課題學習 最短路徑問題 導學案(帶習題和答案)

13.4課題學習－最短路徑問題【學習目標】1．掌握利用軸對稱解決簡單的最短路徑問題。2．理解圖形的變化在解決最值問題中的作用，感悟轉化思想3．通過對這個實際問題的解決，體會數(shù)學的應用價值?！菊n前預習】平面直角坐標系xOy中，已知A(D1D0)QB(3D0)DC(0DD1)三點，D(lDm)是一個動點，當△ACD的周長最小時，則△ABD的面積為(A.B.A.B.3C.3D.ADB是直線1上的兩點，P是直線1上的任意一點，要使PA+PB的值最小，那么點P的位置應在()A.線段AB上B.線段AB的延長線上C.線段AB的反向延長線上D.直線1上x是數(shù)軸上任意一點表示的數(shù)，若|x-3|+|x+21的值最小，則x的取值范圍是()A.x>3BA.x>3B.x<-2C.-2<x<3D.-2VxV3下列四種說法：①線段AB是點A與點B下列四種說法：①線段AB是點A與點B之間的距離；②射線AB與射線BA表示同一條射線；③兩點確定一條直線;④兩點之間線段最短.其中正確的個數(shù)是()A.1個B.2個C.3個D.4個如圖，牧童在A處放牛，其家在B處，A、B到河岸的距離分別為AC和BD，且AC=BD,若點A到河岸CD的中點的距離為500米，則牧童從A處把牛牽到河邊飲水再回家，最短距戸.(\PaJZu\/A.750米B.1000米C.1500米D.2000米在等腰口ABC中,AB=AC□一腰上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為－A．7B．7或11C．11D為－A．7B．7或11C．11D．7或10如圖□點P是直線a外一點口PB丄a□點ADBDCQD都在直線a上□下列線段中最短的是（）A.PAB.PBC.PCD.PD8.如圖，在直角坐標系中，點A、B的坐標分別為（1,4）和（3,0）,點C是y軸上的一個動點，且A、B、C三點不在同一條直線上，當0ABC的周長最小時，點C的坐標是A.（0，0）B.（0，1）C.（0，2）D.（0，3）TOC\o"1-5"\h\z9.如圖，在口ABC中，□ACB=90。，以AC為底邊在DABC外作等腰口ACD，過點D作DADC的平分線分別交AB,AC于點E，F(xiàn).若AC=12,BC=5,DABC的周長為30，點P是直線DE上的一個動點，貝^PBC周長的最小值為（）A.15B.17C.18D.2010.如圖，等邊AABC的邊長為4DAD是邊BC上的中線，F(xiàn)是邊AD上的動點，E是邊AC上一點,若AE=2，則EF+CF取得最小值時，ZECF的度數(shù)為口口A.15°B.22.5°C.30°D.45°學習探究】自主學習閱讀課本，完成下列問題1．舉出常見的軸對稱圖形：(至少寫三個)。2．軸對稱圖形上任意一對對應點的連線被垂直平分。3．等腰三角形的“三線合一”是指，，互相重合。TOC\o"1-5"\h\z4．每個角都相等的三角形是。若P(a+1,2)與A(-2,b-1)關于x軸對稱，則a=,b=。等腰三角形底邊長7cm，底邊上的高為cm。在AABC中，ZA：ZB：ZC=1：2：3,若最大的邊是24cm，則最小的邊是cm。直角三角形、兩條平行線、直角、鈍角、垂直相交的兩條直線，這五種圖形中一定是軸對稱圖形的有個，其中不一定是軸對稱圖形。兩個全等的圖形軸對稱。(填“是”、“不是”、“不一定是”)線段垂直平分線上的點到的距離相等?；W探究探究一1.兩點在一條直線異側*已知：如圖，A,B在直線L的兩側，在L上求一點P,使得PA汁PBA最小。?LB思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢?2．到同側兩點距離和最短如圖所示，要在街道旁修建一個奶站P,向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站P應建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短。。BrAO思考：為什么這樣做就能得到最短距離呢？你如何驗證PA+PB最短呢?探究二3.造橋選址問題中的最短路徑問題如圖，A和B連地在一條河的兩岸，要在河上造一座橋MN,橋造在何處可使從A到B路徑AMNB最短?假定河的兩岸是平行的直線，橋要與河垂直）思考：怎樣將實際問題轉化為實際問題？若直線重合，最短路徑是什么？若將直線平移開，怎樣思考該問題?怎樣解決造橋選址問題？