對多視覺幾何中出現(xiàn)的運(yùn)算做出分析和解釋

對多視覺幾何中出現(xiàn)的運(yùn)算做出分析和解釋在多視角幾何中，特別是在一些恢復(fù)相機(jī)運(yùn)動(dòng)軌跡的模型中，我們需要將相機(jī)的旋轉(zhuǎn)和平移表示出來。通常情況下，我們都是在歐幾里得空間中用R和t來進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)算得到相機(jī)軌跡。然而，在很多論文中，作者們卻喜歡用Liealgebrase(3)、so(3)以及LiegroupSE(3)、SO(3)之類的表示。緊接著，出現(xiàn)了很多術(shù)語，比如twist,tangentspace，也出現(xiàn)了一些運(yùn)算，比如exp(),log()之類的，看得我是云里霧里。自然要問為啥通過指數(shù)運(yùn)算能夠把角速度映射到旋轉(zhuǎn)矩陣，它的背后又有什么樣的物理意義，這中間是否有一些盡量直觀的解釋。本篇博客將從最基礎(chǔ)的內(nèi)容出發(fā)，用直觀的容易理解的方式對旋轉(zhuǎn)矩陣和李代數(shù)之間的關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)，如有錯(cuò)誤，請指出，希望共同進(jìn)步。預(yù)備知識(shí)：在進(jìn)入正題之前，我們先需要復(fù)習(xí)下向量叉積（crossproduct），以及反對稱矩陣(skewsymmetricmatrix)，在計(jì)算機(jī)視覺中最初遇到這些概念應(yīng)該是在求解本征矩陣時(shí)，然而，他們在溝通剛體變換矩陣和李代數(shù)之間扮演著十分重要的作用。

至于什么是剛體變換，什么是旋轉(zhuǎn)矩陣，旋轉(zhuǎn)矩陣有哪些性質(zhì)這些更基礎(chǔ)的知識(shí)在這里不再一一補(bǔ)充。下面的內(nèi)容中，都是基于3維空間，所以沒有特別說明時(shí)，所說的旋轉(zhuǎn)矩陣都是3*3的，平移向量也是3維的。并且所有向量上帶一個(gè)帽子的表示的是它的反對稱矩陣形式。旋轉(zhuǎn)矩陣與so(3)：我們知道對于旋轉(zhuǎn)矩陣，旋轉(zhuǎn)矩陣本身乘以它的轉(zhuǎn)置等于單位矩陣：

上式中的約束表示R是旋轉(zhuǎn)矩陣。由前面的推導(dǎo)公式三知道如果R是單位矩陣，那它的導(dǎo)數(shù)就是一個(gè)反對稱矩陣，所以只有反對稱矩陣組成的空間，即so(3)，我們稱之為在在單位矩陣處的正切空間tangentspace.為什么稱為正切呢？回憶二維曲線在某處的導(dǎo)數(shù)是一條切線。對于這個(gè)三維球面，那么它的導(dǎo)數(shù)應(yīng)該是個(gè)切面。如下圖所示，圖片來源于tangentspace的wiki：

可是對于那些不是單位矩陣的旋轉(zhuǎn)矩陣R該怎么找在他們位置處的正切空間呢？由公式3我們知道，在反對稱矩陣的右邊乘以R就能夠得到R的導(dǎo)數(shù)，所以在非單位矩陣的R處的正切空間就是反對稱矩陣乘以R就行了。

指數(shù)映射：回到公式(3)，把旋轉(zhuǎn)矩陣R用x替換掉，如下：

剛體變換和SE(3)：前面還只說了旋轉(zhuǎn)，實(shí)際上剛體變換還有平移。所以，和只有旋轉(zhuǎn)矩陣構(gòu)成的李群SO(3)一樣，我們也可以有由剛體變換得到的李群SE(3):

到這里基本理清了SE,SO之類的與剛體變換之間的關(guān)系，看視覺SLAM類的論文以及相應(yīng)代碼中有關(guān)lie部分應(yīng)該沒啥壓力了。各種論文里涉及到的求解位姿矩陣時(shí)的非線性最小二乘優(yōu)化（牛頓法，LM法），其中增量都是在單位矩陣處的tangentspacese(3)上計(jì)算，獲得的增量(即相鄰位姿變換關(guān)系)通過指數(shù)映射映射回多面體SE(3)上。通過這種方式，能夠避免奇異點(diǎn)，保證很小的變換矩陣也能夠表示出來。這一段引用自論文《ScaleDrift-AwareLargeScaleMonocularSLAM》。這篇博文可以說是我看慕尼黑工大(TUM)多視角幾何教學(xué)視頻的筆記，YouTube鏈接點(diǎn)擊這里，這位牛的飛老師