工程圖學(xué)第2章點(diǎn)、直線和平面的投影

第2章點(diǎn)、直線和平面的投影2.1投影法概述2.2點(diǎn)的投影2.3直線的投影2.4平面的投影2.5直線與平面及兩平面的相對(duì)位置2.1投影法概述

2.1.1中心投影法

2.1.2平行投影法

2.1.3正投影法的主要投影特性

2.1.4工程上常用的投影圖投影法的概念投影面Pa

投影投射線bS

投射中心A

空間點(diǎn)B將光線通過物體向選定的平面投射，并在該平面上得到物體影子的方法稱為投影法。重放投影法的分類

1.中心投影法

投射線匯交于一點(diǎn)。

投射中心、物體、投影面三者之間的相對(duì)距離對(duì)投影的大小有影響。度量性較差

2.平行投影法

投射線互相平行。

投影大小與物體和投影面之間的距離無關(guān)。度量性較好

（1）斜投影

投射線與投影面傾斜的平行投影。

（2）正投影

投射線與投影面垂直的平行投影。中心投影法中心投影法

:

投射線匯交一點(diǎn)的投影法投射中心投射線平面圖形投影面投影重放2.1.2平行投影法平行投影法:

投射線相互平行的投影法（投射中心位于無限遠(yuǎn)處）平行投影法斜投影法正投影法

工程圖樣（零件圖和裝配圖）多面投影圖

單面投影圖

—

單面投影圖

輔助圖樣（正等軸測(cè)圖）

輔助圖樣

（斜二軸測(cè)圖）平行投影法正投影法斜投影法正投影法：投射線與投影面相垂直的平行投影法。斜投影法：投射線與投影面相傾斜的平行投影法。重放2.1.3正投影法的主要投影特性

1.

實(shí)形性

當(dāng)線段或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映實(shí)長或?qū)嵭巍?/p>

2.

積聚性

當(dāng)線段或平面垂直于投影面時(shí)，其投影積聚為點(diǎn)或線段。

3.

類似性

當(dāng)線段或平面傾斜于投影面時(shí)，其投影變短或變小。上一頁下一頁返回目錄實(shí)形性CDEBAPabedc當(dāng)線段或平面平行于投影面時(shí)，其投影反映實(shí)長或?qū)嵭巍Ｖ胤欧e聚性edca（b）CDEBAP當(dāng)線段或平面垂直于投影面時(shí)，其投影積聚為點(diǎn)或線段。重放類似性CDEedcBAabP當(dāng)線段或平面傾斜于投影面時(shí)，其投影變短或變小。重放2.1.4工程上常用的投影圖1.正投影圖（多面）2.軸測(cè)圖（單面）

3.透視圖（單面）4.標(biāo)高投影圖（單面）2.2點(diǎn)的投影

2.2.1點(diǎn)在三投影面體系中的投影

2.2.2

兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系

2.2.1點(diǎn)在三投影面體系中的投影

1.三投影面體系的建立

2.點(diǎn)的投影

3.點(diǎn)的投影規(guī)律

4.點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系

5.特殊位置點(diǎn)的投影

6.點(diǎn)在其他分角中的投影

點(diǎn)的兩個(gè)投影能唯一確定該點(diǎn)的空間位置HVOXa

aA1.三投影面體系的建立HVXOZYW三投影面體系由V、H、W三個(gè)投影面構(gòu)成。H、V、W面將空間分成八個(gè)分角，處在前、上、左側(cè)的那個(gè)分角稱為第一分角。我們通常把物體放在第一分角中來研究。2.點(diǎn)的投影HVXZYWOA點(diǎn)的三面投影圖是將空間點(diǎn)向三個(gè)投影面作正投影后，將三個(gè)投影面展開在同一個(gè)面后得到的。展開時(shí)，規(guī)定V面不動(dòng)，H面向下旋轉(zhuǎn)90

