李尚志教授數學大觀課件3

數學大觀3

凌波微步微積分

李尚志北京航空航天大學

數學大觀3李尚志一元微積分物理：以勻速代替非勻速幾何：以直代曲（只能看不能算）代數：以線性代替非線性例.自由落體x=4.9t2.求t秒末的速度.解：x(t+Dt)=4.9(t+Dt)2=4.9t2+9.8t(Dt)+4.9(Dt)2線性化：

x(t+Dt)≈4.9t2+9.8t(Dt)誤差4.9(Dt)2:

Dt的無窮小倍=o(Dt).速度vt=一次項系數9.8=導數一元微積分物理：以勻速代替非勻速幾何:以直代曲拋物線x=4.9(t+Dt)2

在點(t,4.9t2)附近被切線x=4.9t2+9.8Dt

近似代替速度v1=切線斜率此幾何意義與x,t的物理意義無關可以推廣到別的函數y=f(x)DtDxtx幾何:以直代曲拋物線x=4.9(t+Dt)2在微分與導數函數y=f(x)在x=a附近線性化。

函數增量Dy=f(x)-f(a),自變量增量Dx=x-a

Dy

≈kDx，誤差:Dy–kDx=o(Dx)

微分:

dy=kDx導數:=k,記為f’(a)=變化率=切線斜率.

一次函數代替f(x):y=f(x)≈f(a)+f’(a)DxxDxDyy微分與導數函數y=f(x)在x=a附近線假作真時貌似真極限：

f(x)A即:f(x)=A+q,q無窮小(0).

若f(x)A,g(x)B

f(x)g(x)=(A+q1)(B+q2)=AB+q1B+Aq2+q1q2AB無窮小的代數性質

(同濟.用e-d語言證明.)可以將q1,q2看成0，略去不寫寫f(x)≡A,g(x)≡B,像等式一樣加、減、乘得到f(x)±g(x)≡A±B,f(x)g(x)≡AB即f(x)±g(x)A±B,f(x)g(x)AB.被忽略的元素集合={無窮小}=O(Dx)微分：Dy≡dy（modo(Dx))f(x)≡f(a)+f’(a)Dx（modo(Dx))假作真時貌似真極限：f(x)A即:f(x)=A+多項式的導數.多項式f(x)=anxn+…+a1x+a0

的導數:差分Df(x)=f(x+t)–f(x)=(nanxn-1+…+a1)t+(…)t2

是t的多項式,其中t的一次項系數即f’(x)

=nanxn-1+…+a1多項式的導數.

和差積商的導數公式f(x)

≡

f(a)+f’(a)Dxg(x)≡

g(a)+g’(a)Dx兩式相加減

和差的導數相乘

乘積的導數f(x)g(x)≡f(a)g(a)+(f(a)g’(a)+g(a)f’(a))Dx倒數的導數:和差積商的導數公式f(x)≡f(a)+f’(a)微積分基本概念（二）

----定積分

速度v(t)

路程s(t)

路程=速度*時間

速度變化怎么辦?

分段計算:Dsi=v(ti)*Dti

各段相加：s=SiDsi,Dti0微積分基本概念（二）

----定積分速度微積分基本概念（三）

----微積分基本定理

飛檐走壁之電影實現

s(t)=kt2

v(t)=2kt

v(t)=2kts(t)=?a=av=v0+ats=v0t+?at2微積分基本概念（三）

----微積分基本定理2023/9/28

球面鏡的反射2023/8/6球面鏡的反射2023/9/28球面鏡的反射

正確的聚光鏡

形狀2023/8/6球面鏡的反射正確的聚光鏡

2023/9/282023/8/6

的計算

想一想：怎樣算

？當一回祖沖之！的計算2023/9/28

圓的面積2023/8/6圓的面積無窮級數法

arctanx=x-x3/3+x5/5-x7/7+x9/9-.../4=arctan1=1-1/3+1/5-1/7+1/9-…

收斂太慢！

|x|應當比1小很多，級數收斂才快。

/4=arctan1/2+arctan1/3/4=4arctan1/5-arctan1/239無窮級數法arctanx=x-x3/3+x5/52023/9/28

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