2023-2024學年人教A版選擇性必修第一冊 3-3-1　拋物線及其標準方程 課件（43張）

3.3拋物線3.3.1拋物線及其標準方程課程標準素養(yǎng)目標1.經(jīng)歷從具體情境中抽象出拋物線模型的過程.2.掌握拋物線的定義、幾何圖形和標準方程.1.理解拋物線的定義及焦點、準線的概念(數(shù)學抽象).2.掌握拋物線的標準方程及其推導過程(數(shù)學抽象).3.明確拋物線標準方程中參數(shù)p的幾何意義,并能解決簡單的求拋物線標準方程的問題(數(shù)學運算).課前自主學習主題1

拋物線的定義1.如圖,我們在黑板上畫一條直線EF,然后取一個三角板,將一條拉鏈AB固定在三角板的一條直角邊上,并將拉鏈下邊一半的一端固定在C點,將三角板的另一條直角邊貼在直線EF上,在拉鎖D處放置一支粉筆,上下拖動三角板,粉筆會畫出什么圖形?提示:會得到一條拋物線.2.通過作圖探究你發(fā)現(xiàn)了拋物線的哪些結論?用文字語言描述:___________________________________________.用符號語言描述:__________.結論:拋物線的定義平面內(nèi)與一個定點F和一條定直線l(l不經(jīng)過點F)__________的點的軌跡叫做拋物線._____叫做拋物線的焦點,______叫做拋物線的準線.動點D到定直線EF的距離等于它到定點C的距離|DA|=|DC|距離相等點F直線l

【對點練】

到直線l:x=-2與到定點P(2,0)的距離相等的點M的軌跡是(

)A.橢圓

B.圓

C.拋物線

D.直線【解析】選C.動點M到定點P(2,0)的距離與到定直線l:x=-2的距離相等,所以M的軌跡是以點P為焦點,直線l為準線的拋物線.主題2

拋物線的標準方程

根據(jù)拋物線的幾何特征,對于開口向右的拋物線如何借助坐標法求出拋物線的方程?提示:如圖,建立平面直角坐標系Oxy,使x軸經(jīng)過點F且垂直于直線l,垂足為K,并使原點與線段KF的中點重合,依據(jù)拋物線的定義,利用直接法即可求出拋物線的標準方程.結論:拋物線的標準方程圖形標準方程焦點坐標準線方程________________________________y2=2px(p>0)

y2=-2px(p>0)

圖形標準方程焦點坐標準線方程________________________________x2=2py(p>0)

x2=-2py(p>0)

2.若點P到點F(0,2)的距離比它到直線y+4=0的距離小2,則點P的軌跡方程為_________.

【解析】由題知點P到(0,2)的距離與到直線y=-2的距離相等,所以點P的軌跡為拋物線,由拋物線的定義知軌跡方程為x2=8y.答案:x2=8y

探究點一

拋物線的定義及應用【典例1】設點P是拋物線y2=4x上的一個動點,焦點為F,若B(3,2),則|PB|+|PF|的最小值為____________.

【解析】如圖,過點B作BQ垂直準線于點Q,交拋物線于點P1,則|P1Q|=|P1F|.則有|PB|+|PF|≥|P1B|+|P1Q|=|BQ|=4.即|PB|+|PF|的最小值為4.答案:4課堂合作探究【類題通法】利用定義求最值與拋物線有關的最值問題,一般情況下都與拋物線的定義有關.其途徑為“看到準線想焦點,看到焦點想準線”.

【補償訓練】

若動圓與圓(x-2)2+y2=1外切,又與直線x+1=0相切,則動圓圓心的軌跡方程是(

)A.y2=8x

B.y2=-8xC.y2=4x

D.y2=-4x【解析】選A.由題意,動圓圓心到定圓圓心的距離比它到直線x+1=0的距離大1,故動圓圓心的軌跡是以(2,0)為焦點,x=-2為準線的拋物線,其方程為y2=8x.探究點二

求拋物線的標準方程【典例2】頂點在原點,且過點(-4,4)的拋物線的標準方程是(

)A.y2=-4xB.x2=4yC.y2=-4x或x2=4yD.y2=4x或x2=-4y【思維導引】設出拋物線方程的標準形式,依據(jù)條件求出p的值.【解析】選C.因為拋物線的頂點在原點,且過點(-4,4),所以設拋物線的標準方程為x2=2py(p>0)或y2=-2px(p>0),將點(-4,4)的坐標代入拋物線的標準方程x2=2py(p>0)得:16=8p,所以p=2,所以此時拋物線的標準方程為x2=4y;將點(-4,4)的坐標代入拋物線的標準方程y2=-2px(p>0),同理可得p=2,所以此時拋物線的標準方程為y2=-4x.綜上可知,頂點在原點,且過點(-4,4)的拋物線的標準方程是y2=-4x或x2=4y.