，W面向右旋轉(zhuǎn)90

。aa

a

Ha

a

VWXOZYWYHaa

a

XOZYWYHa3.點(diǎn)的投影規(guī)律HVXZYWOayaxazxyza

aa

Ha

aa

VWXOZYWYHaxayazay點(diǎn)的V面投影與H面投影之間的連線垂直O(jiān)X軸，a'a⊥OX

；點(diǎn)的V面投影與W面投影之間的連線垂直O(jiān)Z軸，a'a″

OZ；點(diǎn)的H面投影到OX軸的距離及點(diǎn)的W面投影到OZ

軸的距離兩者相等，反映點(diǎn)到V面的距離。長對(duì)正高平齊寬相等A例1已知點(diǎn)A的正面與側(cè)面投影，求點(diǎn)A的水平投影。ZYHXYWOa

a

aHaa

VWXOZYWYHaxayazay4.點(diǎn)的投影與直角坐標(biāo)的關(guān)系點(diǎn)的投影就反映了點(diǎn)的坐標(biāo)值，其投影與坐標(biāo)值之間存在著對(duì)應(yīng)關(guān)系。yAxAzAHVXZYWOAayaxazxyza

aa

a

yA

已知點(diǎn)B的坐標(biāo)為（25,20,30)，求作點(diǎn)B的三面投影。XYWYHZO（1）在OX軸上截取坐標(biāo)長度25，過截點(diǎn)作垂直線。（2）在OZ軸上截取坐標(biāo)長度30，過截點(diǎn)作水平線，作出投影b′。（3）在OY軸上截取坐標(biāo)長度20，作出投影b、b″。b′b″b302520重放a

aa

XOZYWaxayayb

c

cbb

c

特殊位置點(diǎn)的投影投影面上的點(diǎn)

一個(gè)投影與投影面重合，另兩個(gè)投影投影軸上。投影軸上的點(diǎn)

兩個(gè)投影與投影軸重合，另一個(gè)投影在原點(diǎn)上。與原點(diǎn)重合的點(diǎn)

點(diǎn)的三個(gè)坐標(biāo)為零，三個(gè)投影都與原點(diǎn)重合。HVXZYWAaa

a

Bb

Cc

cc

Ob

重放6.點(diǎn)在其他分角中的投影投影特點(diǎn)：

(1)第二分角中的B點(diǎn),其V面投影b′和H面投影b都在X軸上方。

(2)第三分角中的C點(diǎn),其V面投影c′在X軸下方,H面投影c在X軸的上方。

(3)第四分角中的D點(diǎn),其V面投影d′和H面投影d都在X軸下方。2.2.2

兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系兩點(diǎn)相對(duì)位置的確定

2.重影點(diǎn)

XOZY兩點(diǎn)相對(duì)位置的確定a

a

ab

b

bBA

兩點(diǎn)的相對(duì)位置是根據(jù)兩點(diǎn)相對(duì)于投影面的距離遠(yuǎn)近（或坐標(biāo)大?。﹣泶_定的。X坐標(biāo)值大的點(diǎn)在左；Y坐標(biāo)值大的點(diǎn)在前；Z坐標(biāo)值大的點(diǎn)在上。XZYWYHOa

a

ab

bb

重放2.重影點(diǎn)Dc

(d

)a(b)a

b

AB若兩點(diǎn)位于同一條垂直某投影面的投射線上，則這兩點(diǎn)在該投影面上的投影重合，這兩點(diǎn)稱為該投影面的重影點(diǎn)。cdCOX重影點(diǎn)可見性判別XYHZYWOc

(d

)b

a(b)a

cda

b

c

d

判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)表示。例3已知A點(diǎn)在B點(diǎn)的右10毫米、前6毫米、上12毫米，求A點(diǎn)的投影。a

a

aXZYWYHOb

bb

121062.3直線的投影2.3.2直線對(duì)投影面的相對(duì)位置及投影特性2.3.3直線上的點(diǎn)

