遞推數(shù)列的解法

課題：一階線性遞歸數(shù)列的解法南雅中學(xué)劉德志例1a1=1，an1=2an1，則a64=。例2已知a1=3，an=an13，則a2005=。例3已知a1=－3，a2=3，且an2=an1-an，則a100=和s100=。知識(shí)再現(xiàn)習(xí)題:3-60099d=-3-3,3,6,3,-3,-6,-3,3,6,3,-3,-6,……1,3,7,15,31……反思一:對(duì)于一些由遞推關(guān)系給出的數(shù)列，可以通過(guò)先研究前n項(xiàng)的結(jié)構(gòu)與項(xiàng)數(shù)n的內(nèi)在聯(lián)系，用不完全歸納法對(duì)an作出猜想，然后，再想辦法給予證明，這個(gè)方法是求數(shù)列通項(xiàng)的一種基本方法。在解答選擇題和填空題時(shí),這種由特殊到一般大膽猜想的方法非常有效一算二看三聯(lián)想歸納猜測(cè)妙又快遞推公式:如果已知數(shù)列的第1項(xiàng)（或前幾項(xiàng)），且任一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)（或前幾項(xiàng)）間的關(guān)系可以用一個(gè)公式來(lái)表示,那么這個(gè)公式叫做遞推公式由遞推公式和初始條件確定的數(shù)列叫遞推數(shù)列或遞歸數(shù)列知識(shí)再現(xiàn)樹(shù)木的生長(zhǎng)，由于新生的枝條，往往需要一段“休息”時(shí)間，供自身生長(zhǎng)，而后才能萌發(fā)新枝。所以，一株樹(shù)苗在一段間隔（如下圖），例如一年，以后長(zhǎng)出一條新枝；第二年新枝“休息”，老枝依舊萌發(fā)；此后，老枝與“休息”過(guò)一年的枝同時(shí)萌發(fā)，當(dāng)年生的新枝則次年“休息”。這樣，一株樹(shù)木各個(gè)年份的枝椏數(shù)，便構(gòu)成斐波那契數(shù)列。這個(gè)規(guī)律，就是生物學(xué)上著名的“魯?shù)戮S格定律”。溫馨回憶:斐波那契是歐洲中世紀(jì)頗具影響的數(shù)學(xué)家，公元1170年生于意大利的比薩，早年曾就讀于阿爾及爾東部的小港布日，后來(lái)又以商人的身份游歷了埃及、希臘、敘利亞等地，掌握了當(dāng)時(shí)較為先進(jìn)的阿拉伯算術(shù)、代數(shù)和古希臘的數(shù)學(xué)成果，經(jīng)過(guò)整理研究和發(fā)展之后，把它們介紹到歐洲。

公元1202年，斐波那契的傳世之作《算法之術(shù)》出版。在這部名著中，斐波那契提出了以下饒有趣味的問(wèn)題：

了解一點(diǎn)數(shù)學(xué)史吧假定一對(duì)剛出生的小兔一個(gè)月后就能長(zhǎng)成大兔，再過(guò)一個(gè)月便能生下一對(duì)小兔，并且此后每個(gè)月都生一對(duì)小兔。一年內(nèi)沒(méi)有發(fā)生死亡。問(wèn)一對(duì)剛出生的兔子，一年內(nèi)能繁殖成多少對(duì)兔子？世界末日問(wèn)題:相傳在印度佛教圣地貝拿勒斯圣廟里,安放著一個(gè)黃銅板,板上插著三根寶石針,其中只有一根從下到上放著由大到小的64片金片稱(chēng)為梵塔,晝夜都有一個(gè)值班的僧侶按下列規(guī)則移動(dòng)金片:一次只能移動(dòng)一片,且小片永遠(yuǎn)在大片的上面當(dāng)64片金片都從一根移動(dòng)到另一根寶石針上時(shí),世界將在一聲霹靂中毀滅若按太陽(yáng)系的壽命約為200億年計(jì)算,問(wèn)是否真有”一聲霹靂聲”之時(shí)嗎設(shè)每秒移動(dòng)一次溫馨提示事實(shí)上,若設(shè)按規(guī)則把n片全部移到另一根寶石針上共需次即n秒鐘,因?yàn)闉榱艘苿?dòng)n片,必須先按規(guī)則把上面的n-1片移到第二根寶石針上,這需要次,再把最下面的大片移到第三根寶石針上,最后通過(guò)次把第二根寶石針上的n-1片移到第三根寶石針上,這樣就有關(guān)系式是例1a1=1，an1=2an1，則a64=。如果改成解答題呢1,3,7,15,31……解因?yàn)閱?wèn)題推廣:設(shè)數(shù)列{}滿(mǎn)足=A,=求形如上述的遞推公式所確定的數(shù)列稱(chēng)為一階線性遞推數(shù)列其中類(lèi)比猜想:關(guān)鍵是如何求常數(shù)待定系數(shù)法不動(dòng)點(diǎn)法千金難買(mǎi)回頭望,請(qǐng)大家回頭望一望待定系數(shù)法不動(dòng)點(diǎn)法方法鞏固練習(xí)反思二:對(duì)于一階線性遞推數(shù)列，可利用不動(dòng)點(diǎn)法或待定系數(shù)法對(duì)遞推公式進(jìn)行變形兩邊都減去同一個(gè)常數(shù)，從中構(gòu)造出一個(gè)新