【類題通法】1.拋物線的“一動三定”拋物線的定義可歸為“一動三定”,即“一個動點

M”“一個定點

F”“一條定直線

l”“一個定值”.其中“定點”為拋物線的焦點,“定直線”為拋物線的準線,“定值”指點M到點

F

的距離與它到定直線

l(準線)的距離之比等于1.2.拋物線標準方程的特征(1)等號的一邊是某變量的完全平方,另一邊是另一變量的一次項.(2)當對稱軸為x軸時,方程中的一次項就是x的一次項,且符號指明了拋物線的開口方向:x的系數(shù)為正時開口向右,為負時開口向左.(3)當對稱軸為y軸時,方程中的一次項就是y的一次項,且符號指明了拋物線的開口方向:y的系數(shù)為正時開口向上,為負時開口向下.【定向訓練】1.已知點F(0,3)和直線l:y=-3,點M是直線l上的動點,過點F作直線FM的垂線,與直線l相交于點N,過點M作直線l的垂線與直線NO相交于點Q,則點Q的軌跡方程為(

)A.x2=4y

B.x2=8yC.x2=12y

D.x2=16y【解析】選C.如圖,設點Q(x,y),則M(x,-3),設點N(xN,-3),因為MF,FN垂直,所以·=0,所以(-x,6)·(xN,-6)=0,所以-x·xN-36=0,所以x·xN=-36,因為點Q,O,N共線,所以(x,y)=μ(xN,-3),所以yxN=-3x,消去xN整理得x2=12y.

【補償訓練】

根據(jù)下列條件,求頂點在原點(0,0)處的拋物線的標準方程.(1)焦點為(-2,0).(2)準線為y=-1.(3)焦點到準線的距離是4.(4)過點(1,2).

探究點三

拋物線的實際應用【典例3】河道上有一拋物線形拱橋,在正常水位時,拱圈最高點距水面8m,拱圈內(nèi)水面寬24m,一條船在水面以上部分高6.5m,船頂部寬6m.(1)試建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?求拱圈所在的拋物線標準方程;(2)近日水位暴漲了1.6m,為此,必須加重船載,降低船身,才能通過橋洞,試問:船身至少應該降低多少.【思維導引】(1)根據(jù)圖形建立直角坐標系,設出拱圈所在的拋物線方程,設拱圈與水面兩交點分別為A,B,由坐標系可知A,B兩點的坐標,將其中一個代入拋物線方程,即可得;(2)根據(jù)船頂寬6m,可知船頂距離拱橋最高點的極限高度h,再由6.5+1.6-(8-h),可知船身應降低的高度.【解析】(1)設拋物線形拱圈與水面兩交點分別為A,B,以AB垂直平分線為y軸,拱圈最高點O為坐標原點,建立平面直角坐標系,則A(-12,-8),B(12,-8),設拱圈所在的拋物線方程為x2=-2py(p>0),因點A(-12,-8)在拋物線上,代入解得p=9,故拱圈所在的拋物線方程是x2=-18y;(2)因為x2=-18y,故當x=3時,y=-0.5,故當水位暴漲1.6m后,船身至少應降低6.5+1.6-(8-0.5)=0.6m,故船身至少應降低0.6m,才能安全通過橋洞.【類題通法】拋物線應用題的解法(1)解題關鍵:把實際問題轉化為數(shù)學問題,利用數(shù)學模型,通過數(shù)學語言(文字、符號、圖形、字母等)表達、分析、解決問題.

(2)建立拋物線的標準方程的方法:以拋物線的頂點為坐標原點,對稱軸為一條坐標軸建立坐標系.【定向訓練】

某中學張燕同學不僅學習認真,而且酷愛體育運動,經(jīng)過艱苦的訓練,終于在校運會的投鉛球比賽中創(chuàng)造佳績.已知張燕所投鉛球的軌跡是一段拋物線(人的身高不計,鉛球看成一個質(zhì)點),如圖所示,設初速度為定值v0,且與水平方向所成角為變量θ,已知張燕投鉛球的最遠距離為10m.當她投得最遠距離時,鉛球軌跡拋物線的焦點到準線的距離為____________m.(空氣阻力不計,重力加速度為10m/s2)

2.如圖所示,一隧道內(nèi)設雙行線公路,其截面由長方形的三條邊和拋物線的一段構成,為保證安全,要求行駛車輛頂部(設為平頂)與隧道頂部在豎直方向上高度之差至少要有0.5米.(1)以拋物線的頂點為原點O,其對稱軸所在的直線為y軸,建立平面直角坐標系(如圖),求該拋物線的方程.(2)若行車道總寬度AB為7米,請計算通過隧道的車輛限制高度為多少米(精確到0.1米).【解析】如圖所示,(1)依題意,設該拋物線的方程為x2=-2py(p>0),因為點C(5,-5)在拋物線上,所以25=10p,p=2.5,