2.3.1直線的三面投影圖2.3.4一般位置線段的實(shí)長及對(duì)投影面的傾角

2.3.5兩直線的相對(duì)位置

2.3.6垂直兩直線的投影（直角投影定理）

OXZY直線的三面投影圖ABbb

a

b

aa

ZXOYHYW空間任何一直線可由直線上任意兩點(diǎn)所確定，直線在某一投影面的投影可由該直線上某兩點(diǎn)的同面投影所確定。a

a

ab

bb

重放2.3.2直線對(duì)投影面的相對(duì)位置及投影特性1.一般位置直線

2.投影面平行線

平行于一個(gè)投影面，與其它兩個(gè)投影面傾斜的直線。

正平線:

∥V，對(duì)H、W面傾斜

水平線:

∥H，對(duì)V、W傾斜

側(cè)平線:

∥W．對(duì)H、V傾斜3.投影面垂直線

垂直于一個(gè)投影面，與其它兩個(gè)投影面平行的直線。

鉛垂線：⊥H面，∥V，∥W

正垂線：⊥V面，∥H，∥W

側(cè)垂線：⊥W面，∥H，∥V

與三投影面既不平行也不垂直，而是傾斜的直線。統(tǒng)稱特殊位置直線XZYO1.投影面平行線的投影特性

Xa

b

a

b

baOZYHYWAB

投影特性：

1.ab

OX;a

b

OZ2.a

b

=AB3.反映

、

角的真實(shí)大小aa

b

a

b

b水平線XZYOaa

b

a

bb

a

b

a

b

ba

AB投影特性：1、a

b

OX;a

b

OYW2、ab=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小XOYHYWZXZYO側(cè)平線XZOYHYWa

b

bab

a

AB投影特性：

1、a

b

OZ;ab

OYH2、a

b

=AB3、反映

、

角的真實(shí)大小aa

b

a

b

b投影面平行線的投影特性1.直線在所平行的投影面上的投影,反映其實(shí)長和與其它兩個(gè)投影面的傾角（具有實(shí)形性）。2.直線在其它兩個(gè)投影面上的投影分別平行直線所平行投影面包含的兩個(gè)投影軸,且小于實(shí)長。

正平線

水平線

側(cè)平線2.投影面垂直線的投影特性O(shè)XZY投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)2、ab

OX;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABABzX(a

)b

b

aOYHYWa

bb(a

)b

a

b

aOXZYZb

Xa

b

a(b)OYHYWa

投影特性：1、ab

積聚成一點(diǎn)2、a

b

OX;a

b

OY

3、a

b

=a

b

=AB鉛垂線—

垂直于水平投影面的直線ABb

a(b)a

a

b

側(cè)垂線

—

垂直于側(cè)面投影面的直線OXZYAB投影特性：1、a

b

積聚成一點(diǎn)2、

ab

OYH;a

b

OZ

3、ab=a

b

=ABba

a(b)ab

ZXa

(b

)b

aOYHYWa

b投影面垂直線的投影特性

正垂線鉛垂線側(cè)垂線1.直線在所垂直的投影面上的投影積聚成一點(diǎn)（具有積聚性）。2.直線在其它兩個(gè)投影面上的投影分別垂直于所垂直投影面包含的兩個(gè)投影軸,且反映其實(shí)長。

OXZY3.一般位置直線投影特性ABbb

a

b

aa

ZXa

b

aOYHYWa

bb

投影特性：1.ab、a

b

、a

b

均小于實(shí)長

2.ab、a

b

、a

b

均傾斜于投影軸

3.不反映

、

、

實(shí)角直線上的點(diǎn)具有兩個(gè)特性：

1.從屬性若點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的各個(gè)投影必在直線的各同面投影上。利用這一特性可以在直線上找點(diǎn)，或判斷已知點(diǎn)是否在直線上。

2.定比性屬于線段上的點(diǎn)分割線段之比等于其投影之比。即AC:

