一一對應,似同非同

―對應，似同非同 復數(shù)與向量的差異比較246740安徽省樅陽縣會宮中學朱賢良E-MAIL：高中數(shù)學選修系列1與2中均對數(shù)系進行了擴充，引入了復數(shù)的概念與復數(shù)的幾何意義，建立了復數(shù)與向量的一一對應關(guān)系：因而，在學習復數(shù)知識的過程中，我們常與向量知識來類比.的確，復數(shù)與向量在銀多方面具有類似的性質(zhì)，如復數(shù)加減運算的幾何意義表明復數(shù)的加減運算可以按照向量的加減運算來進行、復數(shù)的加法與向量加法一樣滿足交換律與結(jié)合律、復數(shù)的乘法與向量的數(shù)量積運算一樣遵循交換律及分配律……但是它們在另外的不少方面又存在明顯不同，尤其在乘法運算方面.盲目地將復數(shù)運算與向量運算等同起來，則會給復數(shù)學習帶來麻煩和錯誤.筆者結(jié)合教學中的實踐與探索，對復數(shù)與向量的差異作一初步比較，供思考.兩個復數(shù)能比較大小嗎？我們知道，任意兩個向量都不能比較大小，那么能不能認為兩個復數(shù)也是無法比較大小的？答案是否定的，當且僅當兩個復數(shù)均為實數(shù)時，它們有大小之分.例1(1)設(shè)a、b、c都是復數(shù)，那么“a2+b2>c2”是“a2+b2-c2>0”的條件；(2)已知實數(shù)m滿足不等式m+3mi<1-(m2-4)i，則m=.解析：(1)“a2+b2>c2”表明a2+b2與c2都是實數(shù)，且前者更大，故有a2+b2-c2>0；反之，“a2+b2-c2>0”不能推導“a2+b2>c2”，如a2+b2=2+i，c2=i.所以，“a2+b2>c2”是“a2+b2-c2>0”的充分不必要條件.(2)題意等價于：3m=-(m2-4)< nm=-4.m<1罕%=OZ-空嗎？既然復數(shù)與向量一一對應，復數(shù)的加減運算可以看成對應向量的加減運算，那么兩個復數(shù)的乘法似乎就可以直接轉(zhuǎn)化為對應的向量的乘法(數(shù)量積)進行運算，艮氣?％=%?OZ^……稍加注意，不難發(fā)現(xiàn)此結(jié)論不能成立：兩向量之數(shù)量積%?OZ2是一實數(shù)，而兩復數(shù)之積z1?z2或為實數(shù)或為虛數(shù)！事實上，兩復數(shù)Z]=a+bi與z2=c+di(其中a、b、c、d均為實數(shù))的乘積為：z.?z=(a+bi)(c+di)=ac-bd+(ad+bc)i，而對應兩向量的數(shù)量積為：O?OZ=(a,b)?(c,d)=ac+bd，2

只有在特殊的情形<只有在特殊的情形<ad+bc=0應=0下'兩者才會相等?3.z2=z2嗎？根據(jù)向量數(shù)量積運算的性質(zhì)，O2=|0Z|2，由此性質(zhì)能得到向量的模長公式.此性質(zhì)能否類比到復數(shù)的運算中，即公式z2=|z|2成立嗎？2010年浙江理科高考曾對此知識點進行了考查：例2(2010浙江?理5)對任意復數(shù)z=X+yi(x,yeR),i為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是(A)z-z=2y (B)z2=x2+y2(C)z-z>2x (D)|z|<|x|+|y|在筆者的教學中，有學生提出如下解答：設(shè)復數(shù)z=x+yi對應的向量為O，其中O為坐標原點，Z(x,y)，則z2=OZ2=OZ2=x2+y2，故選項B正確.有不少學生對此解法表示贊同，也有部分同學提出異議:這豈不意謂著z2=OZ2=|OZ|2=|z|2嗎？z2是一個可實可虛的復數(shù)，而OZ2、OZ|2與|z|2一定都是實數(shù)，如何就一定相等了……但上述解答又似乎無懈可擊……細一思索，問題就出在“z2=OZ2”上.復數(shù)與向量一一對應，如何就成等量代換了(同前文敘述的，不能認為“z1?z2=OZ-OZ^)?因而在一個錯誤的基礎(chǔ)上得到了一個錯誤的結(jié)論“z2=|z|2”!不難驗證，在復數(shù)運算中，有|zI2=z?z.4.z1?z2=|z1?z2嗎？一般地，在向量的數(shù)量積運算中，OZ?OZ2卜|Oz!?|OF|，除非兩向量乓與OZ^共線；而在復數(shù)的乘法運算中，式子|z?z|=|z|?|z|成立(證明過程略).運用該結(jié)論，可簡化相關(guān)問題的求解1r1 2過程．例3設(shè)復數(shù)z滿足|z|=1，求|z2+z+1|的最大值與最小值.解析：z?z=z2=1nz2+z+1=z2+z+z?z=z?(z+1+z)=z?z+1+z=z+1+z，設(shè)z=x+yi(x,yeR)，則由|z|2=x2+y2=1得，-1<x<1，故z2+z+1=z+1+z=|2x+1|， ， 1t ……一、'所以，當X=1時，Z2+z+1取最大值，為3；當X=—5時，Z2+z+1取最小值，為0.5.（z-z）-z=z-（z-z）嗎？1 2 3 1 2 3相比于實數(shù)的乘法，向量的數(shù)量積運算一個典型的不同在于數(shù)量積運算不遵循結(jié)合律，即一般情況下，（。彳?oz）0Z3豐oz、，（OZ2-0Z）.類比于向量的數(shù)量積運算，我們極可能認為復數(shù)的乘法運算同樣不遵循結(jié)合律，即認為（z，z）-z=z-（z-z）不能成立.而事實恰恰相反，設(shè)出復數(shù)的代數(shù)形12 3 1 23TOC\o"1-5"\h\z式代入，即可發(fā)現(xiàn)“（z-z）-z=z-（z-z）”是恒等式（讀者可加以驗證）.掌握了這點，在復數(shù)的12 3 1 23乘法運算中，可減少運算量.例4計算：（：+3i）G;3—"2+i）= .24解析：（；+3i）（拓-i）（百+i）=（；+3