歸納總結：在解決最短路徑問題是，我們通常利用、等變化把已知問題轉化為容易解決的問題，從而作出最短路徑的選擇。4?已知點A.點B分別在直線L的兩側，在直線L上找一點、使這點到點A.點B的距離最短，這樣的點有（）A.唯——點B.兩點C.三點D.無數(shù)點探究三5?某班舉行晚會，桌子擺成兩直條（如圖中的AO,BO）,A0桌面上擺滿了桔子，OB桌面上擺滿了糖果，坐在C處的學生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到D處座位上，，請你幫助他設計一條行走路線，使其所走的總路程最短？aOC?D?B課堂小結（一）最短路徑問題。（1）求直線異側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要連接這兩點，與直線的交點即為所求。（2）求直線同側的兩點與直線上一點所連線段的和最小的問題，只要找到其中一個點關于這條直線的對稱點，連接對稱點與另一個點，則與該直線的交點即為所求。（二）運用軸對稱解決距離最短問題。運用軸對稱及兩點之間線段最短的性質，將所求線段之和轉化為一條線段的長，是解決距離之和最小問題的基本思路，不論題目如何變化，運用時要抓住直線同旁有兩點，這兩點到直線上某點的距離和最小這個核心，所有作法都相同。（三）利用平移確定最短路徑選址。解決連接河兩岸的兩個點的最短路徑問題時，可以通過平移河岸的方法使河的寬度變?yōu)榱悖D化為求直線異側的兩點到直線上一點所連線段的和最小的問題?！菊n后練習】1.已知兩點AO3D2）和BD1DD2）,點P在y軸上且使APDBP最短，則點P的坐標是（）TOC\o"1-5"\h\z1111A.口0口一一口B.口0口口C.口0口口1口D.口0口——口2642?在等腰口ABC中，AB=AC口一腰上的中線BD將這個三角形的周長分為15和12兩部分，則這個等腰三角形的底邊長為－－A.7B.7或11C.11D.7或10已知等腰三角形兩邊長分別為6cmU2cm，則這個三角形的周長是（）A.14cmB.10cmC.14cm或10cmD.12cm在平面直角坐標系中，點ADB的坐標分別為（2口0口口口4口0）,點C的坐標為（mDmDDm為非負數(shù)），則CADCB的最小值是（－A.6B.3、亓C.2、訐D.5已知，如圖，一牧童在A處牧馬，牧童家在B處，ADB兩處距河岸的距離ACDBD的長分別為700米，500米，且CD的距離為500米，天黑前牧童從A點將馬牽到河邊去飲水后，再趕回家，那么牧童最少要走（）米A．1100B．1200C．1300D．1400等于（）米周長最小為（）A.2^6B.6C.1V62等于（）米周長最小為（）A.2^6B.6C.1V62d.V69?如圖，ZAOB=30。，M，N分別是邊OA,OB上的定點，P，Q分別是邊OB,OA上的動點,"PM",ZOQN二卩，當MP+PQ+QN的值最小時，關于，卩的數(shù)量關系正確的是（A.p-a=60。b.卩+a二210。c.卩—2a=30。d.卩+2a=240。加油站A和商店B在馬路MN的同一側（如圖）,A到MN的距離大于B到MN的距離,ABD7米，一個行人P在馬路MN上行走，問：當P到A的距離與P到B的距離之差最大時，這個差A.8B.9C.6D.77?已知DAOB的大小為aDP是DAOB內部的一個定點，且OPD2,點EDF分別是OADOB上的動點，若DPEF周長的最小值等于2,則a□口口A.30°B.45°C.60°D.90°8如圖，DAOBD30。，內有一點P且OPDV6，若MDN為邊OADOB上兩動點，那么DPMN的10?如圖，在△ABC中，點DDE分別是邊ABDAC的中點，ZB=50°DZA=26°，將△ABC沿DE折疊,點A的對應點是點A'，則ZAEA'的度數(shù)是（）A.145°B.152°C.158°D.160°11?如圖，等邊△ABC的周長為18cm，BD為AC邊上的中線，動點P，Q分別在線段BC，BD上運動，連接CQ，PQ，當BP長為cm時，線段CQ+PQ的和為最小.12?如圖，P為ZAOB內一定點，M，N分別是射線OA,OB上的點，當PMN周長最小時,ZMPN=80。，則ZAOB=.

13.如圖，在ABC中，AB=3,AC=4,AB丄AC,EF垂直平分BC，點P為直線ef上一TOC\o"1-5"\h\z動點，則AABP周長的最小值是.△14.如圖，等邊△ABC的邊長為2,過點B的直線l丄AB且△ABC與厶AfBCf關于直線1對稱，D為線段BC'上一動點，則AD