《經(jīng)濟數(shù)學》413-5（雷安平）教案 第4課 函數(shù)的極限

第課函數(shù)的極限PAGE第課函數(shù)的極限PAGE84函數(shù)的極限第課PAGE9函數(shù)的極限第課PAGE94

課題函數(shù)的極限課時2課時（90min）教學目標知識技能目標：（1）掌握函數(shù)極限的直觀描述（2）掌握極限性質和運算法則（3）掌握兩個重要極限思政育人目標：通過學習函數(shù)的極限，幫助學生養(yǎng)成獨立思考和深度思考的良好習慣；樹立學生實事求是、一絲不茍的科學精神。教學重難點教學重點：掌握函數(shù)極限的直觀描述教學難點：極限的運算法則教學方法講授法、問答法、討論法、演示法、實踐法教學用具電腦、投影儀、多媒體課件、教材教學設計第1節(jié)課：課堂測驗（13min）第2節(jié)課：課堂測驗（15min）課堂小結（3min）教學過程主要教學內(nèi)容及步驟設計意圖第一節(jié)課考勤

（2min）【教師】使用文旌課堂APP進行簽到【學生】按照老師要求簽到培養(yǎng)學生的組織紀律性，掌握學生的出勤情況知識講解

（30min）【教師】講解函數(shù)極限的直觀描述，并通過例題加深學生對函數(shù)極限的理解定義2-1對于數(shù)列，若隨著無限增大，通項無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為數(shù)列的極限，或稱數(shù)列收斂于，記為．如果一個數(shù)列有極限，則稱這個數(shù)列是收斂的；否則稱這個數(shù)列是發(fā)散的．一、當時，函數(shù)的極限從研究具體例子入手，觀察分析函數(shù)．當無限增大時，無限接近于常數(shù)1，如圖2-1所示．圖2-1圖圖2-1定義2-2如果隨著自變量的無限增大，函數(shù)無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱常數(shù)為函數(shù)當時的極限，記為．由定義2-2可知，1為當時的極限，即．顯然，無限增大包括了兩種情況：一是且無限增大，記為；二是且無限增大，記為．下面給出當或時函數(shù)極限的定義．定義2-3如果當時，函數(shù)無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記為．定義2-4如果當時，函數(shù)無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記為．由定義2-3和定義2-4可知，．由定義2-2、定義2-3和定義2-4容易得出以下結論：．例1討論的極限．解因為，所以．例2求當時，函數(shù)的極限．解因為，所以不存在（雖然有極限，但不相等）．二、當時，函數(shù)的極限圖2-2考察函數(shù)．該函數(shù)在時無定義，而對x的其他實數(shù)值，函數(shù)均等于，如圖2-2所示．圖2-2當時，函數(shù)的值無限趨近于常數(shù)2，此時稱當時函數(shù)的極限為2．一般地，有如下定義．定義2-5設函數(shù)在x趨近于時，函數(shù)的函數(shù)值無限趨近于某個確定的常數(shù)，則稱為函數(shù)當時的極限，記為．三、無窮小量在實際問題中常會遇到極限為零的變量．例如，單擺離開鉛直位置而擺動，由于受空氣阻力和摩擦力的作用，它的振幅隨著時間的增加而逐漸減小并趨近于零．又如，電容器放電時，其電壓隨時間的增加而逐漸減小并趨近于零．定義2-6在自變量x的某一變化過程中，若函數(shù)的極限為0，即，則稱為在該變化過程中的無窮小量，簡稱無窮?。纾驗楫敃r，的極限為0，所以當時，函數(shù)為無窮?。灰驗楫敃r，的極限為0，所以當時，函數(shù)為無窮?。啥x還可以得到無窮小的如下性質:性質1有限個無窮小的代數(shù)和仍是無窮小．性質2有限個無窮小的乘積仍是無窮?。再|3常數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮?。再|4有界函數(shù)與無窮小的乘積仍是無窮小．例4求．解因為，所以是時的無窮?。怯薪绾瘮?shù)，由無窮小的性質4，有．四、無窮小的比較由無窮小的性質知道，兩個無窮小的和、差、積仍是無窮小，但兩個無窮小的商卻不一定是無窮小．例如，當時，x，2x，都是無窮小，但是，，．以上不同的結果，反映了無窮小在趨近于零的過程中速度有慢有快．我們給出如下定義．定義2-7設是在自變量同一變化過程中的無窮小，則（1）如果，則稱β是比α高階的無窮小，記作；（2）如果，則稱β是比α低階的無窮??；（3）如果（是不等于零也不等于1的常數(shù)），則稱β與α是同階無窮?。唬?）如果，則稱β與α是等價無窮小，記作．由定義知，當時，是比高階的無窮小，即，是比低階的無窮小，與是同階無窮小．例5當時，指出無窮小與之間的關系．解因為，所以，當時，與是同階無窮小．（五）無窮大量定義2-8在自變量的某一變化過程中，若函數(shù)值的絕對值無限增大，則稱為在該變化過程中的無窮大量，簡稱無窮大，記為．例如，當時，的絕對值無限增大，因此在這個變化過程中，是無窮大；當時，函數(shù)是無窮大；當時，是無窮大．【學生】掌握函數(shù)極限的直觀描述學習函數(shù)極限的直觀描述。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（13min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象第二節(jié)課知識講解

