數(shù)學(xué)人教A版選修1-2教材習(xí)題點撥第二章推理與證明

教材習(xí)題點撥復(fù)習(xí)參考題A組1．解：第⑤個圖形如下圖所示．第②個圖形，中心有1個圓圈，另外的圓圈指向兩個方向，每個方向有一個圓圈，共有[(1＋1)2－1]個圓圈；第③個圖形，中心有1個圓圈，另外的圓圈指向三個方向，每個方向有兩個圓圈，共有[(2＋1)2－2]個圓圈；第④個圖形，中心有1個圓圈，另外的圓圈指向四個方向，每個方向有三個圓圈，共有[(3＋1)2－3]個圓圈；……由上面的變化規(guī)律，可猜測，第n個圖形中心有1個圓圈，另外的圓圈指向n個方向，每個方向有(n－1)個圓圈，共有[(n－1)＋1]2－(n－1)＝(n2－n＋1)個圓圈．即第n個圖形中共有n(n－1)＋1(n∈N*)個圓圈．2．解：(n∈N*)．點撥：∵eq\r(11－2)＝eq\r(9)＝3，eq\r(1111－22)＝33，eq\r(111111－222)＝333，猜測3．解：因為f(2)＝f2(1)＝4，所以f(1)＝2，f(3)＝f(2)f(1)＝8，f(4)＝f(3)f(1)＝16，…，猜想f(n)＝2n.4．證明：如圖，設(shè)O是四面體A－BCD內(nèi)任意一點，連結(jié)AO、BO、CO、DO并延長交對面于A′、B′、C′、D′，則eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝1.用體積法證明：eq\f(OA′,AA′)＋eq\f(OB′,BB′)＋eq\f(OC′,CC′)＋eq\f(OD′,DD′)＝eq\f(VO－BCD,VA－BCD)＋eq\f(VO－CDA,VB－CDA)＋eq\f(VO－DAB,VC－DAB)＋eq\f(VO－ABC,VD－ABC)＝eq\f(VA－BCD,VA－BCD)＝1.5．證明：要證(1＋tanA)(1＋tanB)＝2，只需證1＋tanA＋tanB＋tanAtanB＝2，即證tanA＋tanB＝1－tanAtanB．①由A＋B＝eq\f(5π,4)，得tan(A＋B)＝1.又因為A＋B≠kπ＋eq\f(π,2)，所以eq\f(tanA＋tanB,1－tanAtanB)＝1，變形即得①式．所以命題得證．B組1．解：(1)25條線段，16部分；(2)n2條線段；(3)eq\f(n2＋n＋2,2)部分．2．證明：因為∠BSC＝90°，所以△BSC是直角三角形．在Rt△BSC中，有BC2＝SB2＋SC2.類似地，得AC2＝SA2＋SC2，AB2＝SB2＋SA2.在△ABC中，根據(jù)余弦定理，得cosA＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(SA2,AB·AC)＞0；cosB＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(SB2,AB·BC)＞0；cosC＝eq\f(BC2＋AC2－AB2,2BC·AC)＝eq\f(SC2,BC·AC)＞0.因此，A、B、C均為銳角，從而△ABC是銳角三角形．3．證明：要證cos4β－cos4α＝3，因為cos4β－4cos4α＝cos(2×2β)－4cos(2×2α)＝1－2sin22β－4×(1－2sin22α)＝1－8sin2βcos2β－4×(1－8sin2αcos2α)＝1－8sin2β(1－sin2β)－4×[1－8sin2α(1－sin2α)]，只需證1－8sin2β(1－sin2β)－4×[1－8sin2α(1－sin2α)]＝3.由已知條件，得sinα＝eq\f(sinθ＋cosθ,2)，sin2β＝sinθcosθ.代入上式的左端，得1－8sin2β(1－sin2β)－4×[1－8sin2α(1－sin2α)]＝－3－8sinθcosθ(1－sinθcosθ)＋32sin2α(1－sin2α)＝－3－8sinθcosθ＋8sin2θcos2θ＋2(1＋2sinθcosθ)(3－2