CB=ac:

cb=a

c

:

c

b

=a

c

:

c

b

直線上的點(diǎn)Cc重放b

Xa

abcc

例4已知線段AB的投影圖，試將AB分成1：2兩段，求分點(diǎn)C的投影。Oka

b

ba已知點(diǎn)K在線段AB上，求點(diǎn)K的正面投影。aa

b

ba

b

k

kk

k

利用第三投影利用定比性重放2.3.4一般位置線段的實(shí)長及對(duì)投影面的傾角ABbb

aa

CXO

|zA-zB|過A作AC∥ab得直角三角形ABC，其中AC=ab，BC=Bb-Aa=zB-zA，斜邊AB即為實(shí)長，AB與AC的夾角即為AB對(duì)H面的傾角α，這種方法稱為直角三角形法。

ABXa

ab

bO作圖要領(lǐng)用線段在某一投影面上的投影長作為一條直角邊，再以線段的兩端點(diǎn)相對(duì)于該投影面的坐標(biāo)差作為另一條直角邊，所作直角三角形的斜邊即為線段的實(shí)長，斜邊與投影長間的夾角即為線段與該投影面的夾角。ABbb

aa

XO

ABXa

ab

bOYWZYH

a"b"ZY直角三角形的四個(gè)要素四個(gè)要素包括：實(shí)長、投影長、坐標(biāo)差及直線對(duì)投影面的傾角。已知四要素中的任意兩個(gè)，便可確定另外兩個(gè)。

ABab|zA-zB|斜邊直角邊（投影）直角邊（坐標(biāo)差）夾角（投影與斜邊）實(shí)長水平投影△Zα正面投影△Yβ側(cè)面投影△Xγ例6已知線段的實(shí)長AB以及ab和a'，求線段的正面投影a'b'。aXa

bAOBb0Ab0Ab0b'b'若空間兩直線互相平行，其各組同面投影必平行。反之，若兩直線的各組同面投影都互相平行，則空間兩直線必平行。1.平行兩直線Xb

a

abdc

d

cXb

aa

d

bbcc

ABCD2.3.5兩直線的相對(duì)位置例7判斷圖中兩條直線是否平行。對(duì)于一般位置直線，只要有兩組同名投影互相平行，空間兩直線就平行。AB與CD平行。FE與GH不平行。對(duì)于特殊位置直線，只有兩組同名投影互相平行，空間直線不一定平行。a

b

c

d

ehgff

h

g

e

②h

f

e

g

①abcdc

a

b

d

2.相交兩直線兩相交直線在同一投影面上的投影仍相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律。反之，若兩直線在同一投影面上的投影相交，且交點(diǎn)符合點(diǎn)的投影規(guī)律，則該兩直線相交。OXBDACKbb

aa

c

cdd

k

kOb

Xa

abk

c

d

dck3.交叉兩直線凡不滿足平行和相交條件的直線為交叉兩直線。XOBDACbb

aa

c

cdd

211

(2

)21b

Xa

abc

d

dc11

(2

)2Od

a

c

b

oYWYHZXa

ac

d

dcbb

例8判斷兩直線的相對(duì)位置b

bc

d

dcXa

a3

(4

)341

2

2(1)例9判斷兩直線重影點(diǎn)的可見性O(shè)判斷重影點(diǎn)的可見性時(shí)，需要看重影點(diǎn)在另一投影面上的投影，坐標(biāo)值大的點(diǎn)投影可見，反之不可見，不可見點(diǎn)的投影加括號(hào)2.3.6垂直兩直線的投影（直角投影定理）AHBCacbcXb

a

c

ba互相垂直（相交或交叉）的兩直線其中一條為投影面平行線時(shí)，則兩直線在投影面上的投影必定互相垂直。反之，若兩直線在某一投影面上的投影成直角，且其中一條直線平行于該投影面時(shí)，則空間兩直線一定垂直。O1.垂直相交的兩直線的投影BHACbcacＯXa