（25min）【教師】講解極限性質、運算法則和兩個重要極限，并通過例題加深學生對概念的理解一、極限的性質定理2-1（唯一性）如果函數(shù)在某一變化過程中有極限，則其極限唯一．定理2-2（有界性）若函數(shù)在時極限存在，則必存在的某一鄰域，使得在該鄰域內(nèi)有界．定理2-3（保號性）若在的左右近旁，恒有（或）且，則（或）．定理2-4（夾逼準則）如果對于某鄰域內(nèi)的一切（可除外），有，且，則．二、極限的運算法則定理2-5若，，則（1）；（2）；（3）．特別地，在（2）中，若，則有．若，則有，推廣可得．以上結論僅就時的兩個函數(shù)敘述．對于自變量的其他變化過程和多個函數(shù)的情形，類似結果仍然成立．三、兩個重要極限（一）列表考察當時的變化趨勢，如表2-2所示．表2-2運用此極限時，常形象地寫成（代表同一變量）實際上也有，也可以說．在使用重要極限來計算函數(shù)極限時，要注意其使用條件：（1）函數(shù)極限屬于“”型；（2）所求變量中帶有三角函數(shù)；（3）在極限表達式中，處要保持一致．例14求．解．本題的結論可作公式用．例15求．解．（二）這屬于型未定式．這個極限在技術、工程、生物以及商業(yè)領域被廣泛應用．表2-3為時的變化趨勢．表2-3觀察表2-3可知，當時，函數(shù)的對應值無限趨近于一個常數(shù)2.718281．可以證明，當時，函數(shù)的極限是存在的，通常用字母e表示這個極限值，即．e是個無理數(shù)，也是自然對數(shù)的底，．在上式中，令，則時，，于是，第二個重要極限有了另一形式：．用第二個重要極限來計算函數(shù)極限時，要注意其使用條件：（1）函數(shù)極限屬于“”型；（2）在極限的式子中，處應保持一致．例18求．解．例19求極限．解．【學生】極限性質、運算法則和兩個重要極限學習極限性質、運算法則和兩個重要極限。邊做邊講，及時鞏固練習，實現(xiàn)教學做一體化課堂測驗

（15min）【教師】教師在文旌課堂APP或其他學習平臺中發(fā)布測試的題目，并讓學生進行測試【學生】做測試題目【教師】公布題目正確答案，并演示解題步驟【學生】核對自己的答題情況，對比答題思路，鞏固答題技巧通過測試，了解學生對知識點的掌握情況，加深學生對本節(jié)課知識的印象課堂小結

（3min）【教師】簡要總結本節(jié)課的要點本節(jié)課上大家掌握了函數(shù)極限的直觀描述、極限性質和運算法則，及兩個重要極限，課后要多加練習，鞏固所學知識。【學生】總結回顧知識點總結知識點，鞏固印象作業(yè)布置（2min）【教師