棱柱棱錐棱臺的表面積體積課件高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版

高一數(shù)學(xué)人教版A版必修二第八章8.3.1棱柱、棱錐、棱臺的表面積和體積

前面我們學(xué)習(xí)了棱柱、棱錐、棱臺的有關(guān)概念，大家還記得它們的結(jié)構(gòu)特征嗎？

本節(jié)課研究如何求多面體的表面積和體積.復(fù)習(xí)引入

多面體的表面積就是圍成多面體各個面的面積的和．棱柱、棱錐、棱臺的表面積就是圍成它們的各個面的面積的和，也就是展開圖的面積.一.棱柱、棱錐、棱臺的表面積

幾何體表面積

空間問題

一.棱柱、棱錐、棱臺的表面積

展開圖平面圖形面積平面問題

例1

如圖已知棱長為a，各面均為等邊三角形的四面體P-ABC，求它的表面積．BCAP解:因?yàn)椤鱌BC是正三角形，其邊長為a，

所以

因此，四面體P-ABC的表面積例2

四棱臺的上、下底面均是正四邊形，邊長分別是6cm和10cm，側(cè)面是全等的等腰梯形高是12cm，求它的表面積？注：求解正棱臺的表面積時(shí)，注意棱臺的五個基本量(上、下底面邊長、高、斜高、側(cè)棱).解：如圖所示，正四棱臺A1B1C1D1-ABCD中A1B1＝6cm，AB＝10cm，

取A1B1的中點(diǎn)E1，AB的中點(diǎn)E，則E1E為斜高.

1.棱柱的體積

特殊的棱柱——正方體、長方體的體積公式，分別是：

Ｖ正方體＝a3（a是正方體的棱長）

Ｖ長方體＝abc（a，b，c分別是長方體的長、寬、高）二.棱柱、棱錐、棱臺的體積

棱柱的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足（垂線與底面的交點(diǎn)）之間的距離.

一般地，如果棱柱的底面面積為S，高為h，那么這個棱柱的體積

特別的，直棱柱的側(cè)棱垂直于底面，故側(cè)棱長即為直棱柱的高.1.棱柱的體積思考：取一摞書放在桌面上（如圖），并改變它們的放置方法，觀察改變前后的體積是否發(fā)生變化？形狀由長方體推移成斜四棱柱，體積不變.閱讀教材P121-122祖暅原理探究：棱錐與同底等高的棱柱的體積有何關(guān)系？

如果一個棱柱和一個棱錐的底面積相等，高也相等，那么，棱柱的體積是棱錐的體積的3倍．棱錐的高是指從頂點(diǎn)向底面作垂線，頂點(diǎn)與垂足之間的距離.

因此，一般地，如果棱錐的底面面積為S，高為h，那么這個棱錐的體積2.棱錐的體積

棱臺的高是指兩底面之間的距離，即從上底面上任意一點(diǎn)向下底面作垂線，這點(diǎn)與垂足之間的距離.

由于棱臺是由棱錐截成的，因此可以利用兩個棱錐的體積差，得到棱臺的體積公式

其中S′，S分別為棱臺的上、下底面面積，h為棱臺的高.

3.棱臺的體積(S′,S,h分別是棱臺的上下底面積和高)ADBCA′B′C′D′OO′P棱臺體積公式的證明

思考：

棱柱、棱錐、棱臺的體積公式之間有什么關(guān)系？你能用棱柱、棱錐、棱臺的結(jié)構(gòu)特征來解釋這種關(guān)系嗎？例3

如圖，一個漏斗的上面部分是一個長方體，下面部分是一個四棱錐，兩部分的高都是1.5m，公共面ABCD是邊長為2m的正方形，那么這個漏斗的容積是多少立方米？解:例4某廣場設(shè)置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個一樣的四面體得到的.如果被截正方體的棱長是50cm，那么石凳的體積是多少？解：如圖示，由題意知正方體的棱長為，則有BCA'B'C'D'ADEFG∴這個石凳的體積為例5

四棱臺的上、下底面均是正四邊形，邊長分別是10cm和20cm，側(cè)面面積為780cm2，求它的體積？總結(jié)：

求解正棱臺的表面積和體積時(shí)，注意棱臺的五個基本量(上、下底面邊長、高、斜高、側(cè)棱).常用兩種解題思路：一是把基本量轉(zhuǎn)化到直角梯形中解決問題；二是把正棱臺還原成正棱錐.利用正棱錐的有關(guān)知識來解決問題.例5

四棱臺的上、下底面均是正四邊形，邊長分別是10cm和20cm，側(cè)面面積為780cm2，求它的體積？注：三棱錐的頂點(diǎn)和底面可以根據(jù)需要變換，四面體的每一個面都可以作為底面，只需選用底面積和高都易求的形式即可——等體積法例6

如圖,已知ABCD－A1B1C1D1是棱長為a的正方體,E為AA1的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC1上一點(diǎn),求三棱錐A1－D1EF的體積.1.多面體的表面積和體積小結(jié)2.求體積的方法：①公式法：直接代入公式求解．②割補(bǔ)法：將幾何體分割或補(bǔ)形成易求解的幾