b

c

ab已知：AB∥H面，AB⊥BC，求證：∠abc=90°證明：∵AB∥H面∴AB⊥Bb

又∵AB⊥BC∴AB⊥平面BbcC

又∵AB∥ab∴ab⊥平面BbcC∴ab⊥bc，即:∠abc=∠ABC=90°

2.交叉垂直的兩直線的投影BHACcbaMNnmXb

a

bamnn

m

AB

AC,且AB∥H面,則有ab

acbb

a

aOfe

ef

X例10過點(diǎn)A作EF線段的垂線AB。例11求點(diǎn)E到水平線AB的距離。XOa’b’abe’ed’dyD-yE所求距離例12作三角形ABC，

ABC為直角，使BC在MN上，且BC

AB=2

3。b

bcABa

b

|yA-yB|b

c

=BCnm

a

aXmn

Oc

2.4平面的投影2.4.1平面的表示法2.4.2平面對(duì)投影面的相對(duì)位置及投影特性2.4.3平面上的點(diǎn)和直線2.4.1平面的表示法用幾何元素表示平面a

ab

c

bcb

a

ac

bcb

a

ac

bca

ab

c

bca

b

c

abcd

d（1）不在一直線上的三個(gè)點(diǎn)；（2）一直線和直線外一點(diǎn)；（3）相交兩直線；（4）平行兩直線；（5）任意平面圖形。2.4.2平面對(duì)投影面的相對(duì)位置及投影特性投影面垂直面投影面平行面一般位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜正垂面?zhèn)却姑驺U垂面正平面?zhèn)绕矫嫠矫?.投影面垂直面c

c

為什么？是什么位置的平面？abca

b

b

a

類似性類似性積聚性鉛垂面γβ投影面垂直面投影特性正垂面鉛垂面?zhèn)却姑嫫矫嬖谒怪钡耐队懊嫔系耐队胺e聚成傾斜于投影軸的直線并反映該平面對(duì)其它兩個(gè)投影面的傾角。平面的其它兩個(gè)投影都是小于原圖形的類似形。2.投影面平行面投影特性：（1）abc、a

b

c

積聚為直線（具有積聚性）。（2）正平面投影a

b

c

反映

ABC實(shí)形（具有實(shí)形性）。c

a

b

b

a

c

bcaVWHb

a

c

a

b

c

bcaCBA投影面平行面投影特性正平面水平面?zhèn)绕矫?.在所平行的投影面上，平面的投影反映實(shí)形。2.在其它兩個(gè)投影面上，平面的投影積聚成直線并平行于該平面所平行投影面包含的兩個(gè)投影軸。3.一般位置平面投影特性：（1）abc

、a

b

c

、a

b

c

均為

ABC的類似形。（2）不直接反映

、

、

。a

b

b

a

c

c

baca

b

c

baca

b

CAB例13正垂面ABC與H面的夾角為45°，已知其水平投影及頂點(diǎn)B的正面投影，求△ABC的正面投影及側(cè)面投影。a

c

b

c

a

●abcb

思考：此題有幾個(gè)解？45°1.點(diǎn)和直線在平面上的幾何條件（1）點(diǎn)在平面上的幾何條件：點(diǎn)在平面內(nèi)的某一直線上。（2）直線在平面上的幾何條件：①通過平面上的兩點(diǎn)；②通過平面上的一點(diǎn)且平行于平面上的一條直線。2.4.3平面上的點(diǎn)和直線MNABMABCNM例14已知平面由直線AB、AC所確定，在平面內(nèi)任作一條直線。abcb

c

a

d

d解法一解法二有多少解？有無數(shù)解！n

●m

●n●m●abcb

c

a

例15已知平面

ABC，（1）判斷點(diǎn)K是否在平面

ABC

上。（2）已知該平面上一點(diǎn)E的正面投影e′作出水平投影。k

ka

b

c

abcdd

e

e11

XO例16已知AC為正平線，補(bǔ)全平行四邊形ABCD的水平投影。bckada

d

b

c

ada

d

b

c

k

bc解法一解法二2.平面上的投影面平行線VHPPVPH平面上投影面平行線—既在平面上又平行于投影面的直線。在一個(gè)平面上對(duì)V、H、W投影面分別有三組投影面平行線。平面上的投影面平行線既具有投影面平行線的投影性質(zhì)，又與所屬平面保持從屬關(guān)系。水平線正平線XO例17已知點(diǎn)E

