專題四函數(shù)極值與三娃子學(xué)長(zhǎng)贈(zèng)課keep0303

在數(shù)1,2,3 1

11?ln【解】令y=xx,則兩邊取對(duì)數(shù)得lny=xlnx,兩邊對(duì)x求導(dǎo)有yy=x2+lnx??x2，即y= 令'=玐得駐點(diǎn)x=e,當(dāng)玐<x<e時(shí)， 玐,故y 單調(diào)增；當(dāng)e<x<+∞時(shí)，'<玐，故y 減42于是1<2，且3 > <33，故所求的最大值為342!2求y=1++2!+? !2【解】因?yàn)?=

?'=x=!nx'xnx玐,則'x玐,'<玐,故yx處取極大值yx==設(shè)函數(shù)y=f(x)由方程3 2+2+6=玐確定，求f(x)的極值2【解】3 2+2+6=玐兩側(cè)關(guān)于x求導(dǎo)，得32'+2+2'+2 2''=玐.解得'=23+2+令'=玐,得y=玐或y=?2x,將y=玐代入原方程，矛盾.再將y=?2x代入3+ 2+2+6=玐得x=此時(shí)f1=?2.對(duì)32'+2+2'+2 2''=玐兩側(cè)對(duì)x求導(dǎo)，得6y(')2+32''+2'+2()''+2''24'+2'+2''玐x=1,y2,'1=代入上式，得''1=4,所以x=1y=f(x)的極小值點(diǎn)，極小值為f1=?2.fx

2玐(2?) 的最大值M與最小值在玐,+∞上可導(dǎo)，且 =2x2?2?2=2x2+ 2?x?玐f(x)

><<= 222 =22 =?2(2?)?=?2 ?2+22 =+∞(2?)? 2 ?+∞+

=2+?2=1+?2,由于玐?

玐(2? 玐f(x)f=玐,因此M=1+?x≥玐fx=

?2t 【解】由' =1? t2,又'1=玐,知x=1為fx的駐點(diǎn)，且當(dāng)玐<x<1時(shí)，' 調(diào)增;當(dāng)x1時(shí)，'<玐,fx單調(diào)減，故當(dāng)x≥玐時(shí)fx在x=1處取得最大值f(1) 1時(shí)，t 2, 2 f1 (?)玐

( 玐

=(2+1)(2+ ,?=?,常數(shù) (,)(玐,玐 2+ ,?=?,知 ,?=?+, =玐.再令a=1+耀,耀玐于是上式(,)(玐,玐 2+ (,)(玐,玐 2+ (,)(玐,玐 改寫為，fx,y=xy

1b 2+2=1(+)2+耀+(2+2)因fx,yf玐 (,)(玐,玐

f(x,y)玐.(,)(玐,玐

Ο，當(dāng)(x,y)

<耀故 2f(x,y)f玐,zzx,y是由26+122?21h=0z=zx,yFx,y,z=26+1玐22?2+1h?z =26 =62玐 ?2? ?2?再令再與原方程26+1玐22?21h=聯(lián)立解得(,,)1=(,3,3)或(,,)2=(?3A

=1,B =?1,C 2( ( 12?AC

( 136玐,=6玐類似的，對(duì)于點(diǎn)(,,)=(,?3,? A2=?1,B2=1,C22(?類似的，對(duì)于點(diǎn)(,,)=(,?3,? A2=?1,B2=1,C22(?6(?2有22(?

12AC <玐,=

1–由于在(,,)2=??3,

處，?F= z=zx,y的極大值點(diǎn)，極大值為-z=3+3?32?32=32?6=由

=32?6= 2=6? =玐 2=6?在駐點(diǎn)(0,0A

2222

=?6,B

2玐,2

玐,

6,h?2=36玐,=?6<玐22=222222222點(diǎn)

=?6,B2=6,B2

玐

2

2玐

=6,h?2=36<玐,所以(0,2=?6,h?2=36<玐,所以(2,02222

=6,B

22

2玐C=

=6,h?2=36玐,=6,所以(2,222極小值點(diǎn)，z2,2=h22求函數(shù)z=2+2+2+在區(qū)域D:2+ 【解】由于2+2 1是有界閉區(qū)域，z=2+2+2+

=2+2==2+1=

=?=?2

由于(?1)2+(?1 22再求函數(shù)在邊界上的最大值點(diǎn)與最小值點(diǎn)，即求z=2+2+2+ 在滿足約束條件2+2 1下的條件極值點(diǎn)，此時(shí)z=1+2+Lx,y,λ=12xyλ2+21, '=2+2λ= '=1+2λ= '=2+2?1= λx1,=?

1+1?1= 解得λ 或λ = =–2121 =1 ,= , =1 ,所以最小值m=1 ，最大值M=1+2121L:2+2+24上求點(diǎn)(x,y,z)W=xyz++=值【解】令Fx,y,z,λ,μ=xyz+λ2+2+2?1+μ(x+y+z? ?F=玐,=玐,=玐,=玐,=玐由 yz+2λx+μ= xz+2λy+μ= yx+2λz+μ= 2+2+2?4= x+y+z?3= =2λ = = =(,,)=(1?6,1?6,1+6),, =(1+6,1+6,1?6 (,,)=(1+6,1?6,1?6),, =(1?6,1+6,1+6 (,,)=(1+6,1?6,1+6),, =(1?6,1+6,1?6 由(,,)1得1=1(+6),由,,2得2=1(? 同理可得，3=6=1，4 1

16 ,216

=1(? 已知函數(shù)z=fx,y的全微分dz=2xdx2ydy,并且f1,1=2,求f(x,y)在橢圓域D2(,)24

1 '=?2cy=?【解】由題設(shè)，知=2,=2,于是fx,y +t( '=?2cy=?22222f1,1=2c=2,fx,y=2?222222?f玐f=得可能極值點(diǎn)為x玐,y=玐=

=2,B =2,2 (玐,玐 再考慮其在邊界曲線2

2142令拉格朗日函數(shù)為Fx,y,z=fx,y+ 2+4?1'