú)量綱位置參數(shù)如下:剪高比ξ=2y/h,剪跨比η=x/l,跨高比α=l/h,則:令σmax表示由純彎矩產(chǎn)生的最大彎應(yīng)力,其值在固定端橫截面上翼緣外側(cè)取得,即:σ反映了彎應(yīng)力σx的大小及其分布規(guī)律。從該式可以看出σ的影響因素較多。為了反映彎應(yīng)力沿梁高的分布規(guī)律,以距鉸支座0.375l處橫截面為例進(jìn)行分析,作出不同跨高比下σ-ξ的關(guān)系曲線如圖4所示;為了反映彎應(yīng)力沿梁跨度的分布規(guī)律,以下翼緣外側(cè)部分為例進(jìn)行分析,作出不同跨高比下σ-ξ的關(guān)系曲線如圖5所示(取β=0.5,取μ=0.3)。對(duì)比圖4和圖5可以看出:1)沿梁高方向:梁上半部分受壓應(yīng)力,下半部分受拉應(yīng)力;彎應(yīng)力由中性軸向上下兩個(gè)方向均逐漸增大,且在上下翼緣外側(cè)處達(dá)到最大值。2)沿梁跨度方向:彎應(yīng)力先逐漸增大,增大到0.375l處,再逐漸減小;當(dāng)跨高比較大時(shí),σ在接近固定端橫截面時(shí)為負(fù)值,即彎應(yīng)力表現(xiàn)為壓應(yīng)力,這主要是受固端彎矩的影響,由于固定端支座處的彎矩為負(fù)彎矩,并且當(dāng)梁跨度較大時(shí),固端彎矩的絕對(duì)值也較大,其表現(xiàn)形式為使梁下半部分受壓,使上半部分受拉,故在接近固定端支座處,使下翼緣表現(xiàn)為受壓應(yīng)力。3)圖4和圖5中相同跨高比下的曲線最大值相等,并且都在距鉸支座0.375l處橫截面下翼緣外側(cè)取得,這說(shuō)明整個(gè)梁的彎應(yīng)力的最大值位于距鉸支座0.375l處橫截面下翼緣外側(cè)。σx的表達(dá)式可寫(xiě)為下面的形式:在式(21)中,中括號(hào)中的第一個(gè)1代表純彎矩產(chǎn)生的彎應(yīng)力,其他的項(xiàng)則表示剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響,記:為了反映λ關(guān)于跨高比α及翼緣與腹板面積比β的變化規(guī)律,以距鉸支座0.375l處橫截面下翼緣外側(cè)的點(diǎn)為例進(jìn)行分析,作出不同面積比下的λ-α的關(guān)系曲線如圖6所示。由圖6可以看出:剪力對(duì)彎應(yīng)力的影響隨跨高比的減小或翼緣與腹板面積比的增大而增大,即翼緣面積越大,則對(duì)腹板翹曲約束越大,翹曲應(yīng)力就越大。4翼緣寬度、厚度、確定有一工字形截面單跨超靜定深梁,上翼緣承受2000kN/m的均布荷載,跨度和高度分別為4m和1m,翼緣厚度為0.02m,分別取翼緣的寬度為0.2m、0.3m和0.4m,用ADINA軟件對(duì)這3種情況進(jìn)行有限元建模。分別用ADINA、材料力學(xué)中的公式及本文公式計(jì)算出距鉸支座0.375l=1.5m處橫截面的無(wú)量綱彎應(yīng)力沿梁高的分布如圖7所示。由圖7可以看出本文解遠(yuǎn)比材料力學(xué)解更精確,證明了本文解的適用性。5應(yīng)力解析計(jì)算公式的應(yīng)用及展望本文通過(guò)抽象出合理的力學(xué)計(jì)算模型,考慮了彎剪耦合效應(yīng),推導(dǎo)出了單軸對(duì)稱和雙軸對(duì)稱工字形截面單跨超靜定深梁的應(yīng)力解析計(jì)算公式,并對(duì)其進(jìn)行了進(jìn)一步的分析研究,得到