在

ABC平面上，且點(diǎn)E距離H面15，距離V面10，試求點(diǎn)E的投影。Xa

b

c

bacmnm

n

rsr

s

1015e

eO2.5直線與平面、平面與平面的相對(duì)位置下一頁返回目錄2.5.1平行問題2.5.2相交問題2.5.3垂直問題2.5.3綜合舉例2.5.1平行問題若一直線平行于平面上的一直線，則該直線與平面平行。反之，若平面上不存在與此直線平行的直線，則可斷定直線與平面不平行。PBDCA1.直線與平面平行例1過點(diǎn)作水平線平行于平面△ABCm

d

mdkk

b

a

abc

cXO

分析：△ABC上的水平線有無數(shù)條，但其方向是確定的，因此過K點(diǎn)作平行于△ABC的水平線也是唯一的。作圖步驟先在△ABC內(nèi)任作水平線AD；再過點(diǎn)K作KM∥AD即km∥ad，k

m

∥a

d′，則直線KM為一水平線且平行于已知平面△ABC。2.平面與平面平行若一平面上的兩相交直線對(duì)應(yīng)地平行于另一平面上的兩相交直線，則這兩個(gè)平面平行。ACBDFEPQf

e

d

edfc

a

acb

bm

n

mnr

rss

結(jié)論：兩平面平行XO例2試判斷兩平面是否平行。例3已知平面由平行兩直線AB和CD給定。試過點(diǎn)K作一平面平行于已知平面。em

n

mnf

e

fsr

s

rd

dc

a

acb

bk

kXO2.5.2相交問題

直線與平面、平面與平面不平行則必相交。直線與平面相交有交點(diǎn)，交點(diǎn)既在直線上又在平面上，因而交點(diǎn)是直線與平面的共有點(diǎn)。兩平面的交線是直線，它是兩個(gè)平面的共有線。求線與面交點(diǎn)、面與面交線的實(shí)質(zhì)是求共有點(diǎn)、共有線的投影。PABKDBCALKEF作圖方法—積聚性法當(dāng)直線或平面的投影具有積聚性時(shí)，可利用積聚性的特性直接做出交點(diǎn)或交線的一個(gè)投影，然后再利用在直線或平面上取點(diǎn)的方法求出另一投影。VHPHPACacNMkbBK1.投影面傾斜線與特殊位置平面相交b

ba

acc

m

mnn

k

kXOVHPHPACacNMkbBK當(dāng)直線為一般位置，平面的某個(gè)投影具有積聚性時(shí)，交點(diǎn)的一個(gè)投影為直線與平面積聚性投影的交點(diǎn)，另一個(gè)投影可在直線的另一個(gè)投影上找到。直線可見性的判別b

ba

acc

m

mn

kk

n

特殊位置線面相交，根據(jù)平面的積聚性投影，能夠直接判別直線的可見性----觀察法，由水平投影可知KM段在平面前，故正面投影上k

m

為可見。XOVHPHPACacNMkbBK2.投影面垂直線與投影面傾斜面相交XOaa(b)b

c

d

cefdf

kk

分析：直線AB是鉛垂線，H投影有積聚性，故交點(diǎn)的H投影k必和a（b）重合。又因交點(diǎn)K是△CDE上的點(diǎn)，因此可用求面上取點(diǎn)的方法，求出K點(diǎn)的V面投影k′。e

可見性判別----重影點(diǎn)法點(diǎn)Ⅰ位于AB上在前。點(diǎn)Ⅱ位于平面上在后；故k

1

為可見。1

（2

）213.投影面傾斜面與特殊位置平面相交求兩平面交線的問題可以看作是求兩個(gè)共有點(diǎn)的問題,由于特殊位置平面的某些投影有積聚性，交線可直接求出。VHEdXOefclaLBkKCFDAb

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